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1、 单元质检卷九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021吉林省吉林市三模)已知直线l经过点(1,-1),且与直线2x-y-5=0垂直,则直线l的方程为()A.2x+y-1=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.2x-y-3=0答案:C解析:因为直线l与直线2x-y-5=0垂直,所以直线l的方程可设为x+2y+m=0,因为直线l经过点(1,-1),所以1+2(-1)+m=0,解得m=1,则直线l的方程为x+2y+1=0,故选C.2.(2021北京朝阳一模)已知圆x2+y2=4截
2、直线y=kx+2所得弦的长度为23,则实数k=()A.2B.-3C.2D.3答案:D解析:由圆x2+y2=4截直线y=kx+2所得弦的长度为23,得弦心距为4-3=1,所以圆心到直线y=kx+2的距离为1,即|2|1+k2=1,解得k=3.3.(2021广西桂林二模)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(2,0),且其离心率为12,则椭圆C的标准方程为()A.x216+y212=1B.x216+y24=1C.x216+y29=1D.x24+y22=1答案:A解析:由题意,c=2,又ca=12,所以a=4,所以b2=a2-c2=12,所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1.故选A.4.(
3、2021广西桂林二模)若圆C:(x-2)2+(y-1)2=4恰好被直线l:ax+by=1(a0,b0)平分,则1a+2b的最小值为()A.82B.62C.8D.6答案:C解析:由题意,圆心C(2,1)在直线l上,则有2a+b=1,所以1a+2b=(2a+b)1a+2b=ba+4ab+42ba4ab+4=8,当且仅当ba=4ab,即b=2a=12时,取等号,所以1a+2b的最小值为8.故选C.5.已知双曲线x2-y28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=()A.22B.3C.4D.22+1答案:C解析:设双曲线
4、的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,又|AF1|=|BF1|,故|AF2|-|BF2|=4,又|AB|=|AF2|-|BF2|,故|AB|=4.6.(2021安徽安庆二模)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于点A,B(点A位于x轴上方),O是坐标原点,记AOF和BOF的面积分别为S1,S2,则S1S2=()A.9B.4C.3D.2答案:C解析:由题意,直线AB的方程为y=3x-p2,代入y2=2px,整理得x2-53px+14p2=0.设点A,B的坐标分别为(x1,y1)
5、,(x2,y2),因为点A位于x轴上方,解方程得x1=32p,x2=16p,所以S1S2=|y1|y2|=2px12px2=x1x2=3.故选C.7.(2021北京朝阳二模)若圆O:x2+y2=1上存在点P,直线l:y=k(x+2)上存在点Q,使得OP=QO,则实数k的取值范围为()A.-3,3B.-33,33C.-3,3D.-33,33答案:B解析:由于OP=QO,即PQ是圆O的直径,所以直线和圆有公共点,圆心(0,0)到直线y=k(x+2)的距离|2k|1+k21,化简得k213,所以k-33,33.8.(2021安徽安庆一模)双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0),圆M:(x+2)
6、2+y2=3与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2,则双曲线的离心率等于()A.2B.3C.62D.72答案:A解析:双曲线的一条渐近线bx-ay=0,圆心(-2,0)到渐近线的距离d=|-2b-0|b2+a2=2bb2+a2,又圆心(-2,0)到渐近线的距离等于3-(22)2=2,从而2bb2+a2=2,即b=22c,所以a=22c,所以e=2.9.(2021安徽合肥一模)设双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上一点P到x轴的距离为2a,F1PF2=120,则双曲线C的离心率为()A.3B.1+3C.2+3D.4答案:C解析:设P为第一象限内的点
7、,|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,可得m-n=2a,在PF1F2中,可得4c2=m2+n2-2mncos 120=m2+n2+mn=(m-n)2+3mn,即为4c2=4a2+3mn,即mn=43(c2-a2),又PF1F2的面积为12mnsin 120=1243(c2-a2)32=122c2a,化为c2-a2-23ac=0,所以e2-23e-1=0,解得e=2+3(负根舍去).10.(2021宁夏银川二模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该抛物线交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=()A.4B.6C.8D.12答案:B解析
8、:抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,过点A,B,P作准线的垂线段,垂足分别为点M,N,R,因为点P恰为AB的中点,所以|PR|是直角梯形AMNB的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|.由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|1-(-2)|=6.故选B.11.(2021河南新乡三模)已知抛物线M:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F且斜率为512的直线l与抛物线M交于A,B两点(点A在第二象限),则|AF|BF|=()A.513B.413C.59D.49答案:D解析:如图,直线CD为抛物线M的准线,ACCD,BDCD,AEBD,垂足
