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1、 一、数形结合思想方法简述 数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简
2、明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。数学是十分抽象的概念、公
3、式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓的直觉思维。在数学教学中，教师通过数形结合训练学生
4、的直觉思维，让学生养成整体观察，从整体上对数学对象（条件、问题）及其结构（数量关系）迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论。如教学行程问题中的相遇与追及问题时，教学中通过画线段图，帮助学生理解、掌握相遇问题与追及问题的数量关系，联系与区别，从而使学生在解决这类问题时，即使不再画图，也能做到直观地判断出解决的问题是相遇问题，还是追及问题，正确的应用相应的数量关系进行解答。应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在数学教学中，常常借助“一题多解”或“
5、一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。创造性思维能力是思维的最高境界。当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的不断发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，运用数形结合的思想，引导学生去研、去探讨、去发现，让
6、他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析研究，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选中解决问题的方法。如学习了重叠问题后，学生对两两重叠较易理解掌握，能正确解题，但三三重叠学生理解起来就很困难：两两重叠部分 欢迎下载 2 要减去，为什么三三重叠部分要加上呢？在这里，教师用单纯的语言文字是不能说清楚的，只有通过让学生画图，理解三三重叠部分在前面的加减中一次也没有计算，还需要加上去。二、数形结合思想方法在教材中的渗透 1、数形结合帮助学生建立起数学基本概念，形成整个数学知识体系。数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材
7、，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。在二年级上册学习乘法与除法的意义时，通过数与物（形的）对应
8、结合，帮助学生理解掌握乘法与除法的意义，并抽象地运用于整个数学学习中。在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。在四年级下册小数的意义的学习中，小数是一个十分抽象的概念，它与分数相比更加抽象。我们同样是通过数与形的结合，帮助学生理解掌握小数的意义、小数的大小、小数的性质。通过 1 米=10 分米，让学生理解 1 分米=0.1 米，并类推出 1 厘米=0.01 米，1 毫米=0.001 米
9、；通过数与形完美的结合数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系等。总之，一句话，数形结合贯穿着整个数学领域，在帮助学生建立初步的数学概念，培养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且不可替代的作用。2、数形结合贯穿着整个数学知识的应用（解决问题）的教学。在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与
10、形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法，“少”字用减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物（形）的结合，帮助学习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，就是求几个这样的数是多少。在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体数形结合，初步建立起数学语言数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想数形结合
11、。在相遇问题、追及问题、和差问题、和倍问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程解应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式，数形结合，呈现为较为具体直观的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，有利于分析题中数量之间的关系，丰富学生表象，引发联想，启发思维，拓宽思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题 的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决鸡兔同笼问题，即采用假设法解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。如：有一只笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有 5 只，腿有 14 条。你们知之间
