2013内蒙古考研数学三真题及答案.pdf

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1、2 0 1 3 内 蒙 古 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、选 择 题 1 8 小 题 每 小 题 4 分，共 3 2 分、当 0 x 时，用)(x o 表 示 比 x 高 阶 的 无 穷 小，则 下 列 式 子 中 错 误 的 是（）（A）)()(3 2x o x o x（B）)()()(3 2x o x o x o（C）)()()(2 2 2x o x o x o（D）)()()(2 2x o x o x o【详 解】由 高 阶 无 穷 小 的 定 义 可 知（A）（B）（C）都 是 正 确 的，对 于（D）可 找 出 反 例，例如 当 0 x 时)()(),()(2 3 3 2

2、x o x x g x o x x x f，但)()()(x o x g x f 而 不 是)(2x o 故 应 该 选（D）2 函 数x x xxx fxl n)1(1)(的 可 去 间 断 点 的 个 数 为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【详 解】当 0 l n x x 时，x x e xx xxl n 1 1l n，1l nl nl i ml n)1(1l i m)(l i m0 0 0 x xx xx x xxx fxxx x，所 以 0 x 是 函 数)(x f 的 可 去 间 断 点 21l n 2l nl i ml n)1(1l i m)(l i m0 1 1 x xx x

3、x x xxx fxxx x，所 以 1 x 是 函 数)(x f 的 可 去 间 断 点 x xx xx x xxx fxxx xl n)1(l nl i ml n)1(1l i m)(l i m1 1 1，所 以 所 以 1 x 不 是 函 数)(x f 的可 去 间 断 点 故 应 该 选（C）设kD 是 圆 域 1|),(2 2 y x y x D 的 第 k 象 限 的 部 分，记 kDkdx dy x y I)(，则（）（A）01 I（B）02 I（C）03 I（D）04 I【详 解】由 极 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算 可 知 22122110222)1(|c os

4、 s i n31)s i n(s i n31)c os(s i n)(kkkkkkDkd dr r d dx dy x y Ik 所 以 32,32,04 2 3 1 I I I I，应 该 选（B）设 na 为 正 项 数 列，则 下 列 选 择 项 正 确 的 是（）（A）若1 n na a，则11)1(nnna 收 敛；（B）若11)1(nnna 收 敛，则1 n na a；（C）若 1 nna 收 敛 则 存 在 常 数 1 P，使npna n l i m 存 在；（D）若 存 在 常 数 1 P，使npna n l i m 存 在，则 1 nna 收 敛【详 解】由 正 项 级 数

5、的 比 较 审 敛 法，可 知 选 项（D）正 确，故 应 选（）此 小 题 的（A）（B）选 项 想 考 查 的 交 错 级 数 收 敛 的 莱 布 尼 兹 条 件，对 于 选 项（A），但 少 一条 件 0 l i m nna，显 然 错 误 而 莱 布 尼 兹 条 件 只 是 交 错 级 数 收 敛 的 充 分 条 件，不 是 必 要 条 件，选 项（B）也 不 正 确，反 例 自 己 去 构 造 设，均 为 n 阶 矩 阵，若，且 可 逆，则（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵 A 的 列 向

6、量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵 B 的 列 向 量 组 等 价【详 解】把 矩 阵 A，C 列 分 块 如 下：n nC A,2 1 2 1，由 于，则 可 知),2,1(2 2 1 1n i b b bn i n i i i，得 到 矩 阵 C 的 列 向 量 组 可 用 矩 阵 A 的列 向 量 组 线 性 表 示 同 时 由 于 B 可 逆，即1 C B A，同 理 可 知 矩 阵 A 的 列 向 量 组 可 用 矩 阵C 的 列 向 量 组 线 性 表 示，所 以 矩 阵 C

7、 的 列 向 量 组 与 矩 阵 A 的 列 向 量 组 等 价 应 该 选（B）6 矩 阵1 11 1aa b aa与 矩 阵0 0 00 00 0 2b 相 似 的 充 分 必 要 条 件 是（A）2,0 b a（B）0 a，b 为 任 意 常 数（C）0,2 b a（D）2 a，b 为 任 意 常 数【详 解】注 意 矩 阵0 0 00 00 0 2b 是 对 角 矩 阵，所 以 矩 阵 A=1 11 1aa b aa与 矩 阵0 0 00 00 0 2b 相似 的 充 分 必 要 条 件 是 两 个 矩 阵 的 特 征 值 对 应 相 等)2 2)2(1 11 12 2a b baa

8、b aaA E 从 而 可 知 b a b 2 2 22，即 0 a，b 为 任 意 常 数，故 选 择（B）7 设3 2 1,X X X 是 随 机 变 量，且)3,5(),2,0(),1,0(2322 1N X N X N X，2 2 i iX P P，则（A）3 2 1P P P（B）3 1 2P P P（C）1 2 3P P P（D）2 3 1P P P【详 解】若),(2 N X，则)1,0(NX 1)2(21 P，1)1(2 121 2 222 2 XP X P P，)13737)1(35 23535 22 233 3 XP X P P，2 3P P 0)1(3 2)1(3371

