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1、专题10 圆锥曲线-（新课标全国卷）1设椭圆的离心率分别为若，则（）ABCD【答案】A【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A（新课标全国卷）2已知双曲线的左、右焦点分别为点在上，点在轴上，则的离心率为_【答案】/ 【详解】方法一：依题意，设，则，在中，则，故或（舍去），所以，则，故，所以在中，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.（新课标全国卷）3在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于【
2、答案】(1)(2)见解析【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，故.（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则,令，同理令，且，则，设矩形周长为,由对称性不妨设，则.，易知则令,令，解得，当时，此时单调递减，当，此时单调递增，则，故,即.当时,且，即时等号成立，矛盾，故,得证.法二：不妨设在上，且，依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得，则则，同理，令，则，设，则，令，解得，当时，此时单调递减，当，此时单调递增，则，但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.法三：为了计算方便,我们
3、将抛物线向下移动个单位得抛物线,矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.设 , 根据对称性不妨设 . 则 , 由于 , 则 .由于 , 且 介于 之间, 则 . 令 ,则,从而故当时,当 时,由于,从而,从而又,故,由此，当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.（新课标全国卷）4已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（）ABCD【答案】C【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，解得或（舍去），故选：C.（新课标全国卷）5设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）
4、ABC以MN为直径的圆与l相切D为等腰三角形【答案】AC【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.（新课标全国卷）6已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交
5、于点P证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.（全国乙卷数学（文）(理)）7设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）ABCD【答案】D【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A： 可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，
6、联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.（全国乙卷数学（文）(理)）8已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为_.【答案】【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.（全国乙卷数学（文）(理)）9已知椭圆的离心率是，点在上(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点【答案】(1)(2)证明见
7、详解【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.（全国甲卷数学（文）10设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A1B2C4D5【答案】B【详解】方法一：因为，所以，从而，所以故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，所以，又，平方得：，所以故选：B.（全国甲卷数学（文）（理）11已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）ABCD【答案】D【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D
8、（全国甲卷数学（文）（理）12已知直线与抛物线交于两点，且(1)求；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，求面积的最小值【答案】(1)(2)【详解】（1）设，由可得，所以，所以，即，因为，解得：（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，由可得，所以，因为，所以，即，亦即，将代入得，所以，且，解得或设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，当时，的面积（全国甲卷数学（理）13己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（）ABCD【答案】B【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，所以，解得：，即，因此故选：B方法二：因为，即，联立，解得：，而，所以，即故选：B
9、方法三：因为，即，联立，解得：，由中线定理可知，易知，解得：故选：B（新高考天津卷）14双曲线的左、右焦点分别为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）ABCD【答案】D【详解】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D（新高考天津卷）15过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_【答案】【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：当时，同理可得故答案为：（新高考天津卷）16设椭圆的左右顶点分别为，右焦点
10、为，已知(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).【详解】（1）如图，由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.一、单选题1（2023河北沧州校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为
11、焦距的一半，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【答案】C【详解】因为为的平分线，所以，又因为，所以，设，因为点在渐近线上，所以，因为，所以，所以，所以，又点在第二象限内，所以，所以点的坐标为，所以，所以，所以，所以，可得，故选：C.2（2022湖南常德常德市一中校考二模）已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（）ABCD2【答案】C【详解】由题意可知，即，则，解得：，所以双曲线的离心率.故选：C3（2023四川广安四川省广安友谊中学校考模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中将油纸伞
12、撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（）ABCD【答案】C【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的长半轴长为，半焦距为，由，得，在中，则，由正弦定理得，解得，则，所以该椭圆的离心率.故选：C.4（2023河南校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心
13、率是（）ABCD【答案】A【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A5（2023四川成都四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（）ABCD【答案】C【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为.故选：C6（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（）ABCD【答案】B【详解】抛物线的焦点为，准线为，设椭圆的方程为，椭圆中，当时， ，故又，所以，故椭圆
