《2022年概率论与数理统计期末试卷及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与数理统计期末试卷及答案.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计期末试卷及答案一.填空题（每空题 2 分,共计 60 分）1、A、B 是两个随机大事, 已知 p A 0 . 4 , P B 0 . 5 , p A B 0.3,就 p A B 0.6 , p A-B 0.1 ,P A B = 0.4 , p A B 0.6；2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只；（1）从中不放回地任取 2 只,就第一次、其次次取红色球的概率为：1/3 ；（2）如有放回地任取 2 只,就第一次、其次次取红色球的概率为：9/25 ；（3）如第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入
2、袋中后,再取其次只,就第一次、其次次取红色球的概率为：21/55 ；3、设随机变量 X 听从 B（2,0.5）的二项分布, 就 p X 1 0.75, Y 听从二项分布 B98, 0.5, X 与 Y 相互独立 , 就 X+Y 听从 B100,0.5,EX+Y= 50 ,方差 DX+Y= 25 ；4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为 0.1、0.15现从由甲厂、乙厂的产品分别占 60%、40%的一批产品中随机抽取一件；（1）抽到次品的概率为：0.12 ；（2）如发觉该件是次品,就该次品为甲厂生产的概率为：0.5 5、设二维随机向量 X , Y 的分布律如右,就 a 0.
3、1, E X 0.4,X 0 1 YX与 Y 的协方差为 : - 0.2 ,-1 0.2 0.3 1 0.4 aZ X Y 2的分布律为 : z 1 2 概率 0.6 0.4 6 、 如 随 机 变 量 X N 2 , 4 且 1 0 . 8413, 2 0 . 9772 , 就 P 2 X 4 0.815 ,名师归纳总结 - - - - - - -Y2X,1就YN5 , 16 ）；7、随机变量X、 Y 的数学期望EX= -1, EY=2, 方差 DX=1 ,DY=2, 且 X、Y 相互独立,就：E2XY- 4 ,D2XY6 ；8、设D（X）25,D（Y）1,CovX,Y2,就D（XY）30
4、9、设X1,X26是总体N8 , 16的容量为26 的样本, X 为样本均值,2 S 为样本方差；就：XN（8 ,8/13 ）,25S22 25 ,X8t25 ；16s/25第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、（ 6 分） 已知随机变量X 的密度函数fxax2,0x10,其它求：（ 1）常数 a , （2）p05.X1 .5 （3）X 的分布函数F（x）；0x,1 0y12解:1由fxdx,1得a322 p05.X15=1. 5fxdx1 5.0 3x2dx0 .8755.00x023Fx x3,0x12y,1,1x三、（ 6 分） 设随机变量（ X,
5、Y）的联合概率密度为：fx ,y0,其它求：（1）X ,Y 的边缘密度,（2）争论 X 与 Y 的独立性；解:1 X ,Y 的边缘密度分别为: f（Yy其他42fXx12ydy10x100fYy fx,ydx12ydx2y,0y10其他02由1可见f（x,y）f（Xx）, 可知 : X ,Y 相互独立一 .填空题（每道题2 分,共计60 分）名师归纳总结 - - - - - - -1. 设随机试验E 对应的样本空间为S； 与其任何大事不相容的大事为不行能大事,而与其任何大事相互独立的大事为必定大事；设E 为等可能型试验,且S 包含 10 个样本点,就按古典概率的定义其任一基本领件发生的概率为1
6、/10；2P A0 .4 ,PB0 .3；如 A 与 B 独立,就PAB0；28 ；如已知A,B中至少有一个大事发生的概率为0 . 6,就PAB0.3,PAB1/3 ；3、一个袋子中有大小相同的红球5 只黑球 3 只,从中不放回地任取2 只,就取到球颜色不同的概率为：15/28；如有放回地回地任取2 只,就取到球颜色不同的概率为：15/32 ；4、EXDX1；如 X 听从泊松分布,就P X0 1e1；如 X 听从匀称分布,就P X0 0 ；第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、设XN,2,且P X2 P X2 ,P2X4 0 .3,就2 ；P X0 0.
