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1、绝密启用前2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测（一）数 学（理）试题注意事项：L答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.若集合 A =x|/一 2 一3 0 ,8 =0,1,2,3,4,则 4 08=（）A.0,2B.0,1,2)C.3,4D.0,2,3)答案：B先求集合8,再求A Q B.解：X2-2J C-3 0，解得：=l x /（3）,则实数x的取值范围是（）.A.(2,+o o)B.(-o o,2)C.(1,-Ko)D.(H 0,l)答案：D用导数判断函数/（x）的单调性，再解不等式即可.解：因 为/（x）=/2、2/（3）所以4
2、一1 3,得x 0力0)上存在两点A,8关于直线y=x-6对称，a b且线段A 3的中点坐标为“(2,T),则双曲线C的离心率为().A.V2 B.6 C.2 D.V5答案：B设A(x”y),B(x2,y2),根据线段AB的中点坐标为M(2,-4),且A,8关于直线y=x-6对称，A,3在双曲线上，整理可得t=2,进而可得到离心率.a解：设 A(X|,y),B(x2,y2),且线段A B的中点坐标为,则 为 +=4,x+%=-8,又A,8关于直线y=x-6对称，所以 21二21x1=-1,七一马且A,8在双曲线上，2 2 2 2内 X 1 2 )2 _ 1/1,靛下，相减可得4.4=0,即竺
3、口2一必 好 学3=0,a2 b2 cr b-故4-毯=0,即 与=2,a b-a2离心率为e=J l+勺=V3 故选：B.点评：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出a,c,代入公式e =；a只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=c?1转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a?转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.7T11.在直三棱柱A B C-A B G中，AB=3 C=2,N ABC =,若该直三棱柱的外接球表面积为16%,则此直三棱柱的高为（）.A.4 B
4、.3 C.4A/2 D.2夜答案：D由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为16万，可求出外接球的半径,从而可求得直三棱柱的高TT解：解：因 为 乙 钻。=5，所 以 将 直 三 棱 柱ABC-补 成 长 方 体A B C D-A A Q D,则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，设球的半径为R,则4%R 2=i6不，解得R =2，设直三棱柱的高为人,则4R 2=22+22+,即16=8+,解得 =2遮，所以直三棱柱的高为2及，故选：D12.已知函数f(x)是定义域为R 的
5、奇函数，且当x 0 时，函数/(x)=x e*+2,若关于x 的函数F(x)=/(x)2+(a 2)/(x)-2a恰 有 2 个零点，则实数a的取值范围为().A.|-o o,-2 B.(-,-2)U(2,+oo)I e J-2，卜2卜(2 一 对 口 2,2一：)答案：C由 E(x)=O 得/(x)=2 或/(x)=-a,而 x 0 时，/(x)=2 无解，需满足/(x)=-a 有两个解.利用导数求得,f(x)在 x 0 时的性质，由奇函数得x 0 时的性质，然后可确定出。的范围.解；F(x)=/(x)-2 f(x)+a =0,f(x)=2 或/(x)=-a,x 0 时，/(x)=xe+2
6、2,f(x)=(x+l)er,x -l 时，f(x)0,f(x)递减；-l x 0,f(x)递增，./。)的极小值为/(-1)=2-，又 f(x)2,因此f(x)=2 无解.e此时/(x)=-a 要有两解，则 2 1 a 0时，/。)=2 仍然无解，/(五)二一。要有两解，则 2 -。2.e综上有 a e 1 2,2)U(2 ,2),故选：C.点评：关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用.首先方程化为八幻=2 或/(x)=。，然后用导数研究工0 时/(x)的性质，从而得出/。)=2 无解，/(x)=。有两解时。范围.二、填空题x +y -2 2 0,13.若 ,V满足约束