9、故 选 择（A）8 设 随 机 变 量 X 和 Y 相 互 独 立，且 X 和 Y 的 概 率 分 布 分 别 为X 0 1 2 3 PP 1/2 1/4 1/8 1/8Y-1 0 1P 1/3 1/3 1/3则 2 Y X P（）（A）1 21（B）81（C）61（D）21【详 解】612412411211,3 0,2 1,1 2 Y X P Y X P Y X P Y X P，故 选 择（C）二、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）9 设 曲 线)(x f y 和 x x y 2在 点 0,1 处 有 切 线，

10、则 2l i mnnnfn【详 解】由 条 件 可 知 1)1(,0 1 f f 所 以2)1(22222)1(221l i m2l i m fnnnfnfnnnfn n1 0 设 函 数 y x z z,是 由 方 程 x y y zx 确 定，则)2,1(|xz【详 解】设 x y y z z y x Fx)(,，则 1)(),(,)l n()(,xzxxy z x z y x F y y z y z z y x F，当 2,1 y x 时，0 z，所 以 2 l n 2 2|)2,1(xz1 1 x dxx12)1(l n【详 解】2 l n|1l n)1(1|1l n11l n)1(l

11、 n1111 12 xxdxx x xxxx d x dxx1 2 微 分 方 程 041 y y y 的 通 解 为【详 解】方 程 的 特 征 方 程 为 041 r，两 个 特 征 根 分 别 为212 1，所 以 方 程 通解 为22 1)(xe x C C y，其 中2 1,C C 为 任 意 常 数 1 3 设 i ja A 是 三 阶 非 零 矩 阵，A 为 其 行 列 式，i jA 为 元 素i ja 的 代 数 余 子 式，且 满 足)3,2,1,(0 j i a Ai j i j，则 A=【详 解】由 条 件)3,2,1,(0 j i a Ai j i j可 知 0*TA

12、A，其 中*A 为 A 的 伴 随 矩 阵，从而 可 知A A A AT 1 3*，所 以 A 可 能 为 1 或 0 但 由 结 论 1)(,01)(,1)(,)(*n A rn A rn A r nA r 可 知，0*TA A 可 知*)()(A r A r,伴 随 矩 阵 的 秩 只能 为 3，所 以.1 A1 4 设 随 机 变 量 X 服 从 标 准 正 分 布)1,0(N X，则 XX e E2【详 解】XX e E2dx e xedx exdx e x ex x xx 2)2(222)2(222 2 2)2 2(2 2 21 2 2 22 222 2)(222 2e e X E

13、e dt e dt t eet t 所 以 为22 e 三、解 答 题1 5（本 题 满 分 1 0 分）当 0 x 时，x x x 3 c o s 2 c o s c o s 1 与nax 是 等 价 无 穷 小，求 常 数 n a,【分 析】主 要 是 考 查 0 x 时 常 见 函 数 的 马 克 劳 林 展 开 式【详 解】当 0 x 时，)(211 c os2 2x o x x，)(2 1)()2(211 2 c os2 2 2 2x o x x o x x，)(291)()3(211 3 c os2 2 2 2x o x x o x x，所 以)(7)(291)(2 1)(211(

14、1 3 c os 2 c os c os 12 2 2 2 2 2 2 2x o x x o x x o x x o x x x x，由 于 x x x 3 c o s 2 c o s c o s 1 与nax 是 等 价 无 穷 小，所 以 2,7 n a 1 6（本 题 满 分 1 0 分）设 D 是 由 曲 线3x y，直 线 a x)0(a 及 x 轴 所 转 成 的 平 面 图 形，y xV V,分 别 是 D 绕 x轴 和 y 轴 旋 转 一 周 所 形 成 的 立 体 的 体 积，若y xV V 10，求 a 的 值【详 解】由 微 元 法 可 知 350320253a dx x

15、 dx y Va ax；370340762)(2 a dx x dx x x f Va ay；由 条 件y xV V 1 0，知 7 7 a 1 7（本 题 满 分 1 0 分）设 平 面 区 域 D 是 由 曲 线 8,3,3 y x x y y x 所 围 成，求 Ddx dy x2【详 解】34168362233202 2 2 22 1 xxxxD D Ddy dx x dy dx x dx dy x dx dy x dx dy x 1 8（本 题 满 分 1 0 分）设 生 产 某 产 品 的 固 定 成 本 为 6 0 0 0 元，可 变 成 本 为 2 0 元/件，价 格 函 数

16、为,100060QP（P是 单 价，单 位：元，Q 是 销 量，单 位：件），已 知 产 销 平 衡，求：（1）该 的 边 际 利 润（2）当 P=5 0 时 的 边 际 利 润，并 解 释 其 经 济 意 义（3）使 得 利 润 最 大 的 定 价 P【详 解】（1）设 利 润 为 y，则 6000100040)20 6000(2 QQ Q P Q y，边 际 利 润 为.50040 Qy（2）当 P=5 0 时，Q=1 0 0 0 0，边 际 利 润 为 2 0 经 济 意 义 为：当 P=5 0 时，销 量 每 增 加 一 个，利 润 增 加 2 0（3）令 0 y，得.40100002