7、8 ；6、某体育彩票设有两个等级的嘉奖,一等奖为 4 元,二等奖 2 元,假设中一、 二等奖的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元；是否买此彩票的明智挑选为：买（买,不买或无所谓）；7、如随机变量 X U ,1 5 ,就 p X4 0.75 ；E X 1 _7_,D X 1 12 38、设 X b n , p , E X 2 . 4 , D X 1 . 44,就 P X n 0 4.,并 简 化 计 算6k 2 6.0 4 k .0 6 6 k6 0 4. 0 . 6 6 0 . 4 27 2.；k 0 k9、随机变量 X、Y 的数学期望 EX= -1,EY=2, 方差 DX
8、=1 ,DY=2, 且 X、Y 相互独立, 就：E 2 X Y -4 ,D 2 X Y 6 ；210、设 X 1 , , X 16 是总体 N 20 , 4 的容量为 16 的样本, X 为样本均值,S 为样本方差；就：X N（20,1/4 ）,p X 20 1 = 0.0556 ,15S 2 2 15 ,X 20 t15 ；16 s / 1 5此题中 2 .0 9772；x11、随机变量 X 的概率密度 f x e , x 0,就称 X 听从指数分布,E X 1 ；0 , x 013、设二维随机向量 X , Y 的分布律是：X 0 1 就 X 的方差 D X 0.21 ；Y0 0.4 0.3
9、 X与 Y 的相关系数为 : XY 3/7 ；1 0.3 0 二、 （7 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为 0.2,0.1,0.3现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 甲厂生产的概率15%, 80%, 5%的一批产品中随机抽取一件,发觉是次品,求该次品为名师归纳总结 解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂,5%P BA30 . 3,22第 3 页,共 11 页有：pA115%,P A280%,PA3B 表示取到次品,pBA10 . 2 ,P BA20.1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由贝叶斯公式：p
10、A1B=pA 1PBA 1（k31pAkPBA k0 . 244三、（7 分） 已知随机变量X 的密度函数fx ax ,0,x13x,1 0y10其它求：（ 1）常数 a , （2）p0X0.5（3）X 的分布函数F（x）；解:1由fxdx1 ,得a222 p0.X15=0.5fxdx0.52xdx0. 25000x003Fxx2,0x121,1x四 、（7 分） 设随机变量（X ,Y ）的联合概率密度为：fx ,y4xy ,0,其它求：（1）X ,Y 的边缘密度, （2）由（ 1）判定 X ,Y 的独立性；解:1 X ,Y 的边缘密度分别为 : 1f X x f x,y dy 0 4 x y
11、dy 2 x,0 x 10 其他1 5f Y y f x,y dx 0 4 xydx 2 y,0 y 10 其他2由1可见 f（x,y）f（X x）f（Y y）, 可知 : X ,Y 相互独立 2七、（5 分）某人寿保险公司每年有 10000 人投保,每人每年付 12 元的保费,假如该年内投保人死亡,保险公名师归纳总结 司应对 1000 元的赔偿费, 已知一个人一年内死亡的概率为0.0064 ；用中心极限定理近似运算该保险公司一年内第 4 页,共 11 页的利润不少于48000 元的概率；已知 1 0 .8413,20.9772；解: 设 X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,就 X B100
12、00,0.0064；该保险公司的利润函数为：L1200001000X； 2所以P L48000 P 1200001000X48000P X72 P 10000X640. 99367264用中心极限定理0.00647 .996 1 0.8413 3答：该保险公司一年内的利润不少于48000 元的概率为0；8413- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二 . 填空题（每道题 2 分,共计 60 分）名师归纳总结 - - - - - - -1、A 、B 是两个随机大事,已知pA0. 5 ,p B0.3,就a如A,B互斥,就p A-B0.5 ; b如A,B独立 ,
