2010年甘肃高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 0 年 甘 肃 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案第 卷（选 择 题）本 卷 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的。参 考 公 式：如 果 事 件 A、B 互 斥，那 么 球 的 表 面 积 公 式(+)()+()P A B P A P B S=4 R2如 果 事 件 A、B 相 互 独 立，那 么 其 中 R 表 示 球 的 半 径()()()P A B P A P B 球 的 体 积 公 式如 果 事 件 A 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是 p

2、，那 么34V R3 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 其 中 R 表 示 球 的 半 径P()(1)(0,1,2,)k k n kn nk C p p k n 一、选 择 题（1）设 全 集*U 6 x N x，集 合 A 1,3 B 3,5，,则U()A B（）（）1,4（）1,5（）2,4（）2,5（）不 等 式302xx的 解 集 为（）（）2 3 x x（）2 x x（）2 3 x x x 或（）3 x x（3）已 知2s i n3，则 c os(2)(A)53(B)19(C)19(D)53（4）函 数 1 l n(1)(1)y x

3、x 的 反 函 数 是(A)11(0)xy e x(B)11(0)xy e x(C)11(R)xy e x(D)11(R)xy e x(5)若 变 量,x y 满 足 约 束 条 件13 2 5xy xx y，则 2 z x y 的 最 大 值 为(A)1(B)2(C)3(D)4（6）如 果 等 差 数 列 na 中，3a+4a+5a=1 2，那 么1a+2a+7a=(A)1 4(B)2 1(C)2 8(D)3 5（7）若 曲 线2y x ax b 在 点(0,)b 处 的 切 线 方 程 式 1 0 x y，则（A）1,1 a b（B）1,1 a b（C）1,1 a b（D）1,1 a b（

4、8）已 知 三 棱 锥 S A B C 中，底 面 A B C 为 边 长 等 于 2 的 等 边 三 角 形，S A 垂 直 于 底 面 A B C，S A=3，那 么 直 线 A B 与 平 面 S B C 所 成 角 的 正 弦 值 为（A）34（B）54（C）74（D）34（9）将 标 号 为 1,2,3,4,5,6 的 6 张 卡 片 放 入 3 个 不 同 的 信 封 中，若 每 个 信 封 放 2 张，其 中标 号 为 1,2 的 卡 片 放 入 同 一 信 封，则 不 同 的 放 法 共 有（A）1 2 种（B）1 8 种（C）3 6 种（D）5 4 种（1 0）A B C 中

5、，点 D 在 边 A B 上，C D 平 分 A C B，若 C B a，C A b，1,2 a b，则C D=（A）1 23 3a b（B）2 23 3a b（C）3 45 5a b（D）4 35 5a b（1 1）与 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 三 条 棱 A B、1C C、1 1A D 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 点（A）有 且 只 有 1 个（B）有 且 只 有 2 个（C）有 且 只 有 3 个（D）有 无 数 个（1 2）已 知 椭 圆 C：22xa+22by=1(0)a b 的 离 心 率 为23，过 右 焦 点 F 且 斜 率 为 k

6、（k 0）的 直 线 与 C 相 交 于 A、B 两 点，若 A F=3 F B，则 k=（A）1（B）2（C）3（D）2第 卷（非 选 择 题）二.填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。（1 3）已 知 是 第 二 象 限 的 角，1t a n2，则 c os _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(1 4)91()xx 的 展 开 式 中3x 的 系 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(1 5)已 知 抛 物 线2C 2(0)y px p：的 准 线 为 l，过 M(1,0)且 斜 率 为 3 的 直 线 与 l 相 交于 点 A,与

7、 C 的 一 个 交 点 为 B,若，A M M B，则 p 等 于 _ _ _ _ _ _ _ _ _.（1 6）已 知 球 O 的 半 径 为 4，圆 M 与 圆 N 为 该 球 的 两 个 小 圆，A B 为 圆 与 圆 N 的 公 共 弦，A B=4，若 O M=O N=3，则 两 圆 圆 心 的 距 离 M N=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分，解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 7）（本 小 题 满 分 1 0 分）A B C 中，D 为 边 B C

8、上 的 一 点，B D=3 3,5s i n13B,3c os5A D C.求 A D.（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 例 数 列，且1 21 21 12()a aa a，3 4 53 4 51 1 164()a a aa a a.()求 na 的 通 项 公 式；（）设21()n nnb aa,求 数 列 nb 的 前 n 项 和nT.（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，直 三 棱 柱 A B C-A1B1C1中，A C B C，A A1=A B，D 为 B B1的 中 点，E 为 A B1上 的 一 点，A