17、000060,20000 P Q1 9（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数 x f 在),0 上 可 导，0 0 f，且 2)(l i m x fx，证 明（1）存 在 0 a，使 得;1 a f（2）对（1）中 的 a，存 在),0(a，使 得af1)(【详 解】证 明（1）由 于 2)(l i m x fx，所 以 存 在 0 X，当 X x 时，有25)(23 x f，又 由 于 x f 在),0 上 连 续，且 0 0 f，由 介 值 定 理，存 在 0 a，使 得;1 a f（2）函 数 x f 在,0 a 上 可 导，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理，存 在),0(a，使 得

18、a af a ff1)0()()(2 0（本 题 满 分 1 1 分）设bBaA11 0,0 11，问 当 b a,为 何 值 时，存 在 矩 阵 C，使 得 B C A A C，并 求 出所 有 矩 阵 C【详 解】显 然 由 B C A A C 可 知，如 果 C 存 在，则 必 须 是 2 阶 的 方 阵 设4 32 1x xx xC，则 B C A A C 变 形 为 b ax x x x xax x ax ax x11 03 2 4 3 14 2 1 3 2，即 得 到 线 性 方 程 组 b ax xx x xax x axax x3 24 3 14 2 13 2110，要 使 C

19、 存 在，此 线 性 方 程 组 必 须 有 解，于 是 对 方程 组 的 增 广 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 如 下 baab aa aab A0 0 0 01 0 0 0 00 0 1 01 1 1 0 10 1 01 1 1 0 11 0 10 0 1 0|，所 以，当 0,1 b a 时，线 性 方 程 组 有 解，即 存 在 矩 阵 C，使 得 B C A A C 此 时，0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 1 01 1 1 0 1|b A，所 以 方 程 组 的 通 解 为1001011100012 14321C Cxxxxx，也 就 是 满 足 B C A A

20、 C 的 矩 阵C 为 2 11 2 11C CC C CC，其 中2 1,C C 为 任 意 常 数 2 1（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型23 3 2 2 1 123 3 2 2 1 1 3 2 1)()(2),(x b x b x b x a x a x a x x x f 记321321,bbbaaa（1）证 明 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为T T 2；（2）若,正 交 且 为 单 位 向 量，证 明 f 在 正 交 变 换 下 的 标 准 形 为22212 y y【详 解】证 明：（1）3213 2 13213 2 13213 2 13213 2 13213 2

21、 13213 2 13213 2 123 3 2 2 1 123 3 2 2 1 1 3 2 12,2,2)()(2),(xxxx x xxxxx x xxxxx x xxxxb b bbbbx x xxxxa a aaaax x xx b x b x b x a x a x a x x x fT TT T 所 以 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为T T 2 证 明（2）设 AT T 2，由 于 0,1 T则 2 2 22 T T TA，所 以 为 矩 阵 对 应 特 征 值 21 的 特 征向 量；22 2T T TA，所 以 为 矩 阵 对 应 特 征 值 12 的 特 征 向量；而

22、 矩 阵 A 的 秩 2)()2()2()(T T T Tr r r A r，所 以 03 也 是 矩 阵 的一 个 特 征 值 故 f 在 正 交 变 换 下 的 标 准 形 为22212 y y 2 2（本 题 满 分 1 1 分）设 Y X,是 二 维 随 机 变 量，X 的 边 缘 概 率 密 度 为 其他,01 0,3)(2x xx fX，在 给 定)1 0(x x X 的 条 件 下，Y 的 条 件 概 率 密 度 为 其他,0,0,3)/(32x yxyx y fXY（1）求 Y X,的 联 合 概 率 密 度 y x f,；（2）Y 的 的 边 缘 概 率 密 度)(y fY【

23、详 解】（1）Y X,的 联 合 概 率 密 度 y x f,：其他,00,1 0,9)()/(,2x y xxyx f x y f y x fXXY（2）Y 的 的 边 缘 概 率 密 度)(y fY：其他,01 0,l n 99),()(212y y y dxxydx y x f y fyY2 3（本 题 满 分 1 1 分）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为其他,00,);(32x exx fx，其 中 为 为 未 知 参 数 且 大 于 零，nX X X,2 1为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本（1）求 的 矩 估 计 量；（2）求 的 极 大 似 然 估 计 量【详 解】（1）先 求 出 总 体 的 数 学 期 望 E（X）022)()(dx exdx x x f X Ex，令 nniXnX X E11)(，得 的 矩 估 计 量 niiXnX11（2）当),2,1(0 n i xi 时，似 然 函 数 为 ni iixniin nixiexexL11312132)(，取 对 数，niini ixxn L1 1l n 31l n 2)(l n，令 0)(l ndL d，得 01 21 ni ixn，解 得的 极 大 似 然 估 计 量 为 ni i Xn1 1 2