13、就p AB0.65 ;c如pAB02.,就p AB3/7 .2、袋子中有大小相同的红球7 只,黑球 3 只,1从中不放回地任取2 只,就第一、二次取到球颜色不同的概率为：7/15 ；2如有放回地任取2 只,就第一、二次取到球颜色不同的概率为：21/50 ；3如第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取其次只球,就第一、二次取到球颜色不同的概率为：21/55 . 3、设随机变量X 听从泊松分布,p X7 P X8 ,就EX8 . 4、设随机变量X 听从 B（2,0. 8）的二项分布 ,就pX20.64 , Y 听从 B（8,0. 8）的二项分布 , 且X 与 Y 相互独立,就P
14、XY1 =1- 0.210,EXY8 ；5 设某学校外语统考同学成果X 听从正态分布N（75,25）,就该学校同学的及格率为0.9987 ,成果超过 85 分的同学占比P X85为0.0228 ；其中标准正态分布函数值1 0. 8413,2 0. 9772,3 0.9987. 6、设二维随机向量X,Y的分布律是有就 a_0.1_,X 的数学期望E X_0.4_ ,X与YYX0 1 的相关系数xy_-0.25_ ；-1 0.3 0.3 1 0.3 a7、设X1,., X16及Y 1,.,Y 8分别是总体N 8, 16的容量为16,8 的两个独立样本,X ,Y分别为样本均值,2 S 1, S2分别
15、为样本方差；2就：XN8,1 ,XYN0,1.5 ,pXY21 5.= 0.0456 ,152 S 1215,2 S 1F15,7 ；162 S 2此题中1 0. 8413,2 0. 9772,3 0.99878、设X1,.X2,X3是总体 X 的样本,以下的统计量中,A, B,C 是E X的无偏统计量,EX的无偏统第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 计量中统计量C 最有效；A. X1X2X3B. 2X1X3C. 1X1X2X3D. X1X2EX的矩估量量39. 设某商店一天的客流量X 是随机变量 ,听从泊松分布,X1,., X7为总体 X 的样本,为 X
16、 ,160,168,152, 153,159,167,161 为样本观测值,就EX的矩估量值为160 ,也称为弃真错误；10、在假设检验中,简单犯两类错误,第一类错误是指：H 0 成立的条件下拒绝H 0的错误二、（6 分） 已知随机变量X 的密度函数fx a,2xx 20,其它求：（ 1）常数 a , （2）p0.5X4（3）X 的分布函数F（X ）；解:1由fxdx1 ,得a222 p0 .5X4=4fxdx42dx0 .52.052x20x23Fx 1-22x2x三 、（6 分） 设随机变量X ,Y 的概率密度分别为：f Xxex,0x ,其它0,f Y y,10,y,1,且随机变量X,Y
17、 相互独立；0其它（1）求（ X,Y ）的联合概率密度为：fx,y（2）运算概率值pY2X；解:1 名师归纳总结 X ,Y 相互独立,可见（X ,Y ）的联合概率密度为f（x,y）f（Xx）f（Yy）, 100fx,yex,0x ,0y120,其它（2）PY2Xy2xfx ,Ydxdy1dx1exdy302x=3e11八、（6 分）某工厂要求供货商供应的元件一级品率为90%以上,现有一供应商有一大批元件,经随机抽取件,经检验发觉有84 件为一级品 ,试以 5%的显著性水平下,检验这个供应商供应的元件的一级品率是否达到该第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - -
18、- - - - - - 厂方的的要求； （已知Z.005.1645,提示用中心极限定理）X解 总体 X 听从 p 为参数的0-1 分布,zz2H0:pp00 .9 ,H1:pp009.1,., X100为总体 X 的样本,在H0成立条件下,挑选统计量Z0. 05X 1p00,由中心极限定理,z 近似听从标准正态分布,就拒绝域为p0pn经运算该体z2z 0. 05,即得Z 在拒绝域内 , 故拒绝H0,认为这个供应商供应的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求名师归纳总结 - - - - - - -1、A 、B 是两个随机大事,已知pA0 . 25 ,pB0.5,PAB0.125,就pA-B0.12
