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1、2024版新高考新教材版高考总复习数学5.3三角函数的图象和性质考点1 三角函数的图象及其变换1.（2023全国甲理，10）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系，当时，；当时，；当时，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+5图象上所有的点()A.向左平移5个单位长度B.向右平移5个单位长度C.向左平移15个单位长度D.向右平移
2、15个单位长度答案D因为y=2sin3x+5=2sin3x+15,所以把函数y=2sin3x+5图象上所有的点向右平移15个单位长度,可以得到y=2sin 3x的图象,故选D.3.(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sinx+3(0)的图象向左平移2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是()A.16B.14C.13D.12答案C设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),则g(x)=sinx+2+3=sinx+2+3,又曲线C关于y轴对称,2+3=2+k(kZ),=2k+13(kZ).又0,min=13.故选C.4.(多选)(2020新高考,10,5分)如图是函数y=s
3、in(x+)的部分图象,则sin(x+)=()A.sinx+3B.sin32xC.cos2x+6D.cos562x答案BC由题图可知,T2=236=2,T=,由T=2可知,2=,|=2,不妨取=2,则f(x)=sin(2x+),又图象过6,0,sin3+=0,又6是f(x)的下降零点,3+=+2k,kZ,=23+2k,kZ,不妨取=23,则f(x)=sin2x+23=sin2x+6+2=cos2x+6,f(x)=sin2x+23=sin32x=sin32x,故选BC.5.(2016课标理,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=k2-
4、6(kZ)B.x=k2+6(kZ)C.x=k2-12(kZ)D.x=k2+12(kZ)答案B将函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度得到函数y=2sin2x+12=2sin2x+6的图象,由2x+6=k+2(kZ),可得x=k2+6(kZ).则平移后图象的对称轴为x=k2+6(kZ),故选B.易错警示本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin2x+12的图象.6.(2016课标文,6,5分)将函数y=2sin2x+6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2x+4B.y=2sin2x+3C.y=2sin2x4D.y=2sin2x3答案D该函
5、数的周期为,将其图象向右平移4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin2x4+6=2sin2x3,故选D.易错警示三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-4,而不是将2x变为2x-4.评析本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.7.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin2x3的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向左平行移动6个单位长度D.向右平行移动6个单位长度答案D将y=sin 2x的图象向右平行移动6个单位长度得到y=sin2x6=sin2x3的图象,
6、故选D.评析将y=sin2x3化为y=sin2x6是解题的关键.8.(2016课标文,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2x6B.y=2sin2x3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+3答案A由题图可知A=2,T2=3-6=2,则T=,所以=2,则y=2sin(2x+),因为题图经过点3,2,所以2sin23+=2,所以23+=2k+2,kZ,即=2k-6,kZ,当k=0时,=-6,所以y=2sin2x6,故选A.评析本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,由周期确定,相邻的最高点与最低点之间的水平距离为半个周期,通过确定
7、点的坐标来求即可.9.(2015课标理,8,5分)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.k14,k+34,kZB.2k14,2k+34,kZC.k14,k+34,kZD.2k14,2k+34,kZ答案D由题图可知T2=54-14=1,所以T=2.结合题图可知,在34,54(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为14,34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为2k14,2k+34,kZ,故选D.10.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可
8、知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C因为函数y=3sin6x+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(x+)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.11.(2014课标理,6,5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,上的图象大致
9、为()答案C由题图可知:当x=2时,OPOA,此时f(x)=0,排除A、D;当x0,2时,OM=cos x,设点M到直线OP的距离为d,则dOM=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,f(x)=sin xcos x=12sin 2x12,排除B,故选C.12.(2012课标文,9,5分)已知0,0,直线x=4和x=54是函数f(x)=sin(x+)图象的两条相邻的对称轴,则=()A.4B.3C.2D.34答案A由题意得2=2544,=1, f(x)=sin(x+),4+=k+2(kZ),=k+4(kZ),又00)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则()