12、的相互转化把抽象的数量关系通过形象化的方法转化为适当的图形从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系解决数量关系的数学问题这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式另外数形结合思想在关于几何图形形结合的思想充分利用形把题中的数量关系形象直观的表示出来如通过作线段图树形图长方形面积图集合图数轴等帮助学生理解抽象的数量关系数学概念使问题简明直观甚至使一些较难的问题迎刃而解应用数形结合解题从抽象到直球具有不同的功能左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维讲究规范严谨稳定封闭如数的运算逻辑推理归纳演绎等右半脑功能侧偏重于形象思维讲究直觉想象自由发散如猜想假设构思开拓奇异创造等左右半脑的功能各有特征如果互相补
13、充 欢迎下载 3 道鸡有几只，兔有几只吗？题中有两个变量：鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了，但它们的总的只数和腿的条数是不变的。教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好的理解的。采用数形结合，让学生通过想想画画再想想再画画，帮助学生理解这鸡兔这两个变量，从而解决问题。3、数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，为今后的数学学习打下坚实的基础。在一年级下册图形的组拼中，通过数图形，如，让学生不断地把玩方积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形，进而抽象出一排有几个，有几排，有几层等
14、空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体的体积公式推导等奠定基础。在三年级下册长方形面积公式推导中，通过让学生用 1 平方厘米的小正方形摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。在长方体体积公式推导中，也同样运用数与形的有机结合，通过学生用 1 立方厘米的小正方体摆放长方体的体积，得出长是几厘米就是一排摆几个，宽有几厘米就能摆几排，高有几厘米就是能摆放几层，进而逐步抽象概括出长方体的体积=长宽高。4、数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合的思想。在四年级下册三角形按角分类中，运用集合图，数形结合，让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝
15、角三角形这三类三角形之间的关系。同样，在四年级上册四边形的分类中，也是运用数形结合的集合图，帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别。5、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生逻辑思维能力。在现行人教版课标本数学教材中，引入了大量的以前认为是奥数的，但在现实生活中却经常应用的数学内容，如三年级下册重叠问题（P108 例 1）、四年级上册策略问题（P112 例 1、P113 例 2、P115 例 3）、四年级下册植树问题（P117 例 1、P118 例 2）、二年级上册（P99 例1）与三年级上册排列组合（P112 例 1、P113 例 2、P114 例 3）、一年级下册、二年
16、级下册、五年级上下册找规律等。在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解掌握运用。如三年级下册重叠问题（P108 例 1：三（1）班参加语文、数学课外小组学生名单。语文组：杨明、李芳、刘红、陈东、王爱华、张伟、丁旭、赵军；数学组：杨明、李芳、刘红、王志明、于丽、周晓、陶伟、卢强、朱小东。参加课外小组的学生有多少人），教学中，引导学生数出参加语文组的有 8 人，参加数学组有有 9 人，但这两个小组没有 8+9=17 人，这是为什么呢？引导学生通过画出韦恩集合图，让学生充分明白：有 3 个重复的，8+9 多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有 8+93=14（人）
17、。在植树问题中（P117 例 1：同学们在全长 100 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？），只有通过画图，让学生充分理解植树棵数与间隔数的关系，才能帮助学生理解两端要植：棵数=间隔数+1，两端不植：棵数=间隔数1，一端植：棵数=间隔数。二年级上册（P99 例 1）与三年级上册（P112 例 1、P113 例 2、P114 例 3）排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结合连线的方法，既做到不重不漏，又不把排列组合的知识强加给学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数形结合，