19、5 ;p AB0.875 ;p AB0.5 .2、袋子中有大小相同的5 只白球,4 只红球,3 只黑球,在其中任取4 只14 只中恰有 2 只白球 1 只红球 1 只黑球的概率为：C2C1C1. 5434 C 122 4 只中至少有2 只白球的概率为：13 C 8C1 44 C 8. 4 C 123 4 只中没有白球的概率为：4 C 74C 123、设随机变量X 听从泊松分布,p X5 P X6 ,就EX6 . 4、设随机变量X 听从 B（ 2,0. 6）的二项分布 ,就pX20.36 , Y 听从 B（8,0. 6）的二项分布 , 且X 与 Y 相互独立,就P XY1 = 1-0.410,E
20、XY6 ；5 设某学校外语统考同学成果X 听从正态分布N（70,16）,就该学校同学的及格率为0.9938 ,成果超过 74 分的同学占比P X74 为0.1587 ；其中标准正态分布函数值1 0. 8413,2 0. 9772,2 .5 0. 9938. 6、有甲乙两台设备生产相同的产品,甲生产的产品占60%,次品率为 10%；乙生产的产品占40%,次品率为20%；1 如随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为0.14 ；（2）如随机地从这批产品中抽出一件,检验出为次品,就该产品是甲设备生产的概率是3/7 .第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、设
21、X1,., X10及Y 1,.,Y 15分别是总体N20,6的容量为10, 15 的两个独立样本,X ,Y分别为样本均值,S 1,S 22 2分别为样本方差；就：X N20,3/5 ,X Y N0,1 ,p X Y 1 = 0.3174 ,3S 1 2 2 9 ,S 1 22 F9,14 ；2 S 2此题中 1 0 . 8413；此题中 1 0 . 8413 , 2 0 . 9772 , 3 0 . 99878、设 X 1 ,. X 2 , X 3 是总体 X 的样本,以下的 E X 统计量中,C 最有效；1A. X 1 X 2 X 3 B. 2 X 1 X 3 C. X 1 X 2 X 3
22、39. 设某商店一天的客流量 X 是随机变量 ,听从泊松分布 , X 1,., X 7 为总体 X 的样本,E X 的矩估计量为 X ,15,16,18,14,16,17,16 为样本观测值,就 E X 的矩估量值为 16 10、在假设检验中,往往发生两类错误,第一类错误是指 H0 成立的条件下拒绝 H 0 的错误 ,其次类错误是指 H 1 成立的条件下拒绝 H 1 的错误 ,显著水平 是指掌握第一类错误的概率 小于. 名师归纳总结 二、（ 6 分） 已知随机变量X 的密度函数fx 1a2,0x222 ,第 8 页,共 11 页x0,其它求：（ 1）常数 a , （ 2）p1X3（3）X 的分
23、布函数F（X）；解:1 由fxdx,1得a222 p1X3=3fxdx032112dx21x30x03Fx 2arctanx 0x第2 页共5 页x三 、（ 6 分） 设随机变量X,Y 的概率密度分别为：f Xxx,020,其它f Y y2y,0y,1,且随机变量X ,Y 相互独立；0,其它- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求（ X ,Y）的联合概率密度为：fx ,y（2）运算概率值pYX2；=1f（x,y）f（Xx）f（Yy）, 解:1X , Y 相互独立,可见（X ,Y ）的联合概率密度为fx ,y xy ,0,x2 , 0y12320其它（
24、2）P YX2yx2fx,Ydxdy1dx12xydy0x6Eu . E1kn1Xku, 它为 u 的无偏估量量 . n. 2n.1 s215.0.72294.24.996 2052052八、（6 分）某工厂要求供货商供应的元件一级品率为90%以上,现有一供应商有一大批元件,经随机抽取100 件,经检验发觉有 84 件为一级品 ,试以 5%的显著性水平下,检验这个供应商供应的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求；（已知 Z 0 . 05 1 . 645,提示用中心极限定理）解 总体 X 听从 p 为参数的 0-1 分布,H0:pp00,9.H1:pp00 9.z2z.005X1,., X100