7、条件卜一 y +2 2 0,则z =x+3 y的最大值为.x2.答案：141 2由 线 性 约 束 条 件 作 出 可 行 域，作 直 线 由z =x +3 y可 得y =+,作直线k:y=一x沿可行域方向平移，由z的几何意义即可求解.解：由线性约束条件作出可行域如图，时,z =x+3 y取得最大值,x 一 y +2=0 x 2由 ；可得”，所以外2,4),所以Z ma x =2+3 x 4=14,x=2 1y =4故答案为：14.点评：方法点睛：线性规划求最值的常见类型(1)线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；(2)分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率
8、问题，结合图形求解；(3)平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.0故答案为：旦31 6.已知函数/0)=5皿(：0 5%)+(：0 5(8 5 _),现有以下命题：f(X)是偶函数；/(X)是以2为周期的周期函数；/(X)的图像关于X =对称；/(X)的最大值为行.其 中 真 命 题 有.答案：根据三角函数图象性质逐一进行判断：根据 X)写出/(一X),并判断与“X)关系即可；写出/。+2 )，判断与/(X)是否相等；判断了(乃一X)与f(X)的关系：设r=co s x,f,所以 y =s in f+co s f=J s in(r+),根据，的取值范围确定最4值并判断.解：
9、函 数/(x A S i n (6*S )c Q定 义 域 为R ,关 于 原 点 对 称，f(x)=s in co s(x)+co s co s(JT)J=s in(co s x)+co s(co s x)=f(x),所 以 函 数 是 偶 函 数；所以正确；/(%+2%)=s in co s(x +2 )+co s co s(x +2 乃)=s in(co s x)+co s(co s x)=/(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数：所以正确；于(兀-x)=s in co s(-x)l+co s co s O -x)=-s in(co s x)+co s(co s x)丰/(x),T
10、T所以f(x)的图像不关于x =W对称；所以错误；2 令 r=co s%,r,所 以 y=s i n+c 欣 s 与.，因 为4jr TT 7t 7C TT i-t+-占1 +,1,所 以/+=一，即r =一 时，v =V2,则函数f(x)的最4 4 4 2 4大 值 为 血；所以正确；所以真命题为，故答案为：.点评：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f（x）是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些
11、函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.三、解答题1 7.如图，在三棱锥产一 A B C 中，平面Q4C_L平面ABC,P C I A C,B C A C,A C=P C =2,CB=4,M 是 Q 4的中点.（1 ）求证：平面M B C；（I I）设点N 是 的 中 点，求二面角N-M C-B 的余弦值.答案：（I）证明见解析；（H）逑.3（1 ）根 据 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 平 面 P 4 C，根据线面垂直的性质定理，可得 B C 上P A,根据等腰三角形中线的性质，可得C M _ L P A,利用线面垂直的判定定理，即可得证；（I I）根据面面垂直的性质定理
12、可得P C _L平面A B C,结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得的，C N，中 的 坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.解：解：（I）平面R 4 c，平面A B C,平面平面ABC=AC,B C u 平面ABC,B C A C,：.平面 PA C，Q4u 平面 B 4 C，B C 1 P A,：AC=PC,M 是 P 4 的中点，:.CM 1 PA,：CMCBC=C,C M,B C u 平面M BC,/.Q A L平面 MBC.(I I)平面Q 4 C，平面 ABC,平 面P A C p I平面 A B C=A C,PCu平面 A 4 C,PCI A
13、CPC_L平面 ABC，,?BCu平面 A B C,/.PCA.BC,以C为原点，C A,C B,C P为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，A(2,0,0),5(0,4,0),C(0,0,0),尸(0,0,2),M(1,0,1),N(0,2,l),则 西=(1,0,1),西=(0,2,1),而=(2,0,-2),由(I )知 雨=(2,0,-2)是 平 面 的 一 个 法 向 量,设7 =(x,y,z)是平面MNC的法向量,x+z=02 y+z=0则有C M-n =0一 ，即C N-n=0令y=l,则 z =2，x=2,Ar t =(2,1,-2),设二面角N MC 8所成角为
