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1、20102010 年全国卷年全国卷高考理科数学真题及答案高考理科数学真题及答案第第 I I 卷卷一选择题一选择题（1）复数231ii（A）34i（B）34i（C）34i（D）34i（2）函数1ln(1)(1)2xyx的反函数是（A）211(0)xyex（B）211(0)xyex（C）211(R)xyex（D）211(R)xyex（3）若变量,x y满足约束条件1,325xyxxy，则2zxy的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）如果等差数列 na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14（B）21（C）28（D）35（5）不等式2601xxx的解集为（A）2,3x xx或（B
2、）213x xx，或 （C）213xxx ，或（D）2113xxx ，或 （6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种（7）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像（A）向左平移4个长度单位（B）向右平移4个长度单位（C）向左平移2个长度单位（D）向右平移2个长度单位（8）ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB若CBauur，CAbuur，1a，2b，则CD uuu r（A）1233ab（B）2
3、133ab（C）3455ab（D）4355ab（9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）3（C）2（D）3（10）若曲线12yx在点12,a a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a 来（A）64（B）32（C）16（D）8（11）与正方体1111ABCDABC D的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个（B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个（D）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)xyCabab 的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则
4、k（A）1（B）2（C）3（D）2第第卷卷二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分（13）已知a是第二象限的角，4tan(2)3a，则tana（14）若9()axx的展开式中3x的系数是84，则a（15）已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线为l，过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB，则p（16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB 若3OMON，则两圆圆心的距离MN 三三解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070
5、 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD（18）（本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和2()3nnSnn（）求limnnnaS；（）证明：12222312nnaaan（19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1AAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB（）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；（）设异面直线1AB与CD的夹角为 45，求二面角111AACB的大小（20）（本小
6、题满分 12 分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求p；（）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望（21）（本小题满分 12 分）己知斜率为 1 的直线l与双曲线C：2222100 xyabab，相交于B、D两点，且BD的中点为1,3M（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切（2
7、2）（本小题满分 12 分）设函数 1xf xe（）证明：当x-1时，1xf xx；（）设当0 x 时，1xf xax，求a的取值范围参考答案（数学理）参考答案（数学理）（1）复数231ii（A）34i（B）34i（C）34i（D）34i【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231ii22(3)(1)(12)342iiii .（2）.函数1ln(1)(1)2xyx的反函数是（A）211(0)xyex（B）211(0)xyex（C）211(R)xyex（D）211(R)xyex【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得，即，
8、又；在反函数中，故选 D.（3）.若变量,x y满足约束条件1,325xyxxy，则2zxy的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)构成的三角形，可知目标函数过 C 时最大，最大值为 3，故选 C.（4）.如果等差数列 na中，34512aaa，那么127.aaa（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa（5）不等式2601xxx的解集为（A）
9、2,3x xx或（B）213x xx，或 （C）213xxx ，或（D）2113xxx ，或 【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2x1 或 x3，故选 C（6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有
10、种，故选 B.（7）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像（A）向左平移4个长度单位（B）向右平移4个长度单位（C）向左平移2个长度单位（D）向右平移2个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】sin(2)6yx=sin2()12x，sin(2)3yx=sin2()6x，所以将sin(2)6yx的图像向右平移4个长度单位得到sin(2)3yx的图像，故选 B.（8）ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB 若CBauur，CAbuur，1a，2b，则CD uuu r（A）1233ab（B）2133ab（C）3455ab（D）43
11、55ab【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADCA2=DBCB1，所以 D 为 AB 的三等分点，且22ADAB(CBCA)33 ，所以2121CDCA+ADCBCAab3333 ，故选 B.（9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）3（C）2（D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解 析】设 底 面 边 长 为 a，则 高所 以 体 积，设，则，当 y 取最值时，解得 a=0 或 a=4时，体积最大，此时，故选 C.（10
12、）若曲线12yx在点12,a a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.【解析】332211,22yxka ，切线方程是13221()2yaaxa，令0 x，1232ya，令0y，3xa，三角形的面积是121331822saa，解得64a.故选 A.（11）与正方体1111ABCDABC D的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个（B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个（D）有无数个【答案】D【解析
13、】直线上取一点，分别作垂直于于则分 别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.（12）已知椭圆2222:1(0)xyCabab 的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则k（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1垂直于
14、 l，A1，B为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由，得，即 k=，故选 B.第第卷卷注意事项：1用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2本卷共 10 小题，共 90 分。二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分（13）已知a是第二象限的角，4tan(2)3a，则tana【答案】12【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【解 析】由4tan(2)3a 得4tan23a ，又22tan4tan21tan3a，解 得1tantan22 或，又
15、a是第二象限的角，所以1tan2.（14）若9()axx的展开式中3x的系数是84，则a【答案】1【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.【解析】展开式中3x的系数是3339()8484,1Caaa .（15）已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线为l，过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B若AMMB，则p【答案】2【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过 B 作 BE 垂直于准线l于 E，AMMB，M 为中点，1BMAB2，又斜率为3，0BAE30，1BEAB2，BMBE，M 为抛物线的焦点，p 2.（16）已知球O的半
16、径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB 若3OMON，则两圆圆心的距离MN【答案】3【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.【解析】设 E 为 AB 的中点，则 O，E，M，N 四点共面，如图，4AB，所以22ABOER2 32，ME=3，由球的截面性质，有OMME,ONNE，3OMON，所以MEO与NEO全等，所以 MN 被 OE 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，ME MOMN=23OE三三解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或
17、演算步骤（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由 cosADC=0，知 B.由已知得 cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得，所以=.（18）（本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和2()3nnSnn（）求limnnnaS；（）证明：12222312nnaaan【命题意图】本试题主要考查数
18、列基本公式11(1)(2)nnns nassn的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】（19）如图，直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1AAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB（）证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；（）设异面直线1AB与CD的夹角为 45，求二面角111AACB的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB1，且 AF=FB
19、1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故 DEBF，DEAB1.3 分作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45设 AB=2，则 AB1=，DG=，CG=，AC=.作 B1HA1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC1，K 为垂足，连接 B1K
20、，由三垂线定理，得 B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角.（20）（本小题满分 12 分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求p；（）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.【参考答
21、案】（21）（本小题满分 12 分）己知斜率为 1 的直线l与双曲线C：2222100 xyabab，相交于B、D两点，且BD的中点为1,3M（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】（22）（本小题满分 12 分）设函数 1xf xe（）证明：当x-1时，1xfxx；（）设当0 x 时，1xfxax，求a的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】