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1、浦东新区 20XX 年高三综合练习 数学卷答案及评分参考细则（文理合卷）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1.抛物线214yx 的准线方程是：_1y 2.计算 2lim123nnCn 1 3.已知2a r，3b r，且ar、br的夹角为3，则32abrr=_.6 4.在复平面内，点(21)A，对应的复数为z，则|1|z=2 5.关于x方程sin1014cosxx的解为_1,212kkxkZ 6.设2|230,|10,Ax xxBx axBA 则 实 数a的 取 值 集 合 为_10,1,3 7.已知公差为d的等差数列n
2、a的前n项和为nS，若533SS，则53aa_。答案：179 8.某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为1415(结果用数值表示).9.（文）已知54262+5130NNxyxyxy，则目标函数2010zxy的最大值为 100 .9.（理）圆心是(,0)C a、半径是a的圆的极坐标方程为_.cos2a 10.如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面111DBCA后形成的.已知1AB，DDCCAA11121BD1与底面ABCD所成的角为3，则这个多面体的体积为26.11直线1kxy与抛物线xy22至多有一个公共点
3、，则k的取值范围_10,)2U 12.已知函数21(1)0,2)()(2)2,)xxf xf xx ，若对于正数*()nk nN，关于x的函数()()ng xf xk x的零点个数恰好为21n个，则222123lim()nnkkkk_。答案:14 解答过程：当02x 时，22(1)1,(0)xyy上半圆 当2x 时，函数()(2)f xf x表示函数的周期为2，函数的图像如下 ()0(2)ng xf xk x ，由于()g x的零点个数为21n 则直线nyk x与第1n个圆相切，圆心(21,0)n到直线nyk x的距离为1 22(21)1111114(1)411nnnknkn nnnk 有22
4、221234(1)nnkkkkn 13.函数()3522f xxx，数列12,.,.na aa，满足1(),nnaf anN，若要使12,.,.na aa成等差数列，则1a的取值范围 .答案：12,11a 14.（文）设集合1,2,6,PA B是P的两个非空子集 则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(,)A B的个数为：_129 14.（理）设整数3n，集合1,2,PnA B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(,)A B的个数为：_1(2)21nn 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得
5、 5 分，否则一律得零分.15.若a、b为实数，则0ab 是22ab的（A ）每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大
6、数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 16设P为双曲线1222yax（0a）的上一点，3221 PFF，（12FF、为左、右焦点），则12F PF的面积等于（）C A.23a B.233a C.33 D.332 17.若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为35的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（B）A.18115 B.2 C.4 D.9115 18.设na是公比为(1)q q 的无穷等比数列，若na中任意两项之积仍是该数列中的项，则称na为“封闭等比
7、数列”。给出以下命题：（1）13,2aq，则na是“封闭等比数列”；（2）11,22aq，则na是“封闭等比数列”；（3）若na，nb都是“封闭等比数列”，则,nnnnabab也都是“封闭等比数列”；（4）不存在na，使na和2na都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（B ）A.0 B.1 C.2 D.3 解答：（1）13 2nna，显然123 618na aa ，命题（1）错误（2）121222nnna，22224*22222,2m nmnm nmnm naaamnN 命题（2）正确（3）若12,2nnnnab都为“封闭等比数列”，则13 2nnnab 不是“封闭等比数列”，命题（3
8、）错误（4）若2nna 为“封闭等比数列”，则24nna 为“封闭等比数列”，命题（4）错误 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须写出必要的步骤 19.(文)（本题满分 12 分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，1ABPA，2AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）当点E为BC的中点时，证明EF/平面PAC；（2）求三棱锥PADE 的体积.解（1）证明：连结AC、EF 点E、F分别是边BC、PB的中点 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等
9、差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于PC/EF（4 分）又EF平面PAC,PC平面PAC（5 分）当点E是BC的中点时，EF/平面PAC（6 分）（2）PA平面ABCD，且