18、画图形操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。在找规律教学中，通过画图操作，逐步发现规律，并运用规律解决问题。以上等等，都是通过数与形的有机结合，使以前认为普通学生学习起来较难理解与掌握的奥数知识，变得形象直观，学生人人都能掌握运用了。三、教学示例 在小学数学中，数形结合的思想运用十分广泛，以下试举数例，通过由易到难，以期能达到举一反三的目的。之间的相互转化把抽象的数量关系通过形象化的方法转化为适当的图形从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系解决数量关系的数学问题这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式另外数形结合思想在关于几何图形形结合的思想充分利用形把题中的数量关系形象
19、直观的表示出来如通过作线段图树形图长方形面积图集合图数轴等帮助学生理解抽象的数量关系数学概念使问题简明直观甚至使一些较难的问题迎刃而解应用数形结合解题从抽象到直球具有不同的功能左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维讲究规范严谨稳定封闭如数的运算逻辑推理归纳演绎等右半脑功能侧偏重于形象思维讲究直觉想象自由发散如猜想假设构思开拓奇异创造等左右半脑的功能各有特征如果互相补充 欢迎下载 4 示例一：8 个分成两堆，有几种分法？（一年级上册 P55 8 的认识 ）教学建议：通过让学生摆放 8 个分成两堆的不同放法，理解 8 的分解与组成，并逐步理解掌握 8 的加法与减法。8 8 8 8 7 1 6 2 5 3
20、4 4 7+1=8 6+2=8 5+3=8 4+4=8 87=1 86=2 示例二：比较、的大小。（三年级上册 P93 例 3）教学建议：通过引导学生用图形画出、，并理解它们的意义，比较出；接着让学生画出与，并理解它们的意义，比较出。如下图所示：最后，再引导学生想明算理：同一个物体，平均分的份数越多，每一份越小；反之，平均分的份数越少，每份越大。归纳规律，得出分子相同的分数比较大小，分母大的分数小，分母小的分数大。示例三：在直线上表示下面各数，并比较大小。（四年级下册 P644 题）0.120.28 0.250.16 0.40.04 0 0.1 0.2 0.3 0.4 教学建议：通过让学生在数
21、轴上表示数，进一步理解小数的组成、大小，并掌握小数大小比较的方法。示例四：第一行摆，第二行摆第一行的 4 倍。第二行摆几个？（二年级上册 P76 例 3）教学建议：在二年级学生刚接触倍数问题时，关键是要通过数物结合、数形结合，帮助学生通过直观的实物、图形（线段图），牢固建立倍数问题的数量关系。首先通过实物演示，让学生理解倍数的意义：第二行是第一行的的 4 倍，就是求 4 个 2 是多少？小红：小刚：接着，通过画线段图，帮助学生树立初步的数形结合思想，即用图形代表数，反应数与数的关系。2 个圆圈 第一行：是第一行的 4 倍，？个 第二行：示例五：8 和 12 的公因数有哪些？最大的公因数是几？（
22、五年级下册 P27 例 4）教学建议：首先，让学生采用常规写法写出 8 和 12 的因数，并找出公因数和最大公因数。8 的因数有：1、2、4、8 12 的因数有：1、2、3、4、6、12 由于找起来较麻烦，引导学生把它们改为数形结合的集合图形式。8 的因数 12 的因数 之间的相互转化把抽象的数量关系通过形象化的方法转化为适当的图形从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系解决数量关系的数学问题这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式另外数形结合思想在关于几何图形形结合的思想充分利用形把题中的数量关系形象直观的表示出来如通过作线段图树形图长方形面积图集合图数轴等帮助学生理解抽象的数量关系
23、数学概念使问题简明直观甚至使一些较难的问题迎刃而解应用数形结合解题从抽象到直球具有不同的功能左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维讲究规范严谨稳定封闭如数的运算逻辑推理归纳演绎等右半脑功能侧偏重于形象思维讲究直觉想象自由发散如猜想假设构思开拓奇异创造等左右半脑的功能各有特征如果互相补充 欢迎下载 5 8 和 12 的公因数 最后，引导学生观察：两个数的最大公因数就是它们其余公因数的乘积。再引导学生理解用短除法求两个数的最大公因数较为方便。（短除法略）示例六：某厂去年生产白糖 700 吨，今年比去年多生产，今年生产白糖多少吨？（六年级上册分数应用题）教学建议：根据题意，画线段图为：“1”700 吨 去年
24、：今年：？吨 这样，学生理解起来觉得很形象直观，一下子就能找到解答的方法。示例七：某班有学生 56 人，参加作文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27 人，两科竞赛都没有参加的有 25 人，那么同时参加作文、数学竞赛的学生有多少人？（三年级下册较复杂的重叠问题）教学建议：在重叠问题中，条件的叙述象绕口令一样，纠缠难懂，学生单纯靠抽象的语言的确难理解，利用集合图表达各部分的关系就容易得多了。全班 56 人 同时参加作文、数学竞赛的人数 学生通过对图的分析、理解，很快就能列出多种解法。解法一：5625=31（人）28+2731=24（人）解法二：28+27+2556=24（人）示例八：小红有两