10、A.t=12,s的最小值为6B.t=32,s的最小值为6C.t=12,s的最小值为3D.t=32,s的最小值为3答案A点P4,t在函数y=sin2x3的图象上,t=sin243=12.所以P4,12.将点P向左平移s(s0)个单位长度得P4s,12.因为P在函数y=sin 2x的图象上,所以sin24s=12,即cos 2s=12,所以2s=2k+3(kZ)或2s=2k+53(kZ),即s=k+6(kZ)或s=k+56(kZ),又s0,所以s的最小值为6.14.(2016课标,14,5分)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+3cos x的图象至少向右平移个单位长度得到
11、.答案23解析设f(x)=sin x-3cos x=2sinx+53,g(x)=sin x+3cos x=2sinx+3,将g(x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x-)=2sinx+3=2sinx+53=f(x)的图象,所以x-+3=2k+x+53,kZ,此时=-2k-43,kZ,当k=-1时,有最小值,为23.方法指导先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的“左加右减”规律求解.15.（2023课标II，16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_ 【答案】【解析】设，由可得，由可知，或，由图可知，即，因为，所以，即，所以
12、，所以或，又因为，所以，16.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图象如图所示,则f2=.答案解题指导:利用所给函数f(x)=2cos(x+)图象中的关键点求出,再将x=2代入f(x)的解析式即可求出f2.解析由题图可知点3,0,1312,2在f(x)的图象上,3T4=13123=34,则T=,所以|=2T=2,不妨取=2,则函数f(x)=2cos(2x+),将1312,2代入得,21312+=2k,kZ,解得=-136+2k,kZ,f2=2cos22136+2k=3,kZ.17.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=
13、cos x的图象的交点个数是.答案7解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关键.18.(2015湖南文,15,5分)已知0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则=.答案2解析由y=2sinx,y=2cosx消去y,得sin x-cos x=0,即2sinx4=0,解得x=k+4,kZ.取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为4,2,54,2,又两交点的距离为23,所以45
14、42+(2+2)2=(23)2,解得=2.19.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(x+)0,22图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到y=sin x的图象,则f6=.答案22解析y=sin xy=sinx+6y=sin12x+6,即f(x)=sin12x+6,f6=sin12+6=sin4=22.20.(2013课标文,16,5分)函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移2个单位后,与函数y=sin2x+3的图象重合,则=.答案56解析令y=f(x)=cos(2x+),将其图象向右平移2个单位后得fx2=cos2x2+=cos(2x
15、+-)=sin(2x+-)+2=sin2x+-2,因为与y=sin2x+3的图象重合,所以-2=3+2k(kZ),所以=2k+56(kZ),又-0,02.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).(1)求f(x)的最小正周期及的值;(2)若点R的坐标为(1,0),PRQ=23,求A的值.解析(1)由题意得,T=23=6.因为P(1,A)在y=Asin3x+的图象上,所以sin3+=1.又因为00,所以A=3.评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,根据PRQ的边角关系,列出关于A的方程是求解关键.考点
16、2 三角函数的性质及其应用1.（2023全国乙理，6）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为在区间单调递增，所以，且，则，当时，取得最小值，则，则，不妨取，则，则，故选：D.2.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98答案Df(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数. f(x)=cos x-c
17、os 2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2cosx142+98,当cos x=14时, f(x)max=98.故选D.解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos 2x转化为关于cos x的二次函数,进而在-1,1范围内求二次函数的最值.3.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sinx3+cosx3的最小正周期和最大值分别是()A.3和2B.3和2C.6和2D.6和2答案C解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.解析由题意知:f(x)=sinx3+cosx3
18、=222sinx3+22cosx3=2sinx3+4,最小正周期T=213=6;当sinx3+4=1,即x=34+6k,kZ时, f(x)取最大值2,故选C.易错警示对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=Asin(x+)(A0,0)的形式,导致后面无法求解.4.(2021新高考,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sinx6单调递增的区间是()A.0,2B.2,C.,32D.32,2答案A解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sinx6的单调递增区间,通过运算求出x的取值范围,结合选项分析即可.解析f(x)=7sinx6,令2k-2x62k+2,kZ,解得2k-3x2k+