10、四边形ABCD为矩形.121ABADSEAD，（9 分）3131PASVVEADEADPPADE（12 分）19.（理）（本题满分 12 分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，1ABPA，2AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）求三棱锥PADE 的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.（1）PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形.121ABADSEAD，（3 分）3131PASVVEADEADPPADE（6 分）（2）PA平面ABCD，ABPA，又1ABPA，且点F是PB的中点，PBAF（8 分）又BCPA，ABBC，AABPA，BC平面PAB，又A
11、F平面PAB，AFBC（10 分）由BBCPBBCAFPBAFAF平面PBC，又PE平面PBC 无论点E在边BC的何处，都有PEAF 成立.（12 分）注：(建立空间直角坐标系做，参照上面答案相应给分)20、（本题满分 14 分）如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区。已知0120A，AB、AC的长度均大于200米。设APx,AQy，且AP,AQ 总长度为200米。（1）当,x y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当,x y为何值时？线段PQ最小，并求最小值。每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平
12、面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于 解：（1）因为 APx,AQy 且200 xy 2 分 所以 02
13、133sin120()2500 32442APQxySxyxy 4 分 当且仅当100 xy 时，等号成立。所以 当100 xy 米时，max()2500 3APQS 平方米 6 分(2)因为 2220222cos120PQxyxyxyxy 8 分 22(200)(200)xxxx220040000 xx 2(100)30000 x 10 分 所以 当100 x 米，线段min100 3PQ米，此时，100y 米。12 分 答：（1）当100APAQ米时，游客体验活动区APQ的面积最大为2500 3平方米；（2）当100APAQ米时，线段PQ最小为100 314 分 21.（本题满分 14 分
14、，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知函数12)(2aaxxf，xaxxg)(1)01,2f xx在上恒成立，求a的取值范围.(2)当0a时，对任意的11,2x，存在21,2x，使得 12f xg x恒成立，求a的取值范围.解：（1）22110122af xaxax 在1,2x上恒成立，所以27a。6 分（2）当0a时，212afxax。原问题等价于 minminfxgx在区间1,2上恒成立。8 分 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名
15、女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于A D O x y 当0a 时，函数()f x在区间1,2上单调递增，所以 min112afxf。min1,01,2,14,2,42aagxaaaa 10 分 故01414141
16、121212222aaaaaaaaaaaa 或或 综上1,4a.14 分 22（理科）（满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）设椭圆1E的长半轴长为1a、短半轴长为1b，椭圆2E的长半轴长为2a、短半轴长为2b，若2121bbaa，则我们称椭圆1E与椭圆2E是相似椭圆。已知椭圆12:22yxE，其左顶点为A、右顶点为B。（1）设椭圆E与椭圆12:22ysxF是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆:G222yx（10），过A作斜率为1k的直线1l与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为2k的直线2l与椭圆G仅有一个公共点，当为何值时|2
17、1kk取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆12:22tyxH（2t）是相似椭圆。椭圆H上异于A、B的任意一点),(00yxC，求证：ABC的垂心M在椭圆E上.（1）解：显然椭圆E的方程为1222yx，由椭圆E与F相似易得：当2s时4212ss；2 分 当20s时1122ss，4 分 所以4s或1 4 分（2）解：易得)1,0(),0,2(DA 所以1l、2l的方程分别为)2(1xky、12 xky 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女
18、生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于依题意联立：2212)2(yxxky 02424)21(2121221kxkxk 又直线1l与椭圆G相切则01（又10）即121|1k6 分 依题意再联立：22221yxxky02
19、24)21(2222xkxk 又直线2l与椭圆G相切则02（又10）即121|2k8 分 故21|21kk，即2|2|2121kkkk 当且仅当|21kk 时取到等号，此时21 所以当21时|21kk取得最小值2；10 分（3）证明：显然椭圆E：1222yx，椭圆142:22yxH。11 分 由椭圆H上的任意一点),(00yxC于是1422020yx 12 分 设ABC的垂心M的坐标为),(MMyx 由ABCM 得0 xxM 13 分 又12200 xyxyBCAMMM 14 分 将0 xxM代入12200 xyxyMM得Myyx0202 由得Myy20 15 分 又Mxx 0代入（1）得12