9、为点E.设|BE|=5x,则|AB|=13x,|BE|=|BD|-|AC|=|BF|-|AF|=5x,|AB|=|AF|+|BF|=13x,解得|AF|=4x,|BF|=9x,故|AF|BF|=4x9x=49.故选D.12.(2021山西太原二模)已知直线x-2y+n=0(n0)与双曲线:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别相交于A,B两点,点P的坐标为(n,0),若|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是()A.2B.3C.153D.62答案:C解析:由题意,双曲线的渐近线为y=bax,联立x-2y+n=0,y=-bax,得A-ana+2b,bna+2b,联立x-2y+n=0,
10、y=bax,得Ban2b-a,bn2b-a,所以AB的中点Ea2n4b2-a2,2b2n4b2-a2,kAB=12,kPE=2b2n4b2-a2a2n4b2-a2-n=b2a2-2b2,因为|PA|=|PB|,所以kABkPE=-1,即b2a2-2b2=-2,2a2=3b2,所以e=ca=1+b2a2=153.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021山东潍坊一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上,PQ垂直l于点Q,QF与y轴交于点T,O为坐标原点,且|OT|=2,则|PF|=.答案:5解析:不妨设点P在第一象限,PQ与y轴交于点M,则易知M
11、QTOFT,则MTOT=MQOF,又OF=MQ=1,OT=2,所以MT=2.所以点P,Q的纵坐标都为4,代入抛物线方程求得P(4,4),故PF=4+1=5.14.(2021东北三省四市一模)在平面直角坐标系中,直线mx+y-2m-2=0与圆C:(x-1)2+(y-4)2=9交于M,N两点,当MNC的面积最大时,实数m的值为.答案:-1或-17解析:由圆C:(x-1)2+(y-4)2=9,则圆心C(1,4),r=3,点C(1,4)到直线的距离d=|2-m|m2+1,直线与圆C相交,0dr0|2-m|m2+10)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,
12、则C的准线方程为.答案:x=-32解析:PFx轴,xP=xF=p2,将xP=p2代入y2=2px,得y=p.不妨设点P在x轴的上方,则Pp2,p,即|PF|=p.如图,由条件得,PFOQFP,|OF|PF|=|PF|QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.16.(2021宁夏银川二模)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,左顶点为A,过点F作C的一条渐近线的垂线,垂足为M,若tanMAF=12,则双曲线的离心率等于 .答案:53解析:如图,由题意可设直线OM的方程为y=bax.FMOM,|MF|=b,|OM|=a,在OAM中,OA=a,OM=a,
13、MAO=AMO,MOF=2MAF,在MOF中,tanMOF=|MF|MO|=ba=tan 2MAF=2tanMAF1-tan2MAF=43,ba=43,e=1+(ba)2=53.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021河北石家庄27中模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),其右焦点为F(3,0),且离心率e=32.(1)求椭圆C的方程;(2)过F且倾斜角为45的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,求三角形OMN(O为坐标原点)的面积.解:(1)由F(3,0),则c=3,离心率e=ca=32,则a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y
14、2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线l的方程为y=x-3,由y=x-3,x24+y2=1,消去y,整理得5x2-83x+8=0,0成立,所以x1+x2=835,x1x2=85,SOMN=12|OM|ON|sinMON=12|OM|2|ON|2-(OMON)2=12|x1y2-x2y1|=12|x1(x2-3)-x2(x1-3)|=32|x2-x1|=32(x2+x1)2-4x1x2=32(835)2-485=265.18.(12分)(2020全国,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x
15、轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.解:(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),
16、则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y 2=12x.19.(12分)(2021山西太原一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,其离心率e=12,点P是椭圆C上一动点,PF1F2内切圆面积的最大值为3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线PF1,PF2与椭圆C分别相交于点