14、方程为，故选：B二、多选题7（2023广东佛山统考模拟预测）已知双曲线：上、下焦点分别为，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，是直线上的动点，直线，分别与E的上支交于点，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（）A双曲线的方程为BC以为直径的圆经过点D当时，平行于轴【答案】ACD【详解】由题知，解得，所以双曲线方程为，A正确；由A知，设，则，所以，B错；由上述知，直线方程为，直线方程为，联立，得，因点是异于的上支点，所以，代入直线方程得，即，联立，得，因点是异于的上支点，所以，代入直线方程得，即，则，所以，即，所以以为直径的圆经过点，C正确；当时，即，所以代入坐标得，所以平行
15、于轴，D正确.故选：ACD8（2023广东东莞校考三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则（）A抛物线的准线方程为B直线一定过抛物线的焦点C线段长的最小值为D【答案】ACD【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，与抛物线方程联立，得，因为是该抛物线的切线，所以，即，且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，设直线存在斜率且不为零，设为，同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，显然、是方程的两个不等实根，所以，因为，所以，因此选项D正确；由上可知：的斜率为，直线的方程为：，即，又，所
16、以，所以，即，所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，由得，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项C正确；故选：ACD三、解答题9（2023河北沧州校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，0【详解】（1）因为椭圆过点，所以，设满足，则， 又，则，所以椭圆的方程.（2）直线，代入椭圆，可得，由
17、于直线交椭圆于两点，所以，整理得.设，由于点与关于原点对称，所以，于是有，又，于是有故直线的斜率与直线的斜率之和为0.10（2023广东佛山统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，为线段上异于的一动点，点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1），点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为，则，点的轨迹的方程为：.（2）连接，延长交椭圆于点，连接，由椭圆对称性可知：，又，四边形为平行四边形，且三点共线四边形的面积，设直线，由得：，又，点到直线的距离即为点到直线的距离，点到直线的距离，设，则，又，当，
18、即时，四边形面积取得最大值，最大值为.11（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.求证：直线恒过一定点；设的面积为，求的最大值.【答案】(1)，曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)证明见解析；最大值为.【详解】（1）由题意，得，化简得，所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点.（2）如图，证明：设.因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线的斜率必不为0.设直线的方程为.由得，所以，且
19、因为点是曲线上一点，所以由题意可知，所以，即因为所以，此时，故直线恒过轴上一定点.由可得，所以当且仅当即时等号成立，所以的最大值为.12（2023宁夏石嘴山平罗中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，(1)求椭圆的方程；(2)椭圆左焦点为，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.（2） 消去，整理得，解得，如图则，则，直线的方程为，到直线的距离.所以的面积为.13（2023陕西咸阳武功县普集高级中学校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且.(1)求
20、双曲线的方程；(2)若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设，的斜率分别为，求的值.【答案】(1)(2).【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，所以，可得，设，则，即，又双曲线的渐近线方程为，所以，又由于，则，故双曲线方程为.（2）解：设直线，其中，联立方程组，整理得，由于，且，所以，.因为直线的方程为，所以的坐标为，同理可得的坐标为，因为，所以，即为定值.14（2023山东聊城统考三模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，左焦点为，点在上，轴，且直线的斜率为(1)求的方程；(2)（异于点）是线段上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为，直线与直线相交于点，问：
21、是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由【答案】(1)(2)是定值，定值是2【详解】（1）设，因为点在上，直线的斜率为，椭圆的左焦点为，则由题意得，解得，所以的方程为（2）由（1）知，设，其中，由题意设：，与联立消得，则，因为直线与直线相交于点，且与的另一交点为，所以，即，所以，所以，即点在直线上，又轴，所以，即为定值215（2023河南校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.(1)求双曲线的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意可知，解得，所以双曲线的方程为.（2）设直
22、线的方程为，代入中，可得，设，则.直线的方程为，令，得点的纵坐标为，直线的方程为，令，得点的纵坐标为，因为，所以，即.16（2023广东茂名茂名市第一中学校考三模）已知双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)直线是否过定点，证明见解析.【详解】（1）由双曲线的离心率为2，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，因为直线与双曲线的左右两支分别交于点，则，联立，得，设，则，直线的方
23、程，令，得，所以直线过定点.17（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知抛物线C：，过的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且，求直线AB的方程.【答案】(1)证明见解析(2)或【详解】（1）设，设直线AB：x=my+1.联立化简可得：由韦达定理可得：； 所以，所以直线OA，OB的斜率之积为定值.（2）设线段AB的中点N，设.则，解得，所以，即； 所以；又线段AB的中点N，可得，所以.因为，所以，所以.所以，解得；所以直线AB的方程为：或.四、双空题18（2023广东佛山统考模拟预测）设抛物线的焦点
24、为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于两点（点在两点之间），则_；设交轴于点，交准线于点，则_.【答案】 /【详解】到准线的距离为，抛物线为，准线，由题意可设直线，由得：，解得：或，；设，则，直线，直线，.故答案为：；.五、填空题19（2023河南校联考模拟预测）已知抛物线的准线与轴的交点为，过焦点的直线分别与抛物线交于两点（点在第一象限），直线的倾斜角为锐角，且满足，则_.【答案】12【详解】如图，过点作轴于点，由抛物线的定义可知点到准线的距离，故，同理，则，故，则，可得，则，所以.故答案为：12.20（2023广东茂名茂名市第一中学校考三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是_.【答案】/【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，则，在中，所以，所以，故在中，所以，则.又轴，所以，又抛物线，则，所以，所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，与抛物线方程联立，消并化简得，易得，设点，则，则，又直线，可化为，则点到直线的距离，所以.故选：B.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司