《2023年概率论与数理统计AB卷期末试卷及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年概率论与数理统计AB卷期末试卷及答案.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、大 学 试 卷2023-2023 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 A 卷班级学号姓名总分题 目一二得 分阅卷人可能用到的概率值： F(0.5) = 0.6915, F(1)= 0.8413,F(1.5) = 0.9332, F(2.75) = 0.997 ,第 1 页 共 15 页F(3) = 0.9987 ,可能用到的分位点： c 2装0.05(5) = 11.071, c 20.05(6) = 12.592 , c 20.025(5) = 12.832, c 20.025(6) = 14.44 ,t(35) = 1.6896, t(36) = 1.6883, t(35) = 2.0
2、3, t(36) = 2.028订0.050.050.0250.025F线0.05(9,12) = 2.8, F0.05(12,9) = 3.07,一、填空题共 6 题，每题 4 分，共 24 分1. 设 P( A) = 1 , P(B | A) = 1 , P( A | B) = 1 ，则 P(A B) =.4322. 设随机变量 X ,Y 相互独立，且Xb(100,0.1),YU(2,4), ，则方差D(X- 3Y ) =.03. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F (x) = 1- ae-0.4 x4. 设随机变量 XN (0,4) ，则 P1 X 0 x 0，则a =.5. 一个袋
3、子中有 10 个大小一样的球，3 个黑球，7 个白球。现任取 2 球，恰好一个黑球一个白球的概率是.6. 设( X1, Xn) 是来自总体 XN (0,s2 ) 的样本,且统计量 T =a n ni=1X 2 是参数s 2 的无i偏估量量,则a =.二、解答题共 8 题，其中 1-4 题每题 10 分，5-8 题每题 9 分，共 76 分1. 有 3 个罐子，1 号罐子有 2 红 1 黑 3 个球，2 号罐子有 3 红 1 黑 4 个球，3 号罐子有2 红 2 黑 4 个球。随机取一个罐子，从中任取一球，则(1) 取到红球的概率是多少，(2) 假设取出的是红球，则该红球来自 2 号罐子的概率是
4、多少？cx0 x 102. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f (x) = 其他 ，求:(1)常数c ，(2)概率 P0.25 X 0, y 03. 设二维随机变量(X,Y) 的联合概率密度函数为 f (x, y) = ，0,其他求:(1) PY 0 x 0，则a =.4. 设随机变量 X 听从参数为 2 的指数分布，则 PX = 2 =.5. 甲乙丙三人去住宿三间客房，每间恰有一人的概率是.6. 设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 听从二项分布b(4,e -1 ) ，Y 听从参数为 1 的 Poisson分布，则 PX = 4,Y = 1 =.二、解答题共 8 题，其中 1-4 题每题
5、 10 分，5-8 题每题 9 分，共 76 分1. 某厂有四条流水线生产同一批产品，产量分别占总产量的 15%，20%，30%，35%，且四条流水线的不合格率依次为 0.05,0.04,0.03,0.02.现从这批产品中任取一件，求(1)取到不合格品的概率是多少？(2)假设取到的是不合格品，问它是由第一条流水线生产的概率是多少？2e-2 x- y ,x 0, y 02. 设二维随机变量(X,Y) 的联合概率密度函数为 f (x, y) = ，0,其他求:(1) PY X，(2)( X ,Y ) 关于 X ,Y 的边缘概率密度函数，(3) X ,Y 是否相互独立？a-1 x 103. 设随机变
6、量 X 的概率密度函数为 f (x) = 其他 ，求:(1)常数a ，(2)概率 P-0.5 X 0.5，(3)随机变量Y = 2X 的概率密度函数。4. 设总体 X 听从参数为l 的 Poisson 分布， X , X,., X为一个样本， x , x,., x是观察值。12n12n求:(1)参数l 的矩估量量，(2)参数l 的最大似然估量量。5. 某农机厂生产的打谷机的次品率为 0.005，生产了 1 万台，用中心极限定理近似计算次品数不超过 40 台的概率。6. 设某批次铝材料的比重听从正态分布 N (m,s 2) ，现测量比重 16 次，算的均值x = 2.705 ，样本标准差s =
7、0.029 。求均值的置信水平为 0.95 的置信区间。7. 甲乙两家厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取 13 个和 10 个样品，测得他们的电阻后，得样本方差分别为1.40 和 4.38。假设电阻听从正态分布，在显著性水平为 0.1 下，是否可以认为两厂生产的电阻的方差相等？8. 争论牛的毛色与牛角的有无，用黑色无角牛与红色有角牛杂交，子二代消灭黑色无角牛 192 头，黑色有角牛78 头，红色无角牛72 头，红色有角牛18 头，共360 头。问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中 9:3:3:1 的比例？显著性水平取 0.1.2023-2023-1 概率论与数理统计 A 参考答
8、案17一、1.3， 2.12， 3.1， 4.0.2417， 5.15， 6.1二、1.解：设 Ai表示取到第i 个罐子， B 表示取到一个红球，(1) 由全概率公式有 P(B) = P(A ) P(B | A ) + P(A ) P(B | A ) + P(A ) P(B | A )112233= 1 2 + 1 3 + 1 2 =235 分33343436(2) 由贝叶斯公式有 P(A| B) =P(A2B) = (1 3) / 23 = 910 分2P(B)3436232.解：(1)由概率密度函数的性质有1 = + f (x)dx = 1 cxdx = c x2 |1 = c，故c =
