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1、20122012 内蒙古考研数学三真题及答案内蒙古考研数学三真题及答案一、选择题（18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)曲线=2+21渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C。【解析】由+=+2+21=1=2+21,得=1 是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由1=12+21=得=1 是曲线的一条垂直渐近线；由 1=12+21=12得=1 不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是 C【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数 =(1)(2 2)(),其中为正整数，则0=(A)
2、11 1!(B)1 1!(C)11!(D)1!【答案】A【解析】【方法 1】令 g =(2 2)(),则 =(1)g()=g +(1)g 0=g 0=12(1)=11 1!故应选 A.【方法 2】由于 0=0,由导数定义知0=0()=0(1)(2 2)()=0(1)0(2 2)()=12 1=11 1!.【方法 3】排除法，令=2,则 =(1)(2 2)=2 2+22(1)0=1 2=1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(3)设函数()连续，则二次积分02?22(2)?=(A)02?22422+2(2+2)?(B)02?22
3、42(2+2)?(C)02?1+12422+2(2+2)?(D)02?1+1242(2+2)?【答案】B。【解析】令=,=,则=2 所对应的直角坐标方程为2+2=4,=2 所对应的直角坐标方程为(1)2+2=1。由02?22(2)?的积分区域2 2,0 2得在直角坐标下的表示为2 2 4 2,0 2所以02?22(2)?=02?2242(2+2)?综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(4)已知级数=1(1)1?绝对收敛，级数=1(1)2?条件收敛，则(A)0 12(B)12 1(C)1 32(D)32 1,即 32由级数=1(1)2?条
4、件收敛，知 2综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学无穷级数数项级数敛散性的判定(5)设1=001,2=012,3=113,4=114,其中1,2,3,4为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)1,2,3(B)1,2,4(C)1,3,4(D)2,3,4【答案】C。【解析】个维向量相关 1,2,=0显然 1,3,4=011011134=0所以1,3,4必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)。【考点】线性代数向量向量组的线性相关和线性无关(6)设为 3 阶矩阵，为 3 阶可逆矩阵，且=100010002.若=,=(+,),则=(A)100020001(B)100010002(C)200
5、010002(D)200020001【答案】B。【解析】由于经列变换(把第 2 列加至第 1 列)为，有=100110001=21(1)那么1=()()=()()=100110001100010002100110001=100010002综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】线性代数矩阵矩阵运算、初等变换(7)设随机变量,相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则 +2 1=(A)14(B)12(C)8(D)4【答案】D。【解析】2+2 1=2+21(,)?而,=1,0 1,0 1,0,其他即,是在正方形 0 1,0 0)的简单随机样本，则统计量123+42的分布为(A)0,1(B)(
6、1)(C)2(1)(D)(1,1)【答案】B。【解析】1，1 2 0,22，故122 0,1；2，3+4 2 0,22，故3+422 0,1，(3+422)22(1),(3+4 22)2/1=3+4 223，1 2与3+4 2 相互独立。122与(3+422)2也相互独立，所以1223+422=123+42(1)综上所述，本题正确答案是 B。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念二、填空题（914 小题，每小题 4 分，共 24 分。）(9)4()1=。【答案】2。【解析】这是一个1型极限，由于()1=1+(1)14 1 =4 1(1 )=41=2所以4()1=2【考点】高等数学函数、极限、连
7、续两个重要极限(10)设函数 =,12 1,1,=,则=。【答案】1【解析】=可看做=,与=的复合，当=时=12=12由复合函数求导法则知=12 =2 12=1【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(11)设连续函数=(,)满足lim01,2+22+(1)2=0,则(0,1)=。【答案】2 【解析】由lim01,2+22+(1)2=0，且=(,)连续，可得 0,1=1,且,0,1=2 1+(2+(1)2),(0 1)由可微的定义得0,1=2,0,1=1,即(0,1)=0,1 +0,1 =2 【考点】高等数学多元函数的微分学多元函数偏导数的概念与计算(12)由曲线=4和直线=及=4在第一
8、象限中围成的平面图形的面积为。【答案】42【解析】曲线=4和直线=及=4在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为=014?+12(4)?=42【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(13)设为 3 阶矩阵，=3，为的伴随矩阵。若交换的第 1 行与第 2 行得到矩阵，则=。【答案】-27【解析】【方法 1】y两行互换两列互换变成，所以 =,再由行列式乘法公式及=1，则=|=2=27【方法 2】根据题意010100001=，即=12那么=12=12=312从而=312=3312=27【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质线性代数矩阵伴随矩阵，矩阵的初等变换(14)设,是随机事件，,互
9、不相容，=12,=13,则 =。【答案】34【解析】,互不相容，自然有 ,当然更有 ，所以 =()()=()1 ()=1223=34【考点】概率论与数理统计随机事件和概率事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)求极限lim0222cos4【解析】【方法 1】lim02 22cos4=lim022cos lim022+2cos 14=lim022+2cos4(等价无穷小代换)=lim022sin43(洛必达法则)=12lim01 cos32=16lim01222=112【方法 2】lim02 22co
