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1、精心整理 欢迎下载 不等式专题复习 迟德龙 一不等式的主要性质：(1)对称性：abba (2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(同向可加)(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式 二解不等式 1.一元二次不等式00或022acbxaxcbxax的解集：2、简单的一元高次不等式的解法
2、：（标根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根 据 曲 线 显 现()f x的 符 号 变 化 规 律，写 出 不 等 式 的 解 集。如：xxx112023 3、分式不等式的解法：()()0()()0()()0;0()0()()f x g xf xf xf x g xg xg xg x 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在
3、区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 三线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法 3、线性规划的有关概念：线性约束条件 线性目标函数 线性规划问题 可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 四基本不等式 1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么).(2号时取
4、当且仅当baabba 变形：a+bab2；ab22 ba,当且仅当 a=b 时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc 时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解 一 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质 精心整理 欢迎下载 1.对于实数cba,中，给
5、出下列命题：22,bcacba 则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2.设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小 3.比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小 4.若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的 大 小 关 系是 .二 解不等式 题型三：解不等式 5.解不等式 6.解不等式2(1)(2)0 xx。
6、7.解不等式25123xxx 8.不等式2120axbx的解集为x|-1x2，则a=_,b=_ 9.关于x的不等式0 bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为 10.解关于 x 的不等式2(1)10axax 题型四：恒成立问题 11.关于 x 的不等式 a x2+a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 12.若不等式22210 xmxm 对01x 的所有实数x都成立，求m的取值范围.13.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。三基本不等式 题型五：求最值 14.（直接用）求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 可
7、乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式或的解集简单的一元高次不等式的解法标根法其步骤是分解成若干个一每一点画曲线并注意奇穿过弹回根据曲线显现的符号变化规律写出不等式的解集如分式不等式的解法不等式的恒成立问题常应用函数方程思想和分离变量法转化为最值问题若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上若不等式在区间断方法定点法线性规划的有关概念线性约束条件线性目标函数线性规划问题可行解可行域和最优解求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤寻找线性约束条件列出线性目标函数由二元一次不等式表示的平面区域做出可
8、行域精心整理 欢迎下载 15.（配凑项与系数）（1）已知54x，求函数14245yxx 的最大值。（2）当时，求(82)yxx的最大值。16.（耐克函数型）求2710(1)1xxyxx 的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx 的单调性。17.（用耐克函数单调性）求函数2254xyx的值域。18.（条件不等式）（1）若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 .（2）已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。（3）已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x 1y 2 的最大值.（4）已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数
9、 y1ab 的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式 19.已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 20.正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 21.已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 题型七：均值定理实际应用问题：22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。可乘倒数法则乘方法则且开
10、方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式或的解集简单的一元高次不等式的解法标根法其步骤是分解成若干个一每一点画曲线并注意奇穿过弹回根据曲线显现的符号变化规律写出不等式的解集如分式不等式的解法不等式的恒成立问题常应用函数方程思想和分离变量法转化为最值问题若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上若不等式在区间断方法定点法线性规划的有关概念线性约束条件线性目标函数线性规划问题可行解可行域和最优解求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤寻找线性约束条件列出线性目标函数由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域精心整理 欢迎下载
11、 四.线性规划 题型八：目标函数求最值 23.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk 3的最大值 24.已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程2(1)10 xa xab 的 两 个 实 根 为1x、2x,并 且102x,22x 则1ba 的取值范围是 25.已知,x y满足约束条件：03440 xxyy,则222xyx的最小值是 26.已知变量230,330.10 xyx yxyy 满足约束条件若目标函数zaxy（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。27.已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函数zxy 的最小值为1，则实数m等于（
12、）题型九：实际问题 28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？可乘倒数法则乘方法则且开方法则且应用不等式的性质比较两个实数的大小作差法作差变形判断符号结论应用不等式性质证明不等式二解不等式一元二次不等式或的解集简单的一元高次不等式的解法标根法其步骤是分解成若干个一每一点画曲线并注意奇穿过弹回根据曲线显现的符号变化规律写出不等式的解集如分式不等式的解法不等式的恒成立问题常应用函数方程思想和分离变量法转化为最值问题若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上若不等式在区间断方法定点法线性规划的有关概念线性约束条件线性目标函数线性规划问题可行解可行域和最优解求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤寻找线性约束条件列出线性目标函数由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域