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1、2024版新高考新教材版高考总复习数学5.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.（2023课标II，7）已知为锐角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，而为锐角，解得：故选：D2.（2023课标I，8） 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以.故选：B3.(2021全国乙文,6,5分)cos212cos2512=()A.12B.33C.22D.32答案D解析解法一:cos212cos2512=cos212cos2212=cos212sin212=cos6=32.解法二:cos212cos2512=cos246cos24+6=cos4co
2、s6+sin4sin62cos4cos6sin4sin62=2232+22122223222122=6+2426242=6+24+6246+24624=32.4.(2021全国甲理,9,5分)若0,2,tan 2=cos2sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.153答案A解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析tan 2=cos2sin,且0,2,sin2cos2=cos2sin,2sin 2=cos cos 2+sin sin 2,即4sin cos =cos(2-)=cos ,又cos
3、 0,4sin =1,sin =14,cos =154,tan =1515.故选A.疑难突破将tan 2转化为sin2cos2是本题的突破口.5.(2021新高考,6,5分)若tan =-2,则sin(1+sin2)sin+cos=()A.-65B.25C.25D.65答案Csin(1+sin2)sin+cos =sin(sin2+cos2+2sincos)sin+cos=sin(sin+cos)2sin+cos=sin (sin +cos )=sin2+sin cos =sin2+sincossin2+cos2=tan2+tantan2+1=(2)22(2)2+1=25.故选C.6.(202
4、2新高考,6,5分)若sin(+)+cos(+)=22cos+4sin ,则()A.tan(-)=1B.tan(+)=1C.tan(-)=-1D.tan(+)=-1答案C因为sin(+)+cos(+)=sin cos +cos sin +cos cos -sin sin ,22cos+4sin =(2cos -2sin )sin =2cos sin -2sin sin ,所以sin cos +cos sin +cos cos -sin sin =2cos sin -2sin sin ,即sin cos -cos sin +cos cos +sin sin =0,进而得sin(-)+cos(-)
5、=0,又知cos(-)0,所以tan(-)=-1,故选C.7.(2018课标,理4,文4,5分)若sin =13,则cos 2=()A.89B.79C.-79D.-89答案B本题考查三角恒等变换.由sin =13,得cos 2=1-2sin2=1-2132=1-29=79.故选B.8.(2017课标文,4,5分)已知sin -cos =43,则sin 2=()A.-79B.-29C.29D.79答案A(sin -cos )2=1-2sin cos =1-sin 2=432=169,sin 2=-79.解后反思涉及sin cos ,sin cos 的问题,通常利用公式(sin cos )2=12
6、sin cos 进行转换.9.(2017山东文,4,5分)已知cos x=34,则cos 2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D本题考查二倍角余弦公式.因为cos x=34,所以cos 2x=2cos2x-1=2342-1=18.10.(2016课标理,5,5分)若tan =34,则cos2+2sin 2=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A当tan =34时,原式=cos2+4sin cos =cos2+4sincossin2+cos2=1+4tantan2+1=1+434916+1=6425,故选A.解后反思将所求式子的分母1用sin2+cos2代替,然后分子
7、、分母同除以cos2,得到关于tan 的式子,这是解决本题的关键.评析本题主要考查三角恒等变换,用sin2+cos2代替1是解题关键.11.(2016课标文,6,5分)若tan =-13,则cos 2=()A.-45B.-15C.15D.45答案D解法一:cos 2=cos2-sin2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=45.故选D.解法二:由tan =-13,可得sin =110,因而cos 2=1-2sin2=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.12.(2015课标理,2,5分)sin 20cos 10-cos 160sin 10=()A.-32B.32
8、C.-12D.12答案D原式=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=sin 30=12,故选D.13.(2015重庆理,9,5分)若tan =2tan 5,则cos310sin5=()A.1B.2C.3D.4答案Ccos310sin5=sin2+310sin5=sin+5sin5=sincos 5+cossin 5sincos 5cossin 5=tan+tan 5tantan5 ,tan =2tan 5,cos310sin5=3tan 5tan 5=3.故选C.14.(2015重庆文,6,5分)若tan =13,tan(+)=12,则tan =()A.17
9、B.16C.57D.56答案Atan =tan(+)-=tan(+)tan1+tan(+)tan=12131+1213=17,故选A.15.(2013课标文,6,5分)已知sin 2=23,则cos2+4=()A.16B.13C.12D.23答案Acos2+4=1+cos2+22=1sin22,把sin 2=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.16.(2016课标,9,5分)若cos4=35,则sin 2=()A.725B.15C.-15D.-725答案Dcos4=35,sin 2=cos22=cos24=2cos24-1=2352-1
10、=-725.故选D.思路分析利用诱导公式化sin 2=cos22,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一题多解cos4=22(cos +sin )=35cos +sin =3251+sin 2=1825,sin 2=-725.故选D.导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.17.(2022浙江,13,6分)若3sin -sin =10,+=2,则sin =,cos 2=.答案 31010;45解析设a=s
