第十六章坐标系与参数方程讲义.pdf

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1、第 十 六 章 坐 标 系 与 参 数 方 程 1 真 题 多 维 细 目 表 考 题 涉 分 题 型 难 度 考 点 考 向 关 联 考 点 解 题 方 法 核 心 素 养 2021全 国 乙，22 10 解 答 题 中 参 数 方 程 圆 的 参 数 方 程；切 线 的 极 坐 标 方 程，直 角 坐 标 方 程 与 极 坐 标 方 程 的 互 化 极 坐 标 方 程 公 式 法 数 学 运 算 2021全 国 甲，22 10 解 答 题 中 极 坐 标 方 程 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化 参 数 方 程 公 式 法 相 关 点 法 数 学 运 算 2020

2、 课 标 I,22 10 解 答 题 中 参 数 方 程 将 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，判 断 曲 线 类 型，求 曲 线 公 共 点 的 面 角 坐 标 极 坐 标 方 程 公 式 法 数 学 运 算 逻 辑 推 理 2020 课 标 11,22 10 解 答 题 中 参 数 方 程 将 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，求 圆 的 极 坐 标 方 程 极 坐 标 方 程 相 加 消 元 法 平 方 相 减 消 元 法 公 式 法 数 学 运 算 逻 辑 推 理 2 命 题 规 律 与 备 考 策 略 婪 内 容 主 要 体 现 在 以 下 方 向:以 极 坐 标 方 程

3、 与 直 角 坐 标 方 程 之 商 而 藐 为 背 景 考 查 两 种 坐 标 系 之 间 的 变 换;以 参 数 方 程 与 普 通 方 程 之 间 的 互 化 为 背 景 考 查 消 元 法 的 应 用;以 直 线、圆 及 圆 锥 曲 线 的 融 合 为 背 景 考 查 极 坐 标 与 参 数 方 程 的 应 用;以 直 线 与 圆 锥 曲 线 形 成 的 弦 长、弦 中 点 及 线 段 和 与 积 为 背 景 考 查 直 线 的 参 数 方 程 中，的 几 何 意 义.常 以 这 些 内 容 为 考 杳 市 点.同 时 注 意 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想 以 及

4、 转 化 与 化 归 思 想 在 解 决 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 互 化、参 数 方 程 与 普 通 方 程 互 化、最 值 问 题 中 的 应 用.题 型 赋 分 坐 标 系 与 参 数 方 程 是 全 国 卷 的 选 考 内 容，设 题 稳 定，考 题 难 度 以 中 档 题 为 主,题 型 以 解 答 题 的 形 式 出 现，设 在 试 卷 的 第 22题，分 值 为 10分.电 整 特 点 本 章 内 容 在 高 考 试 题 中 用 点 考 杳 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 海 募（方 程 与 普 通 方 程 之 间 的 互 化，极 坐 标 中 p 与

5、 8 的 应 用，【员 1、椭 圆 的 参 数 方 程 的 应 用.但 高 考 对 坐 标 系 的 伸 缩 变 换、直 线、抛 物 线 参 数 方 程 的 应 用 考 查 频 率 不 高.试 题 情 境 主 要 为 课 程 学 习 情 境，主 要 考 查 的 核 心 素 养 为 数 学 运 算、逻 辑 推 理.夏 县 建 议 熟 练 掌 握 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式，理 解 互 化 前 脑 砺 杀 消 参 的 方 法，快 速 进 行 参 数 方 程 与 普 通 方 程 之 间 的 互 化；精 通 教 材,理 解 极 坐 标 中 p 与。的 含 义,会 用 极 坐 标

6、表 示 三 角 形 的 面 积 及 线 段 的 长 度;重 视 圆、椭 圆 参 数 方 程 的 应 用，理 解 直 线 参 数 方 程 中/的 含 义，从 而 解 决 弦 长、弦 中 点 问 题;重 点 关 注 在 极 坐 标 系 下 解 决 问 题 的 能 力 和 参 数 方 程 在 求 解 最 值 问 题 中 的 应 用.色 章 策 略（1）熟 练 掌 握 解 决 以 卜.问 题 的 方 法 和 规 律:极 坐 标 方.程 死 标 标 方 程 的 互 化 问 题；普 通 方 程 与 参 数 方 程 的 互 化 问 题；参 数 方 程 中 任 意 点 或 动 点 问 题;直 线 与 圆 锥

7、曲 线 相 交 问 题;极 坐 标 在 平 面 几 何 中 的 应 用 问 题.（2）重 视 函 数 与 方 程、数 形 结 合、转 化 与 化 归 思 想 的 应 用.724 5 年 高 考 3 年 模 拟 B版（教 师 用 书）五 年 高 考 考 点 式 编 排 题 组 式 训 练 考 点 1 I极 坐 标 方 程 夕 堂 变 山 1.（2021全 国 甲,22,1（）分）在 直 角 坐 标 系 工 0 中，以 坐 标 原 点 为 极 点 声 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 p=2/cos 0.（1）将 C 的 极 坐 标 方 程