10、s4=lim022cos lim022+2cos 14=lim022+2cos4(等价无穷小代换)=lim022+2(122!+44!+(4)4(泰勒公式)=lim01124+(4)4=112【方法 3】lim0222cos4=lim0(22+2cos)4(拉格朗日中值定理)=lim02 2+2cos4=lim022sin43(洛必达法则)=12lim01633(163)=112【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一元函数微分学微分中值定理，洛必达(LHospital)法则(16)计算二重积分?,其中是以曲线=,=1及轴为边界的无界区域。【解析
11、】?=01?1?=1201(1 2)?=12(1 2)01+01?=12+0101?=12【考点】高等数学一元函数积分学不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000（万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是(件)和（件），且这两种产品的边际成本分别为 20+2(万元/件)与 6+(万元/件).(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(,)(万元)；(II)当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III)求总产量为 50 件且总成本
12、最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。【解析】(I)总成本函数,=10000+20+24+6+22（万元）(II)由题意知，求,在+=50 时的最小值，构造拉格朗日函数,=,+50=10000+20+24+6+22+50解方程组=20+2+=0,=6+=0,+50=0.得=24,=26.因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为 50 件时，甲乙两种产品的产量分别是 24,26 时可使总成本最小，且此时投入总费用,=10000+20 24+2424+6 26+2622=11118(万元)(III)甲产品的边际成本函数：,=20+2,于是，当总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际
13、成本,=20+242=32其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是 24,26 时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加 32 万元。(18)证明：1+1+cos 1+22,(1 1)【解析】【方法 1】记 =1+1+cos 1 22,则=1+1 +21 2 ,()=41 2+421 2 2 1 cos当1 0,从而()单调增加。又因为0=0，所以，当1 0 时，0;当 0 0，于是 0=0 是函数 在(1,1)内的最小值。从而当1 1 时，0=0即1+1+cos 1+22,(1 1)【方法 2】记 =1+1+cos 1 22,(1 021 2 2=+sin从而有 0，(1,1)有 0=0则当1
14、 1 时，0=0即1+1+cos 1+22,(1 1)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值(19)已知函数 满足方程+2 =0 及+=2(I)求 的表达式；(II)求曲线=(2)0(2)?的拐点。【解析】(I)联立+2 =0,+=2,得 3 =2,因此 =3?2 3?+=+3代入+=2，得=0,所以 =(II)=20 2?=202?=2202?+1=2+2(1+22)202?当 0 时，0 时，0,又 0=0,所以曲线的拐点为(0,0)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的
15、凹凸性、拐点及渐近线(20)设=100010001001,=1100.(I)计算行列式|；(II)当实数为何值时，方程组=有无穷多解，并求其通解。【解析】(I)按第一列展开=1 1001001+14+1001001=1 4,(II)当 =0 时，方程组=有无穷多解，由上可知=1 或1如果=111000110001110011100110001100011010111011100011000110011110211000110001100001102 =3,=4,方程组无解，舍去当=1 时，11000110001110011100110001100011010111011100011000110
16、011110011000110001100001100 =3=，方程组有无穷多解，取4为自由变量，得方程组通解为(0,1,0,0)T+(1,1,1,1)T,为任意常数【考点】线性代数线性方程组线性方程组有解和无解的判定，非齐次线性方程组的通解(21)已知=1010111001,二次型 1,2,3=T(T)的秩为 2(I)求实数的值；(II)求正交变换=将化为标准形。【解析】(I)因为 T=(),对做初等行变换=101011100110101100+100,所以，当=1 时，=2(II)由于=1，所以T=202022224，矩阵T的特征多项式为 T=2020 2222 4=(2)(6)，于是T的
17、特征值为1=2，2=6，3=0当1=2 时，由方程组 2 T =0,可得到属于1=2 的一个单位特征向量12(1,1,0)T；当2=6 时，由方程组 6 T =0,可得到属于2=6 的一个单位特征向量16(1,1,2)T；当3=0 时，由方程组 0 T =0,可得到属于3=0 的一个单位特征向量13(1,1,1)T。令=12161312161302613,则在正交变换=下的标准形为=212+623【考点】线性代数矩阵矩阵的特征值和特征向量的概念、性质线性代数二次型二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形(22)设二维离散型随机变量(,)的概率分布为01201401410130
18、21120112(I)求=2；(II)求(,).【解析】(I)=2=0,=0+=2,=1=14+0=14(II)由(,)的概率分布可得 =0=14+14=12；=1=0+13+0=13；=2=112+112=16；=0=14+112=13；=1=0+13+0=13；=2=14+112=13；=0=712；=1=13；=4=112所以=0 12+1 13+2 16=23=130+1+2=1=13(0 1)2+13(1 1)2+13(2 1)2=23=13+13=23所以 ,=232323=23【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23)设随机变量,相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，记=,=,.(I)求的概率密度()；(II)求(+).【解析】(I)=,=1 ,=1 ,=1 =1 =1 2,0当 0 时，=0，=22，00，0(II)+=+=+=1+1=2【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质