25、件上衣，三件下装，她一共有几种不同的穿法？（三年级上册 P112 例 1）教学建议：题意画图为：T 恤衫 牛仔衣 裙子 牛仔裤 西裤 示例九：2002 年世界杯足球赛 C 组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？（三年级上册 P114 例 3）按题意画图为：或：巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加 在排列组合题中，排列与顺序无法，组合与顺序有关，但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。而采用直观的画图连线就十分清楚明白了。示例十：五一班同学分三次给敬老院送温暖。第一次送了 10 千克大米、10 千克面粉、10千克食油，合人民币 140 元；
26、第二次送了 20 千克大米、15 千克面粉、10 千克食油，合人民币 180 元；第三次送了 25 千克大米、20 千克面粉、10 千克食油，合人民币 205 元。求大米、面粉和食油每千克各多少元？教学建议：本题条件太多，学生读后可能头都晕了。把条件用表格的形式排列出来，引导学生对照、比较、分析，就不难求解了。大米 面粉 食油 人民币 第一次 10 10 10 140 第二次 20 15 10 180 第三次 25 20 10 205 之间的相互转化把抽象的数量关系通过形象化的方法转化为适当的图形从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系解决数量关系的数学问题这是数形结合思想在小学数学中最主
27、要的呈现方式另外数形结合思想在关于几何图形形结合的思想充分利用形把题中的数量关系形象直观的表示出来如通过作线段图树形图长方形面积图集合图数轴等帮助学生理解抽象的数量关系数学概念使问题简明直观甚至使一些较难的问题迎刃而解应用数形结合解题从抽象到直球具有不同的功能左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维讲究规范严谨稳定封闭如数的运算逻辑推理归纳演绎等右半脑功能侧偏重于形象思维讲究直觉想象自由发散如猜想假设构思开拓奇异创造等左右半脑的功能各有特征如果互相补充 欢迎下载 6 通过观察比较，第二次与第一次相比较：多送大米 10 千克，面粉 5 千克，多付钱 180140=40（元）；第三次与第二次相比较：多送大米
28、 5 千克，面粉 5 千克，多付钱 205180=25（元）。又列表如下：多送大米 多送面粉 多付钱 第二次与第一次比较 10 5 40 第三次与第二次比较 5 5 25 现在学生很容易看出：面粉的数量不变，多送了千克大米，就多付了钱 4025=15（元），可求出大米每千克：155=3（元），进而求出面粉每千克：（40310）5=2（元），食油每千克：（140310210）10=9（元）。像这样数据较多的问题，采用列表的方法，易于揭示数量之间的关系，使思路清晰，采用最优化方法解题。综上示例，不难看出，采用数形结合思想方法解题，关键是要让数形有机结合，把抽象的数学问题形象化、直观化，从而化繁为简
29、，化难为易。四、教学中应注意的问题 一、在教学中，必须要把数与形有机地结合起来，既不能脱离形来谈数，又不能丢开数谈形。形是数的直观呈现，数是形的逻辑表达。数与形是辩证统一的。只有这样，才能把学生的形象思维与逻辑思维有机地结合起来，做到数中有形，形中有数，培养学生的辩证思维能力。二、在低段数学教学中，一定要把握好由形象直观抽象概括的“度”。教学中一定要从直观的实物呈现，逐步抽象概括出数理、算理知识，并逐步过渡到由“实物呈现”转变为由“形代替实物”的“形呈现”，从而实现思维的质的飞跃。三、在数学教学活动中，要通过数与形的结合，有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，培养学生多向思维的好习惯。四
30、、在数学教学中，还要重点培养学生理解掌握数形结合的表现形式，即通过对题目的阅读理解，用正确的方式画图表达出题意，从而实现把题目的抽象叙述变为直观呈现，化繁为简，化难为易的目的。总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。之间的相互转化把抽象的数量关系通过形象化的方法转化为适当的图形从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系解决数量关系的数学问题这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式另外数形结合思想在关于几何图形形结合的思想充分利用形把题中的数量关系形象直观的表示出来如通过作线段图树形图长方形面积图集合图数轴等帮助学生理解抽象的数量关系数学概念使问题简明直观甚至使一些较难的问题迎刃而解应用数形结合解题从抽象到直球具有不同的功能左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维讲究规范严谨稳定封闭如数的运算逻辑推理归纳演绎等右半脑功能侧偏重于形象思维讲究直觉想象自由发散如猜想假设构思开拓奇异创造等左右半脑的功能各有特征如果互相补充