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1、 课时规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.(2021甘肃兰州高三检测)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a=()A.12B.23C.34D.1答案:A解析:f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,f(-1)+f(1)=0,得a=12.2.(2021江西南昌高三检测)下列函数中既是定义域上的偶函数,又在(0,+)上递增的函数是()A.y=-1|x|B.y=12|x|C.y=|x-1|D.y=|ln x|答案:A解析:对A,函数y=-1|x|的定义域为(-,0)(0,+)关于原点对称,且满足f(-x)=-1|-x|=-1|x|=f(x),所以函数y=-1|x|为定义域上
2、的偶函数,又由当x(0,+)时,可得y=-1x,可得函数在(0,+)上是增加的,符合题意;对B,当x(0,+)时,函数y=12x是减少的,不符合题意;对C,函数y=|x-1|不是偶函数,不符合题意;对D,根据对数函数的图像与性质,可得函数y=|ln x|不是偶函数,不符合题意.3.(2021全国甲,文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.53答案:C解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(x+1)=f(-x),f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),函数f(x)的
3、周期为2,则f53=f2-13=f-13=13.故选C.4.(2021河南开封高三模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0x1时,f(x)=log3(x2+2),则f(-2 021)=()A.1B.lg 9C.lg 3D.0答案:A解析:由f(x)满足f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2,且当0x1时,f(x)=log3(x2+2),f(x)为偶函数,所以f(-2 021)=f(2 021)=f(1)=log33=1.5.(2021江苏连云港高三模拟改编)函数f(x)的定义域为R,且f(x)与f(x+1)都为奇函数,则下列
4、说法错误的是()A.f(x-1)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+2)为偶函数答案:D解析:由题意知:f(-x-1)+f(x+1)=0且f(-x+1)+f(x+1)=0,f(1-x)=f(-1-x),即f(x-1)=f(x+1),可得f(x)=f(x+2),f(x)是周期为2的函数,且f(x-1),f(x+2)为奇函数,故A,B正确,D错误;由上知:f(x+1)=f(x+3),即f(x+3)为奇函数,C正确.6.(2021重庆巴蜀中学高三月考)函数f(x)=ax+2x2x-1是偶函数,则实数a=.答案:1解析:因为f(x)=ax+2x2x-1(x0),且f(x)
5、是偶函数,则f(-x)=f(x),-ax-2x2-x-1=ax+2x2x-1,-a-22-x-1=a+22x-1,2a+22x-122x2x-1=0,即2a=2,所以实数a=1.7.奇函数f(x)在区间3,6上是增加的,且在区间3,6上的最大值为8,最小值为-1,则f(6)+f(-3)的值为.答案:9解析:由于f(x)在3,6上是增加的,所以f(x)的最大值为f(6)=8,f(x)的最小值为f(3)=-1,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=1,所以f(6)+f(-3)=8+1=9.8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+8)+f(x)=0,且f(5)=5,则f(2 0
6、19)+f(2 024)=.答案:5解析:因为f(x+8)+f(x)=0,所以f(x+8)=-f(x),所以f(x+16)=-f(x+8)=f(x),所以函数y=f(x)是以16为周期的周期函数.又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=0得f(8)+f(0)=0,且奇函数y=f(x)是定义在R上的函数,所以f(0)=0,故f(8)=0,所以f(2 024)=f(16126+8)=f(8)=0.又在f(x+8)+f(x)=0中,令x=-3,得f(5)+f(-3)=0,得f(5)=-f(-3)=f(3)=5,则f(2 019)=f(16126+3)=f(3)=5,所以f(2 019)+f(2 02
7、4)=5.综合提升组9.(2021贵州贵阳高三检测)已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,任意x1,x23,+)满足f(x1)-f(x2)x1-x20,则不等式f(3x-1)0,所以f(x)在3,+)上是递增的,在(-,3)上是递减的,故f(3x-1)4等价于13x-15,解得23x2.10.(2021湖南长沙雅礼中学高三月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x(0,2)时,f(x)=(x-1)2,则函数f(x)在区间0,4上的零点个数为()A.3B.5C.2D.4答案:B解析:f(x)为R上的奇函数,f(0)=0,且f(x)图像关于原点对
8、称,由f(x+4)=f(x)知:f(x)是周期为4的周期函数,且f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2),f(2)=0,f(-2)=0.f(x)部分图像如下图所示:由图像可知f(x)在0,4共有5个零点,分别为x=0,x=1,x=2,x=3,x=4.11.已知函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,满足f(2-x)=f(x),且f(x)在(-1,0)上是递减的,若a=f(512),b=f(-ln 2),c=f(log318),则a,b,c的大小关系为()A.acbB.cbaC.abcD.bac答案:A解析:由函数y=f(x-1)关于直线x=1对称,可得函数f(x)关于直线x=0对
9、称,即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.又由函数f(x)满足f(2-x)=f(x),可得f(-x)=f(2-x),即f(x)=f(x+2),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,则a=f(512)=f(512-2),b=f(-ln 2)=f(ln 2),c=f(log318)=f(log318-2)=f(log32),又由5-26.25-2=12,且12=log33log32ln 2,由f(x)在(-1,0)上是递减的,f(x)为偶函数,可得函数f(x)在(0,1)上是递增的,所以f(512)f(log318)f(-ln 2),即ac0时,f(x)=x3-2x.(1)求f(x)的解
10、析:式;(2)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)当x0,f(-x)=-x3-2-x,又函数f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),f(x)=x3+2-x.又f(0)=0,f(x)=x3+2-x,x0.(2)f(x)为R上的单调函数,且f(-1)=53f(0)=0,函数f(x)在R上是减函数.f(t2-2t)+f(2t2-k)0,f(t2-2t)-f(2t2-k).函数f(x)是奇函数,f(t2-2t)k-2t2对任意的tR恒成立,3t2-2t-k0对任意的tR恒成立,=4+12k0,解得k0时,0-2,f(2)=m-3m,则m的取值范围是.答案:(-,-1)(0,3)解析:由题意f(1)-2,函数是奇函数,故有f(-1)2.又周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,故f(2)=f(-1)2.因为f(2)=m-3m,所以m-3m0时,解得0m3;当m0时,解得m-1.所以m的取值范围是(-,-1)(0,3).