9、E=3 E B1.（）证 明：D E 为 异 面 直 线 A B1与 C D 的 公 垂 线；（）设 异 面 直 线 A B1与 C D 的 夹 角 为 4 5o,求 二 面 角 A1-A C1-B1的 大 小.（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，由 M 到 N 的 电 路 中 有 4 个 元 件，分 别 标 为 T1，T2，T3，T4，电 流 能 通 过 T1，T2，T3的 概 率 都 是 p，电 流 能 通 过 T4的 概 率 是 0.9，电 流 能 否 通 过 各 元 件 相 互 独 立.已 知 T1，T2，T3中 至 少 有 一 个 能 通 过 电 流 的 概 率 为

10、0.9 9 9（）求 p；（）求 电 流 能 在 M 与 N 之 间 通 过 的 概 率.（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数3 2()3 3 1 f x x ax x（）设 2 a，求()f x 的 单 调 区 间；（）设()f x 在 区 间（2,3）中 至 少 有 一 个 极 值 点，求 a 的 取 值 范 围.（2 2）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 斜 率 为 1 的 直 线 l 与 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 相 交 于 B、D 两 点，且 B D的 中 点 为 M(1,3).（）求 C 的 离 心 率；（）设 C 的

11、 右 顶 点 为 A，右 焦 点 为 F，D F B F=17，证 明：过 A、B、D 三 点 的 圆 与 x 轴相 切.参 考 答 案 和 评 分 参 考一、选 择 题1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B1 0.B 1 1.D 1 2.B二、填 空 题1 3.2 55 1 4.8 4 1 5.2 1 6.3三、解 答 题（1 7）解：由3c os 05 2A D C B 知由 已 知 得12 4c os,s i n13 5B A D C，从 而 s i n s i n()B A D A D C B=s i n c o s c o s s i n A D C

12、B A D C B 4 12 3 55 13 5 13 3365.由 正 弦 定 理 得A Ds i n s i nB DB B A D,所 以s i nA Ds i nB D BB A D53313=253365.（1 8）解：（）设 公 比 为 q，则11nna a q.由 已 知 有1 11 12 3 41 1 1 2 3 41 1 11 12,1 1 164.a a qa a qa q a q a qa q a q a q 化 简 得212 61264.a qa q，又10 a，故12,1 q a 所 以12nna（）由（）知22 12 11 1 12 4 24nn n n nn nb

13、 a aa a 因 此 1 11111 1 4 1 141 4.4 1.2 2 4 4 2 114 4 4 1 314nnn n nn nT n n n（1 9）解 法 一：（）连 结1A B,记1A B 与1A B 的 交 点 为 F.因 为 面1 1A A B B 为 正 方 形，故1 1A B A B，且1A F=F B.又1A E=3E B，所 以1F E=E B，又 D 为1B B 的 中 点，故1D E B F D E A B，.作 C G A B,G 为 垂 足，由 A C=B C 知，G 为 A B 中 点.又 由 底 面 A B C 面1 1A A B B，得 C G 1 1

14、A A B B.连 结 D G，则1D G A B，故 D E D G,由 三 垂 线 定 理，得 D E C D.所 以 D E 为 异 面 直 线1A B 与 C D 的 公 垂 线.（）因 为1D G A B，故 C D G 为 异 面 直 线1A B 与 C D 的 夹 角，C D G=45.设 A B=2，则1A B 2 2，D G=2，C G=2,A C=3.作1 1 1B H A C,H 为 垂 足，因 为 底 面1 1 1 1 1A B C A A C C 面,故1 1 1B H A A C C 面，又 作1H K A C，K 为 垂 足，连 结1B K,由 三 垂 线 定 理

15、，得1 1B K A C，因 此1B K H 为 二 面 角1 1 1A A C B 的 平 面 角221 1 1 1 1 111 112 2 23A B A C A BB HA C 2 21 1 1 133H C B C B H 2 2 1 1112 32(3)7,3 7A A H CA C H KA C 11t a n 14B HB K HH K 所 以 二 面 角1 1 1A A C B 的 大 小 为 a r c t a n 14解 法 二：（）以 B 为 坐 标 原 点，射 线 B A 为 x 轴 正 半 轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 B x y z.设