8、 化 为 直 角 坐 标 方 程；（2）设 点 A 的 直 角 坐 标 为（1,0）为 C 上 的 动 点，点 P 满 足 赢，写 出 P 的 轨 迹 G 的 参 数 方 程,并 判 断 C 与 G是 否 有 公 共 点.（解 题 指 导 本 题 第（2）问 先 设 出 P 与,M 的 坐 标，然 后 利 用 向 量 法 将 M 的 坐 标 用 P 的 坐 标 表 示 出 来，再 代 入 曲 线 C 的 方 程 得 P 的 轨 迹 方 程 由 此 写 出 C,的 参 数 方 程，最 后 利 用 两 圆 的 位 置 关 系 判 断 c 与 G 是 否 有 公 共 点.2.（2020江 苏,21B

9、,10分）在 极 坐 标 系 中，已 知 点 A（p,y j 在 直 线/：pcos 0=2 上，点 8 人，总 在 圆 C：p=4sin 6 上（其 中（1）求 pl g 的 值;（2）求 出 直 线/与 圆 C 的 公 共 点 的 极 坐 标.份 解 析 本 题 主 要 考 查 曲 线 的 极 坐 标 方 程 等 基 础 知 识,考 查 运 算 求 解 能 力.I IT 11（1）由 pCos=2=4；p,=4sin=2,3 o乂（0,0）（即（0,弓，）也 在 圆 C 上,因 此 生=2 或 0.,（pcosG=2,/口（2）由（得 4sin 0cos 6=2,（p=4sin 9,所 以

10、 sin 20=1.因 为 P 20,0W 0轴 的 交 点 为（0,12）；由 2-3，+/=0 得，=2,所 以 C 与#轴 的 交 点 为（-4,0）.故 1481=4（2）由（1）可 知，直 线 4 8 的 直 角 坐 标 方 程 为 1+白=1,将*=4 12pcos 二 psin 8 代 入，得 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 为 3pcos 0-psin 0+12=0.4.（2019课 标 III,22,10分）如 图，在 极 坐 标 系 0%中，4（2,0）,8 佰,亍），C 佰，称），（2,TT）,弧 0.0 联，褊 所 在 圆 的 圆 心 分 别 是（1,0），（1

11、，T），曲 线 M 是 弧 靠.曲 线.W,是 弧 就,曲 线 也 是 弧 ci）.（1）分 别 写 出 弧,M2,M3的 极 坐 标 方 程；（2）曲 线 M 由,!H2,M,构 成,若 点 P 在 M 上,且）P I=4,求 P 的 极 坐 标.丘）解 析（1）由 题 设 可 得，弧 蓝，前，褊 所 在 圆 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 p=2cos 6,p=2sin。,。=-2cos 0.所 以 弧 的 极 坐 标 方 程 为 p=2 c o s，上 的 极 坐 标 方 程 为 p=2sin。（白 弧 的 极 坐 标 方 程 为 夕=-2cos 0（亍 WOWir）.（2）设 尸（

12、p,。），由 题 设 及（I）知 若 O W O W，则 2cos 0=/5,解 得 0；4 6若；这 与，则 2sin 6=解 得 6=三 或 8二”;4 4 3 3若 干 WOWTT,则-2cos。=，解 得。二 亭 4 6综 上,P 的 极 坐 标 为 国 考）或（4 号）或（等 或（片）,5.（2019课 标 n,22,10分）在 极 坐 标 系 中，。为 极 点，点 M o,o）（Po0）在 曲 线 C：p=4sin 0 上，直 线/过 点 4（4,0）且 与 OM垂 直,垂 足 为 P.（1）当 编 时,求 P。及/的 极 坐 标 方 程；（2）当 M 在 C 匕 运 动 且。在

13、线 段 0 M 匕 时，求。点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程.份 解 析 本 题 主 要 考 查 了 极 坐 标 的 概 念 和 求 极 坐 标 方 程 的 基 本 方 法，考 查 了 数 学 运 算 能 力 和 数 形 结 合 的 思 想 方 法，主 要 体 现 了 直 观 想 象 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养.TT-T T（1）因 为 M（Po，/）在 C 上，所 以 当 时,Po=4sin3 二 273.由 已 知 得 I OP I=1041 cos y=2.设。（P，。）为/上 除 P 的 任 意 一 点.在 Rl40PQ 中,。5（夕 一 三）=OP=2.经 检 验，点

14、P（2,3）在 曲 线 pcos（。j=2 _t.所 以,2的 极 坐 标 方 程 为 pcos（。一）=2.（2）设 P（p,G）,在 Rt Q4P 中,18 1=Q I cos 6=4cos 化 即 p=4cos仇 因 为。在 线 段 0 M 上，且 AP1 0 M,故 0 的 取 值 范 围第 士 六 章 堂 超 多 参 数 方 程 725是 十，T.所 以，P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 p=4 C O S 0,0，T-T-6.（2018课 标 I,22,10分）在 直 角 坐 标 系 近 万 中，曲 线 G 的 方 程 为）,二 川 W+2.以 坐 标 原 点 为 极 点