17、A,B,求证:|PF1|F1A|+|PF2|F2A|为定值.(1)解:由题意得PF1F2内切圆半径r的最大值为33,e=ca=12,12(2a+2c)33=122cb,a2=b2+c2,b2=3,a2=4,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),当y00时,设直线PF1,PF2的方程分别是x=m1y-1,x=m2y+1,由x=m1y-1,x24+y23=1得(3m12+4)y2-6m1y-9=0,0显然成立.y0y1=-93m12+4.x0=m1y0-1,m1=x0+1y0,y0y1=-5+2x03,同理,由x=m2y+1,x2
18、4+y23=1可得y0y2=-5-2x03,|PF1|F1A|+|PF2|F2B|=-y0y1y0y2=103.当y0=0时,直线PF1,PF2与x轴重合,易得|PF1|F1A|+|PF2|F2B|=3+13=103.综上所述,|PF1|F1A|+|PF2|F2B|=103.20.(12分)(2021广西桂林二模)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,过F的直线m与抛物线E交于A,B两点,点A在第一象限,过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M.(1)若直线m的斜率为3,求|AF|BF|的值;(2)设AB的中点为N,若O,M,N,F四点共圆,求直线m的方程.解:(1)如
19、图,由抛物线y2=4x,得F(1,0),则直线m的方程为y=3(x-1),联立y2=4x,y=3(x-1),得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3,A在第一象限,xA=3,xB=13,则|AF|=3+1=4,|BF|=13+1=43,|AF|BF|=3;(2)设直线m的方程为x=ty+1,由题意可得t0,否则,N与F重合,不存在O,M,N,F四点共圆.把x=ty+1代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,0显然成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4.x1+x2=y12+y224=(y1+y2)2-2y1y24=16t2+84=4t2+2,N(
20、2t2+1,2t).直线m的斜率为1t,直线n的斜率为-t,则直线n的方程为y=-t(x-1).由x=-1,y=-t(x-1),解得M(-1,2t).若O,M,N,F四点共圆,再结合FNFM,得OMON,则OMON=-1(2t2+1)+2t2t=2t2-1=0,解得t=22,直线m的方程为y=2(x-1).21.(12分)如图,过椭圆E:x24+y2=1的左、右焦点F1,F2分别作直线l1,l2,交椭圆于A,B两点与C,D两点,且l1l2.(1)求证:当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时,k1k2为定值;(2)求四边形ABCD面积的最大值.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,
21、y2),根据对称性,有C(-x1,-y1),因为A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆E上,所以x124+y12=1,x224+y22=1,二式相减,得x12-x224+y12y22=0,所以k1k2=y2-y1x2-x1y2-(-y1)x2-(-x1)=y22-y12x22-x12=-14为定值.(2)解:当l1的倾斜角为0时,l1与l2重合,舍去.当l1的倾斜角不为0时,由对称性得四边形ABCD为平行四边形,F1(-3,0),设直线l1的方程为x=my-3,代入x24+y2=1,得(m2+4)y2-23ym-1=0.显然0,y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4.所以SOA
22、B=123|y1-y2|=3223mm2+42-4-1m2+4=23m2+1(m2+4)2.设m2+1=t,则m2=t-1,t1,+).所以m2+1(m2+4)2=tt2+6t+9=1t+9t+6112.当且仅当t=9t,即m=2时取等号,所以(SOAB)max=23112=1.所以平行四边形面积的最大值为(SABCD)max=4(SOAB)=4.22.(12分)(2021全国甲,理20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OPOQ.已知点M(2,0),且M与l相切.(1)求C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与
23、M相切.判断直线A2A1与M的位置关系,并说明理由.解:(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p0,当x=1时,y2=2p,y=2p.OPOQ,2p=1,即2p=1,抛物线的标准方程为y2=x,M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)设A1(a2,a),A2(b2,b),A3(c2,c).lA1A2:y-a=1a+b(x-a2),即x-(a+b)y+ab=0,直线A1A2与M相切,|2+ab|1+(a+b)2=1.lA1A3:y-a=1a+c(x-a2)x-(a+c)y+ac=0,直线A1A3与M相切,|2+ac|1+(a+c)2=1.b,c是方程|2+ax|1+(a+x)2=1,即(a2-1)x2+2ax-a2+3=0的两根.又lA2A3:x-(b+c)y+bc=0,圆心(2,0)到直线lA2A3的距离d=|2+bc|1+(b+c)2=2+3-a2a2-11+(-2aa2-1)2=|a2+1|a4+2a2+1=1.d与M的半径相等,即直线A2A3与M相切.