14、。，由图可得。为锐角,贝ij c o s 3=|c o s|=PA-nPAn2 x 2 +0 x l-2 x(-2)V 8-V 92V2亍点评：解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案.1 8.设数列 4是公差大于零的等差数列，已知q=3,a；=4+2 4.(1)求数列%的通项公式；（2）设 数 列 也 满足s i n a/(为奇数)c o s a/5为 偶 数)求%+%+-+3答案：(1)an=3 n；(2)1 0 1
15、 0.设 等 差 数 列 q的公差为d,由6=3,d=4+2 4,即可求得答案;（2）因为以=s i n乃（为奇数）5伪 偶 数）求出当为奇数时 a二 当为偶数时I 可得 包 是以2为周期的周期数列，即可求得答案.解：解：设等差数列 4的公差为d,/a；=4+2 4(q +=(4 +3d)+2 4 又q =3,，(3 +d)2 =(3 +3 d)+2 4解得d =-6或1 =3,d0,d=3,an=3 +3(-1)=3 .(2),/bn=(),且玉+=3。2 0,从而可求出实数a 的取值范围;x,=3a 2(2)由 (1 )可 知 二 ，从而有x)x2=1 4-=+A：2 =(X|+2)(X1
16、+x2)2-3XjX2=(3-2)(3Q_2)2 3,则(a)=27 a3-54a2+27a-2 la j L再利用导数判断单调性，从而可得其值域解：解：(1)易知/(x)的定义域为(0,+8),%2+(2-?ci)x+1X(X+1)2设/z(x)=厂+(2-3a)x+1,其中 =9a*12a 4当()时，即a 或 avO.3此时/z(x)=0 有两个根，则有 0,x2 0,2 4 +%=3。-2 0,/.,：.a ,3 3,玉,2=(3a-2)土 石2(王 1 j设 g(a)2 7 a，54 a +2 7 a 一 2(a )，则 g(a)=81 a 2 7 0 8 a +2 7=2 7(3
17、0,上是单调递增的，.g(a)g4:.g3)e (2,+o o),即 g(a)的值域为(2,+o o).点评：关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的极值，考查计算能力，解题的关键是将函数.f(x)有两个极值点再和马，转化为方程/(幻=0有两个正根，进而得方程/+(2-3。)+1=0有两个正根，然后利用一元二次方程根的分布进行求解即可，属于中档题x =3c o s a2 2.直角坐标系x O y中，曲 线C的参数方程为 为参数)，直线/的参y =s i nax =1-t数方程为1 c (t为参数).y=3+t(1)求直线/的普通方程，说明c是哪一种曲线；(2)设M,N分别为/和C上的动
18、点，求|MN|的最小值.答案：l:x+y=4,曲线C是焦点在x轴上的椭圆；(2)2 /2-5/5.(1)消参得到直线/的普通方程和曲线。的方程，即得解；(2)设N(3 c o s a,s i n a),求出|MN|=N 学 上 二 名 即 得解.J2解：(1)由题得直线/：x +y =4,曲线+)2=i,即卷+/2=1,所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆.(2)设N(3c o s a,s i na),则|M N|就是点N到直线/的距离,|N|3cos 萃nI/匹吧隼幽T I(。的 终 边 在 第 一 象 限 且夜 V2tan0=3)4 JTo r-r-当sin(+)=1 时，|朋N|min=一=2
19、V2-V5.v2点评：方法点睛：参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解.2 3.已知函数/(x)=|2x|+|x-l|,xeR .(1 )求/0).2的解集;(I I)若/。)=依 有2个不同的实数根，求实数k的取值范围.答案：(I)x|x.1 或,；(II)2 k 3.(1)利用零点分段法，解不等式；(2)问题转化为y=/(x)与丫=依有两个交点，利用数形结合，求实数化的取值范围.一3x+l,%,0解：/(x)=x+l,0 x l,3x-l,x.1x20 c x 2或 2或 解得：x|x21或./,(%).2的解集是 乂21或xW g(n)问 题 转 化 为 =/(%)与y=k x有 两 个 交 点，由 图 易 知：2-0102,koB-kAC=3,二心.kkoB,即 2女 3.点评：方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻 找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.