20、22MMyx即ABC的垂心M在椭圆E上。16 分 22（文科）（满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）设椭圆1E的长半轴长为1a、短半轴长为1b，椭圆2E的长半轴长为2a、短半轴长为2b，若2121bbaa，则我们称椭圆1E与椭圆2E是相似椭圆。已知椭圆12:22yxE，其左顶点为A、右顶点为B。（1）设椭圆E与椭圆12:22ysxF是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆:G222yx（10），过A作斜率为1k的直线1l与椭圆G只有每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数
21、的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于A D O x y 一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为2k的直线2l与椭圆G只有一个公共点，求|21kk
22、的值；（3）已知椭圆E与椭圆12:22tyxH（2t）是相似椭圆。椭圆H上异于A、B的任意一点),(10yxC，且椭圆E上的点),(20yxM（021yy）求证：BCAM。（1）解：显然椭圆E的方程为1222yx，由椭圆E与F相似易得：当2s时4212ss；2 分 当20s时1122ss，4 分 所以4s或1 4 分（2）证明：易得)1,0(),0,2(DA 所以1l、2l的方程分别为)2(1xky、12 xky 依题意联立：2212)2(yxxky 02424)21(2121221kxkxk 又直线1l与椭圆G相切则01（又10）即121|1k6 分 依题意再联立：22221yxxky022
23、4)21(2222xkxk 又直线2l与椭圆G相切则02（又10）即121|2k 8 分 故21|21kk。10 分（3）解：显然椭圆E：1222yx，椭圆142:22yxH。11 分 由椭圆H上的任意一点),(10yxC于是1422120yx 12 分 椭圆E上的点),(20yxM即122220yx又021yy则212yy 13 分 又)0,2(),0,2(BA 则202xykAM，201xykBC15 分 又12222222202202020102xyxyxyxyxy所以BCAM 16 分 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方
24、程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于23.（本题满分 16 分，第（1）题 4 分，第（2）题 6 分，第（3）题 8 分）已知无
25、穷数列na满足1nnnqap aa （*nN）其中,p q均为非负实数且不同时为 0。（1）若1,22pq，且34120a，求1a的值；（2）若15a，0p q，求数列na的前n项和nS；（3）（理）若12a，1q，且na是单调递减数列，求实数p的取值范围。（文）若12a，1q，求证：当1 3,2 4p时，数列na是单调递减数列。解：（1）2222411458()20225aaaa或2 分 当25=2a时，解得1=14a或 当28=5a时，无解 所以，1=14a或4 分（2）若0,0pq，1nnqaa。12345,5,55qqaaaa，5 分 所以当n为奇数时，112525525210nnq
26、nnqnqS ；6 分 当n为偶数时，25525 210nnq nnqnS 。7 分 若0,0pq时，1nnap a，8 分 所以5(1)0,1;151nnpppSpnp10 分（3）（理科）由题意，0na 由12a，可得21222ap，解得304p 11 分 若数列na是单调递减数列，则11nnnnapaaa，可得11nap 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱
27、底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于又有111111nnnpaapapp 因为11nap，所以10nppa即1npap 由可知，11111nnapapp 所以1111111121111nnnnapapappppp 所以111211nnappp 所以对于任意自然数n，1111211nnpapppp恒成
28、立 因为304p，由111ppp，解得12p 14 分 下面证明：当1 3,2 4p时，数列na是单调递减数列。（同文科）当34p 时，可得211222apa 由11nnnap aa 和111,(2)nnnap ana，两式相减得1111()()nnnnnnaaaapa a 16 分 因为1112nnnap apa 成立，则有14nnaap 当12p 时，114nnaapp，即11nnpa a 17 分 由可知，当1nnaa时，恒有1nnaa 对于任意的自然数n，1nnaa恒成立。18 分 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的
29、解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于（文）由题意1111nnnaap aa 当34p 时，可得211222apa 12 分 由11nn
30、nap aa 和111,(2)nnnap ana，两式相减得1111()()nnnnnnaaaapa a14 分 因为1112nnnap apa 成立，则有14nnaap 当12p 时，114nnaapp，即11nnpa a 16 分 由可知，当1nnaa时，恒有1nnaa17 分 对于任意的自然数n，1nnaa恒成立。18 分 每个空格填对得分否则一律得零分抛物线的准线方程是计算已知且的夹角为则在复平面内点对应的复数为则关于方程的解为设则实数的取值集合为已知公差为的等差数列的前项和为若则答案某校要从名男生和名女生中选出人担任在大值为理圆心是半径是的圆的极坐标方程为如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面后形成的已知与底面所成的角为则这个多面体的体积为直线与抛物线至多有一个公共点则的取值范围已知函数若对于正数关于的函数的零圆相切圆心到直线则直线的距离为有函数数列满足若要使成等差数列则的取值范围答案文设集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为理设整数集合是的两个非空子集则所有满足中的最大数小于