25、为 总体 X 的样本,在H0成立条件下,挑选统计量ZX 1p00,由中心极限定理,z 近似听从标准正态分布,就拒绝域为p0pn经运算该体z2z.005,即得Z 在拒绝域内 , 故拒绝H0,认为这个供应商供应的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求三. 填空题（每空题 3 分,共计 60 分）名师归纳总结 1、A 、B 是两个随机大事,已知pA0. 6,p B0.5,pAB0.3,就；第 9 页,共 11 页pAB0.8 、pAB0.6 ,大事 A,B 的相互独立性为：相互独立2、一个袋子中有大小相同的红球6 只、黑球 3 只、白球1 只,1从中不放回地任取2 只,就第一、二次取到红球的概率为：1
26、/3 ；2如有放回地任取2 只,就第一、二次取到红球的概率为：9/25 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3如第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取其次只球 ,就第一、二次取到红球的概率为：21/55 . 100 ,利用“3”法就,可以认3、设随机变量X 听从参数为100 的泊松分布,就E（X）DX0.0228 , Y 听从 N（500,为 X 的取值大多集中在70 -130 范畴；4、设随机变量X 听从 N（500,1600）的正态分布 ,就pX580N （ 1000 , 2500 ）分布 ;如900 ） 的二项 分布 , 且
27、X与Y 相互独 立,就XY服 从2 0. 9772,1 .6450 .95pXYa0 .05,就a1082.5 ；1 0. 8413；5.已知随机变量X 的密度函数fx 2x,0x10,其它就:（1）p0 5.X15= 0.75 0x0（2） X 的分布函数F（ x ）= Fx x2,0x1；4= 51 ；1,1x6、设随机变量 X,Y 具有DX9 ,D Y4,XY1/6,就DXY= 11 ,DX3 Y7、两个牢靠性为p0 的电子元件独立工作,打字机发 A,B,C 上打（ 1）如把它们串联成一个系统,就系统的牢靠性为：2 p ；（ 2）如把它们并联成一个系统,就系统的牢靠性为：1 1p2；8、
28、如随机变量X U0 ,3 ,就pX22/3；EX_1.5 ,D X1 3 二、（6 分） 运算机中心有三台打字机A,B,C ,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04；已知一程序因打字机发生故障而被破坏了,求该程序是在字的概率分别为多少？名师归纳总结 解 ：设“ 程序因打字机发生故障而被破坏” 记为大事M,“ 程序在A,B,C三台打字机上打字” 分别记为大事第 10 页,共 11 页N1,N2,N3；就依据全概率公式有0. 040 .025,3PMPNiPM|Ni0.60. 0103.0.0501.i1依据 Bayes 公式,
29、该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为PN1|MPN1PM|N10.60. 010 .24,PM0. 025- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PN2|MPN2P M|N20 .30. 050.60,PM0 .025PN3|MPN3PM|N301.0. 040 .16；f Xxex,0x,其它,PM0025三 、（ 6分 ） 设 随 机 变 量X , Y的 概 率 密 度 分 别 为 ：0,f Y y2y,0y,1,且随机变量X,Y 相互独立；0,其它（1）求（ X,Y ）的联合概率密度为：fx,y（2）运算概率值pY2X；解:1 名师归纳总结 X ,Y 相互独立,可见（X ,Y ）的联合概率密度为f（x,y）f（x）f（y）, 第 11 页,共 11 页fx,y 2 exy,0x,0y11/330其它2e2PY2Xy2xfx,Ydxdy1dyy2exydx02- - - - - - -