16、 A B=2，则 A（2,0,0,），1B(0,2,0)，D（0,1,0），1 3E(,0)2 2，又 设 C（1,0,c）,则 11 1D E 0 B A=2,-2,0,D C=1,-1,c2 2，.于 是1D E B A=0,D E D C=0.故1D E B A D E D C，,所 以 D E 为 异 面 直 线1A B 与 C D 的 公 垂 线.（）因 为1,B A D C 等 于 异 面 直 线1A B 与 C D 的 夹 角，故1 1c os 45 B A D C B A D C，即222 2 2 42c，解 得 2 c，故 A C(,2 2)-1，又1 1A A=B B=(0

17、,2,0)，所 以1 1A C=A C+A A=(1,2 2)，设 平 面1 1A A C 的 法 向 量 为(,)m x y z，则1 10,0 m A C m A A 即 2 2 0 2 0 x y z y 且令 2 x，则 1,0 z y，故(2,0,1)m 令 平 面1 1A B C 的 法 向 量 为(,)n p q r 则1 10,0 n A C n B A，即 2 2 0,2 2 0 p q r p q 令 2 p，则 2,1 q r，故(2,2 1)n 所 以1c os,15m nm nm n.由 于,m n 等 于 二 面 角1 1 1A-A C-B 的 平 面 角，所 以

18、二 面 角1 1 1A-A C-B 的 大 小 为15a r c c os15.（2 0）解：记1A 表 示 事 件：电 流 能 通 过 T,1,2,3,4,ii A 表 示 事 件：1 2 3T T T，中 至 少 有 一 个 能 通 过 电 流，B 表 示 事 件：电 流 能 在 M 与 N 之 间 通 过，（）1 2 3 1 2 3A A A A A A A，相 互 独 立，31 2 3 1 2 3P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p,又 P()1 P(A)=1 0.999 0.001 A，故3(1)0.001 0.9 p p，（）4 4 1 3 4

19、 1 2 3B A+A A A+A A A A，4 4 1 3 4 1 2 3P(B)P(A+A A A+A A A A)4 4 1 3 4 1 2 3P(A)+P(A A A)+P(A A A A)4 4 1 3 4 1 2 3P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)=0.9+0.1 0.9 0.9+0.1 0.1 0.9 0.9=0.9 8 9 1（2 1）解：（）当 a=2 时，3 2()6 3 1,()3(2 3)(2 3)f x x x x f x x x 当(,2 3)x 时()0,()f x f x 在(,2 3)单 调 增 加；当(2 3,2 3)x

20、 时()0,()f x f x 在(2 3,2 3)单 调 减 少；当(2 3,)x 时()0,()f x f x 在(2 3,)单 调 增 加；综 上 所 述，()f x 的 单 调 递 增 区 间 是(,2 3)和(2 3,)，()f x 的 单 调 递 减 区 间 是(2 3,2 3)（）2 2()3()1 f x x a a，当21 0 a 时，()0,()f x f x 为 增 函 数，故()f x 无 极 值 点；当21 0 a 时，()0 f x 有 两 个 根2 21 21,1 x a a x a a 由 题 意 知，2 22 1 3,2 1 3 a a a a 或 式 无 解

21、，式 的 解 为5 54 3a，因 此 a 的 取 值 范 围 是5 54 3，.（2 2）解：（）由 题 设 知，l 的 方 程 为：2 y x，代 入 C 的 方 程，并 化 简，得2 2 2 2 2 2 2()4 4 0 b a x a x a a b，设1 1 2 2B(,)(,)x y D x y、，则2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 24 4,a a a bx x x xb a b a 由(1,3)M 为 B D 的 中 点 知1 212x x，故22 21 412ab a 即2 23 b a，故2 22 c a b a 所 以 C 的 离 心 率 2cea（）由 知，C

22、的 方 程 为：2 2 23 3 x y a，21 2 1 24 3(,0),(2,0),2,02aA a F a x x x x 故 不 妨 设1 2,x a x a，2 2 2 2 21 1 1 1 1B F=(2)(2)3 3 2 x a y x a x a a x，2 2 2 2 22 2 2 2 2F D=(2)(2)3 3 2 x a y x a x a x a，2 21 2 1 2 1 2B F F D(2)(2)=4 2()5 4 8 a x x a x x a x x a a a.又 B F F D 17，故25 4 8 17 a a，解 得 1 a，或95a（舍 去），故21 2 1 2 1 2B D=2 2()4 6 x x x x x x，连 结 M A，则 由 A(1,0)，M(1,3)知 M A 3，从 而 M A=M B=M D,且 M A x 轴，因 此 以 M 为 圆 心，M A 为 半 径 的 圆 经 过 A、B、D 三 点，且 在 点 A 处 与 x 轴 相 切，所 以 过 A、B、D 三 点 的 圆 与 x 轴 相 切.