9、23 分-0202(2) P0.25 X 0.5 = 0.5 2xdx = x2 |0.5 = 3.6 分(3) 设Y 的分布函数为 FY0.25(y) ，则0.25160y 1F (y) = PY y = Pe X y = PX lny1 y eY1y e0y 1= F(lny)1 y e9 分X 1y eY 的概率密度函数为 2 ln y1 y ef (y) = F” (y) = y10 分YY0其他3.解：(1) PY 02e-2 xx 0(2) fX(x) =f (x, y)dy = 0-0= x 00x 0.6 分 2e-2 x- ydxy 0e- yy 0f (y) =Yf (x,
10、 y)dx = 0-0= y 0 0y 0.9 分由于 f (x, y) = f(x) f (y)，所以 X 与Y 相互独立。10 分XY4. 解：(1)由于总体一阶矩m1= E(X) = l ，所以l = m ，1故l 的矩估量量为l = X5 分(2)设Poisson 分布的分布列为PX = x =l x e-l ，于是似然函数为x!L(l) = PnlxiPX = x = Pnx e-l = lni=1i (x! x!)e -nl8 分i=1ii=1 x !1n i取对数ln L(l) = ni=1x ln l + ln(x ! x !) - nl ，i1nd ln L(l)并令dl=
11、0 得 1 nli=1x - n = 0 ，解得l =i1 nx ，nii=1于是l 的最大似然估量量为l = X 。10 分5. 解：设需要生产 n 只显像管，设 Xi表示第 i 只显像管是否为正品，于是 Xi为两点分布，且可设PXi= 1 = 0.8, PXi= 0 = 0.2 ，则X = ni=1X 表示n 只显像管中正品的数量，由中心极限定理知iX 近似听从正态分布 N (0.8n,0.16 n) ，2 分于是由条件有PX 10000 = 0.997 ，从而 PX - 0.8n0.4n0.8n -100000.4n0.8n -10000X - 0.8n 10000 - 0.8n = 0
12、.9976 分0.4n0.4nP = 0.997 ,即F() = 0.997 ，于是查表得0.4n0.4n0.8n -10000 = 2.75 ，解方程得n 12656.25，故每月应至少生产 12657 只。9 分X - mS /nt(n -1)6. 解：由于总体方差未知，应选取枢轴量3 分S /n给定1-a = 0.95, 得a = 0.05，由 Pa X - m b = 0.95 ，取b = -a = t(35) = 2.03 ，6 分0.025于是得平均消费额的 0.95 置信区间 ( X - t(35)S/n, X + t(35)S/n)， 代入数据 得0.0250.025(75.9
13、4,84.06)9 分7. 解：检验假设 H0: s 21= s 2 , H21: s 21 s 2 ，2 分2S 2s 21选取检验统计量 F =1 /S 2s 222F (n1-1,n2-1) ，2 分拒绝域形式为 F F0.05s21.40(12,9) 或者 F F0.95(12,9)2 分1计算得 F =1 = 0.3196 ，查表得 F(12,9) = 3.07, ， F(12,9) =s24.380.050.95F(9,12)=12.82= 0.3571 ，故 F F0.95(12,9) ，因此拒绝 H00.05。9 分8. 解： H0：骰子均匀，即 PX = i =1 , i =
14、 1,2,3,4,5,63 分Aifipnpif 2inpi612345623262120151511111166666620202020202026.4533.822.052011.2511.25检验统计量的观看值c 2= 6fi-120 = 124.8 -120 = 4.8 ，拒绝域为c 2 c 2(5)2np0.05i=1i= 11.07 。由于检验统计量的观看值c 2 11.07 ，故承受 H 。9 分02023-2023-1 概率论与数理统计 B 参考答案12一、1.3， 2.7， 3.1， 4.0， 5.9， 6.e -5二、1.解：(1)由全概率公式 p=0.03155 分(2)
15、由贝叶斯公式有p=0.238=5/2110 分2.解：(1) PY 02e-2 xx 0(2) fX(x) =f (x, y)dy = 0-0= x 00x 0.6 分 2e-2 x- ydxy 0e- yy 0f (y) =Yf (x, y)dx = 0-0= y 0 0y 0.9 分由于 f (x, y) = f(x) f (y)，所以 X 与Y 相互独立。10 分XY3.解：1a=1/2,(2) 1/2(3)f 1( y) = 4-2 y 2Y0其他4.解：(1)由于总体一阶矩m1= E(X) = l ，所以l = m ，1故l 的矩估量量为l = X5 分(2)设Poisson 分布的
16、分布列为PX = x =l x e-l ，于是似然函数为x!L(l) = PnlxiPX = x = Pnx e-l = lni=1i (x! x!)e -nl8 分i=1ii=1 x !1n i取对数ln L(l) = ni=1x ln l + ln(x ! x !) - nl ，i1nd ln L(l)并令dl= 0 得 1 nli=1x - n = 0 ，解得l =i1 nx ，nii=1于是l 的最大似然估量量为l = X 。10 分5.解:设 X 表示次品数， Xb(10000,0.005)由中心极限定理知 X 近似听从正态分布 N (50,49.75) 则： P( X 40) =
17、1 - F(1.42) = 0.07786. 解：置信区间( X - t(15)S/n, X + t(15)S/n)，代入数据得0.0250.025(2.69,2.72)9 分7. 解：检验假设 H0: s 21S 2= s 2 , H21s 2: s 21 s 2 ，2 分21选取检验统计量 F =1 /S 2s 222F (n1-1,n2-1) ，2 分拒绝域形式为 F F0.05(12,9) 或者 F F0.95(12,9)2 分s21.401计算得 F =1 = 0.3196 ，查表得 F(12,9) = 3.07, ， F(12,9) =s24.380.050.95F(9,12)=12.82= 0.3571 ，故 F 3.37,故承受原假设 ,认为符合孟德尔遗传规律9 分