19、23,kZ,令k=0,得-3x23.故选A.5.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A. f(x)在2,6上单调递减B. f(x)在4,12上单调递增C. f(x)在0,3上单调递减D. f(x)在4,712上单调递增答案Cf(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2k2x2k+,kZ,解得kxk+2,kZ,则f(x)的单调递减区间为k,k+2,kZ;令2k-2x2k,kZ,解得k-2x0)的最小正周期为T.若23T,且y=f(x)的图象关于点32,2中心对称,则f2=()A.1B.32C.52D.3答案A23T0,232,23.又y=f(x)的图
20、象关于点32,2中心对称,b=2,32+4=k(kZ),从而=23k16(kZ),由知=52(取k=4),f(x)=sin52x+4+2,f 2=sin32+2=1.7.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3个单位长度,得到函数y=sinx4的图象,则f(x)=()A.sinx2712B.sinx2+12C.sin2x712D.sin2x+12答案B将函数y=sinx4的图象向左平移3个单位长度可得函数y=sinx+34=sinx+12的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数
21、y=f(x)的图象,则f(x)=sinx2+12,故选B.易错警示(1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.8.(多选)(2022新高考,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+)(0)的图象关于点23,0中心对称,则()A. f(x)在区间0,512单调递减B. f(x)在区间12,1112有两个极值点C.直线x=76是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y=32-x是曲线y=f(x)的切线答案AD因为f(x)的图象关于点23,0对称,所以sin43+=0,即43+=k,kZ,故=k-43,kZ.结合0,得=2
22、3,所以f(x)=sin2x+23.对于A,令2+2k2x+2332+2k,kZ,解得-12+kx512+k,kZ,故f(x)的单调递减区间为-12+k,512+k,kZ.显然0,51212+k,512+k,kZ,故A正确.对于B, f (x)=2cos2x+23,令f (x)=0,得2x+23=k+2,kZ,即x=k212,kZ.又因为x12,1112,所以x=512,故f(x)在区间12,1112只有一个极值点,kZ,故B错误.对于C,令2x+23=2+k,kZ,解得x=-12+k2,kZ,故C错误.对于D,结合B,令2cos2x+23=-1,得2x+23=23+2k,kZ或2x+23=4
23、3+2k,kZ,解得x=k,kZ或x=3+k,kZ,故其中一个切点为0,32,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-32=-x,即y=32-x,故D正确.故选AD.9.(2022全国甲理,11,5分)设函数f(x)=sinx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是()A.53,136B.53,196C.136,83D.136,196答案C由x(0,)得x+33,+3,要使函数f(x)=sinx+3在(0,)内恰有三个极值点、两个零点,则x+3的取值应包括2,32,2,52,所以52+33,解得1360),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点.下述四个结论:f(x)在(0,
24、2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在0,10单调递增的取值范围是125,2910其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案D本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识,通过对函数f(x)=sinx+5图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问题转化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养.令t=x+5(0),x0,2,t5,2+5且y=sin t,f(x)在0,2上有且仅有5个零点,y=sin t在5,2+5上有且仅有5个零点,2+55,6),125,2910,故正确.y=sin t在5,2+5上极值点的
25、个数即为f(x)在0,2上极值点的个数.由y=sin t在5,2+5上的图象可知f(x)在0,2有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点,故正确,错误.当x0,10时,t5,10+5,又125,2910,10+51125,49100,491000),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究.当0时,y=sinx+5的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sinx+5的增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.11.(2017课标文,3,5分)函数f(x)=sin2x+3的最小正周期为()A.4B.2C.D.2答案C本题考查三角函数的性质.由题意得=2,所以函
26、数f(x)=sin2x+3的最小正周期T=2=.故选C.12.(2017山东文,7,5分)函数y=3sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.2B.23C.D.2答案C本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.y=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,从而最小正周期T=22=.13.(2017课标文,6,5分)函数f(x)=15sinx+3+cosx6的最大值为()A.65B.1C.35D.15答案Af(x)=15sinx+3+cosx6=1512sinx+32cosx+32cos x+12sin x=35sin x+335cos x=352sinx+3=65sinx+3,f