11、in ,b=sin =cos ,则3ab=10,a2+b2=1,解得a=31010,b=-1010.sin =a=31010,cos 2=1-2sin2=1-2b2=45.18.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A=,b=.答案2;1解析2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+4+1,A=2,b=1.19.(2018课标文,15,5分)已知tan54=15,则tan =.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan54=tantan541+tantan54=tan11+tan=15,解得tan =3
12、2.20.(2016课标文,14,5分)已知是第四象限角,且sin+4=35,则tan4=.答案-43解析解法一:sin+4=22(sin +cos )=35,sin +cos =325,2sin cos =-725.是第四象限角,sin 0,sin -cos =-12sincos=-425,由得sin =-210,cos =7210,tan =-17,tan4=tan11+tan=-43.解法二:+4+4=2,sin+4=cos4=35,又2k-22k,kZ,2k-4+42k+4,kZ,cos+4=45,sin4=45,tan4=sin4cos4=43,tan4=-tan4=-43.评析本题
13、主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.21.(2016四川理,11,5分)cos28-sin28=.答案22解析由二倍角公式易得cos28-sin28=cos4=22.22.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)=17,则tan 的值为.答案3解析tan =tan(+)-=tan(+)tan1+tan(+)tan=17(2)1+17(2)=3.23.(2015四川理,12,5分)sin 15+sin 75的值是.答案62解析sin 15+sin 75=sin 15+cos 15=2sin(15+45)=2sin 60=62.24.(201
14、5四川文,13,5分)已知sin +2cos =0,则2sin cos -cos2的值是.答案-1解析由sin +2cos =0得tan =-2.2sin cos -cos2=2sincoscos2sin2+cos2=2tan1tan2+1=2(2)1(2)2+1=55=-1.25.(2015广东文,16,12分)已知tan =2.(1)求tan+4的值;(2)求sin2sin2+sincoscos21的值.解析(1)因为tan =2,所以tan+4=tan+tan41tantan4=2+1121=-3.(2)因为tan =2,所以sin2sin2+sincoscos21=2sincossin
15、2+sincos(cos2sin2)(sin2+cos2)=2sincossin2+sincos2cos2=2tantan2+tan2=2222+22=1.26.(2014江苏,15,14分)已知2,sin =55.(1)求sin4+的值;(2)求cos562的值.解析(1)因为2,sin =55,所以cos =-1sin2=-255.故sin4+=sin4cos +cos4sin =22255+2255=-1010.(2)由(1)知sin 2=2sin cos =255255=-45,cos 2=1-2sin2=1-2552=35,所以cos562=cos56cos 2+sin56sin 2
16、=3235+1245=-4+3310.评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.5.2三角恒等变换五年高考考点三角恒等变换1.(2011福建,3,5分,易)若tan =3,则sin2cos2的值等于()A.2B.3C.4D.6答案D2.(2023新课标,8,5分,中)已知sin(-)=13,cos sin =16,则cos(2+2)=()A.79B.19C.19D.79答案B3.(2023新课标,7,5分,中)已知为锐角,cos =1+54,则sin 2=()A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+54答案D4.(2020课标理,9,
17、5分,中)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A.53B.23C.13D.59答案A5.(2020课标文,5,5分,中)已知sin +sin+3=1,则sin+6=()A.12B.33C.23D.22答案B6.(2021全国甲,文11,理9,5分,中)若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.153答案A7.(2022新高考,6,5分,中)若sin(+)+cos(+)=22cos+4sin ,则()A.tan(-)=1B.tan(+)=1C.tan(-)=-1D.tan(+)=-1答案C8.(2020江苏,8,5分,易)已
18、知sin24+=23,则sin 2的值是.答案139.(2017课标文,15,5分,易)已知0,2,tan =2,则cos-4=.答案3101010.(2018江苏,16,14分,中)已知,为锐角,tan =43,cos(+)=55.(1)求cos 2的值;(2)求tan(-)的值.解析(1)因为tan =43,tan =sincos,所以sin =43cos .因为sin2+cos2=1,所以cos2=925,所以cos 2=2cos2-1=-725.(2)因为,为锐角,所以+(0,).又因为cos(+)=-55,所以sin(+)=1-cos2(+)=255,因此tan(+)=-2.因为ta
19、n =43,所以tan 2=2tan1-tan2=247.因此tan(-)=tan2-(+)=tan2-tan(+)1+tan2tan(+)=211.三年模拟一、单项选择题1.(2023广东潮州二模,3,易)若3sin+2cos2sin-cos=83,则tan+4=()A.-3B.3C.-2D.2答案A2.(2023广东佛山一模,3,易)已知sin =55,为钝角,tan(-)=13,则tan =()A.1B.-1C.2D.-2答案B3.(2023湖南长沙适应性测试,6,中)若1-tan-41+tan-4=12,则cos 2的值为()A.-35B.35C.45D.45答案A4.(2023湖北四
20、调,6,中)已知sin sin3-=3cos sin+6,则cos2+3=()A.-32B.1C.12D.32答案C5.(2022广东汕头一模,7,中)已知0,2,tan+4=23tan ,则sincos2sin+cos=()A.-12B.35C.3D.53答案B6.(2022广东广州一模,中)若,2,且(1-cos 2)(1+sin )=sin 2cos ,则下列结论正确的是()A.2+=52B.2=34C.+=74D.=2答案A二、多项选择题7.(2022海南海口二模,易)已知(,2),sin =tan2=tan 2,则()A.tan =3B.cos =12C.tan =43D.cos =
21、17答案BD8.(2023河北承德一模,10,中)已知02,sin =13,cos(+)=223,下列选项正确的有()A.sin(+)=13B.cos =-79C.cos 2=-1781D.sin()=2327答案BD三、填空题9.(2023江苏苏锡常镇二调,14,易)在平面直角坐标系xOy中,已知点A35,45,将线段OA绕原点顺时针旋转3得到线段OB,则点B的横坐标为.答案3+431010.(2022湖南邵阳一模,13,易)已知,32,tan-4=12,则cos =.答案-101011.(2023湖南岳阳一模,中)已知sin2-=35,cos =513,均为锐角,则cos(+)=.答案-336512.(2022福建福州一模,15,中)写出一个使等式sinsin+6+coscos+6=2成立的的值:.答案8答案不唯一,只需满足=2k+148(kZ)即可