27、(x)的最大值为65.故选A.一题多解cosx6=cos6x=sin 26x=sin3+x,f(x)=65sinx+3,f(x)max=65.故选A.14.(2016课标文,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos2x的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案Bf(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sinx322+112,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.思路分析利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos2x转化为关于sin x的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x-1,1.15.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(
28、3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.2答案Bf(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)=4sinx+6cosx+6=2sin2x+3,T=22=,故选B.评析本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.16.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案Bf(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=12(1-cos 2x)+c
29、,此时f(x)的周期为;若b0,则f(x)的周期为2,所以选B.17.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A. f(2) f(-2) f(0)B. f(0) f(2) f(-2)C. f(-2) f(0) f(2)D. f(2) f(0)0,T=2=,=2.又A0,f23=-A,即sin43+=-1,得+43=2k+32,kZ,即=2k+6,kZ,又0,可取f(x)=Asin2x+6,f(2)=Asin4+6, f(-2)=Asin4+6, f(0)=Asin6.4+63
30、2,f(2)0.-76-4+6-,且y=sin x在76,上为减函数,sin4+6sin(-)=0,从而有0f(-2)f(0).故有f(2)f(-2)0,函数f(x)=sinx+4在2,单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2答案A由2x得2+4x+40,|2的最小正周期为,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在0,2单调递减B.f(x)在4,34单调递减C.f(x)在0,2单调递增D.f(x)在4,34单调递增答案Af(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sinx+4,周期T=2=,=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,+4=k+
31、2,=k+4,kZ.又|0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B由f(x)在18,536上单调,得536-18,12,依题意,有4+=m,4+=n+2(m、nZ),=2(nm)+1,=2(m+n)+14.又|2,m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,=4n+1,=4,取n=2,得=9, f(x)=sin9x+4符合题意.当m+n=-1时,=-4,=4n+3,取n=2,得=11, f(x)=sin11x4,此时,当x18,536时,11x-41336,2318, f(x)不单调,不合题
32、意.故选B.解后反思本题要求的最大值,正面入手难度较大,故对取特殊值进行检验.23.（2023课标I，15） 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，24.(2022北京,13,5分)若函数f(x)=Asin x-3cos x的一个零点为3,则A=; f12=.答案 1;-2解析由题意知f3=0,即Asin 33cos 3=0,解得A=1,所以f(x)=sin x-3cos x=2sinx3,所以f12=2sin123=2sin 4=222=2.25.(2022全国乙理,15,5分)记函数
33、f(x)=cos(x+)(0,00, f(T)=32,cos2+=32,cos =32,00,k=0时,取得最小值3.26.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-74f(x)-f430的最小正整数x为.答案2解题指导:首先通过函数图象,确定和的取值,然后分别求出f74和f43的值,最后结合三角函数的单调性确定最小正整数x的值.解析设函数f(x)的最小正周期为T,则34T=13123=34,解得T=,则2=,解得|=2,不妨取=2,此时f(x)=2cos(2x+).将3,0代入上式,得23+=2+2k,kZ,=-6+2k,k
34、Z,取=-6,f(x)=2cos2x6,f74=2cos726=2cos3=1,f43=2cos836=2cos2=0,不等式可化为(f(x)-1)f(x)0,解得f(x)1或f(x)1,得2cos2x61,即cos2x612,由f(x)0,得cos2x60,由得-3+2k2x-63+2k,kZ,解得-12+kx4+k,kZ,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,1112x54;由得2+2k2x-632+2k,kZ,解得3+kx56+k,kZ,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,3x56.综上,最小正整数x为2.方法点拨解本题的关键是能够正确求解f(x)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x
35、的取值范围.27.(2018课标理,15,5分)函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为.答案3解析令f(x)=0,得cos3x+6=0,解得x=k3+9(kZ).当k=0时,x=9;当k=1时,x=49;当k=2时,x=79,又x0,所以满足要求的零点有3个.28.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+)22的图象关于直线x=3对称,则的值是.答案-6解析本题考查正弦函数的图象和性质.函数y=sin(2x+)的图象关于直线x=3对称,x=3时,函数取得最大值或最小值,sin23+=1.23+=k+2(kZ),=k-6(kZ),又-20).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案23解析本题主要考查三角函数的性质及其应用.f(x)f4对任意的实数x都成立,f4=1,4-6=2k,kZ,整理得=8k+23,kZ.又0,当k=0时,取得最小值23.名师点睛