15、，力 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 G 的 极 坐 标 方 程 为 P?+0cos 0-3=0.（1）求。2的 直 角 坐 标 方 程；（2）若 G 与 C2有 且 仅 有 三 个 公 共 点，求 G 的 方 程.份 解 析（1）由%=pcos 0,y=psin。得 C2的 直 角 坐 标 方 程 为（欠+1尸+/=4.（2）由（1）知 C2是 圆 心 为 4（-1,0）,半 径 为 2 的 圆.由 题 设 知,G 是 过 点 8（0,2）且 关 于，轴 对 称 的 两 条 射 线.记 y 轴 右 边 的 射 线 为 Z,轴 左 边 的 射 线 为/2.由 于 8

16、 在 圆 C2的 外 面，故 C.与 C2有 且 仅 有 三 个 公 共 点 等 价 于，与 C2只 有 一 个 公 共 点 且 12与 C2有 两 个 公 共 点，或 4 与 c2只 有 一 个 公 共 点 且 Z.与 c2有 两 个 公 共 点.当 乙 与 只 有 一 个 公 共 点 时 M 到/,所 在 直 线 的 距 离 为 2,所 T+2 I 4以 zzn=2,故 k=-丁 或 A*=0,经 检 验，当 A=0 时,/与 C,没+1 34有 公 共 点;当 仁 时,与 C2只 有 一 个 公 共 点 与&有 两 个 公 共 点.当 匀 与 C 只 有 一 个 公 共 点 时,A 到

17、4 所 在 直 线 的 距 离 为 2,所 I z.+o I 4以=2,故 4 0 或 收 丁.经 检 验，当 心 0 时,与 C,没 7 F T T 34有 公 共 点；当 左=3 时/与 3 没 有 公 共 点.综 上，所 求 G 的 方 程 为）=-,除 1+2.Q 以 下 为 教 师 用 书 专 用（1一 3）1.（2018北 京 理，1（）,5 分）在 极 坐 标 系 中，直 线 pcos 9+psin 6=a（a0）与 圆 p=2cos 8 相 切，则 a=.。答 案 1+72（解 析 本 题 主 要 考 查 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化.pcos。=

18、%，由，psin。=，可 将 直 线 pcos 0+psin。=a 化 为“+y-a=0,将 p=2 2 2p=x+y2cos。，即 p2=2pcos。化 为 x2+y2=2%,整 理 成 标 准 方 程 为（4-1尸+=1.又 直 线 与 圆 相 切,J.圆 心（1,0）到 直 线 x+y-a=0 的 距 离 d=1,解 得 a=I72,a0,.a=1+J2.72（方 法 总 结 这 种 类 型 的 题 目 的 解 法 是 先 将 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程，然 后 用 平 面 几 何 知 识 求 解.2.（2016课 标 11,23,10分）在 直 角 坐 标 系

19、xOy P,|M|C 的 方 程 为（*+6尸+/=25.（1）以 坐 标 原 点 为 极 点/轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 C的 极 坐 标 方 程；（X/COS fV（2）直 线/的 参 数 方 程 是,（，为 参 数）与 C 交 于 A,（y=Zsin aB 两 点，M m 二 求/的 斜 率.份 解 析（1）由 二 pcos 0,y=psin 3 可 得 圆 C 的 极 坐 标 方 程 p?+12pcos 0+11=0.（3 分）（2）在（1）中 建 立 的 极 坐 标 系 中，白:线 I的 极 坐 标 方 程 为 6=a（p e R）.（4 分）设 4 8

20、所 对 应 的 极 径 分 别 为 pjP2,将/的 极 坐 标 方 程 代 入 C的 极 坐 标 方 程 得 p?+12p cos a+11=0.于 是 p1+P2=T2cos a,pg=IL（6 分）I AB-px-p21=A/（P,+p2）2PP2=J 144cos2a-44.（8 分）3 Vl 5由 1481=得 cos2a=,tan a=-.（9 分）8 3所 以 I的 斜 率 为 手 或-空.（10 分）3.（2016课 标 I,23,10分）在 直 角 坐 标 系 力。歹 中，曲 线 G 的 参 X/7.COS/（0）.在 以 坐 标 原 点 为 极 点/y-1+asm t轴 正

21、 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，曲 线 C2：p=4cos 6.（1）说 明 6,是 哪 种 曲 线，并 将 C,的 方 程 化 为 极 坐 标 方 程；（2）直 线 的 极 坐 标 方 程 为。二%,其 中 四）满 足 tan%=2,若 曲 线 G 与。2的 公 共 点 都 在 G 上，求 合 解 析（1）消 去 参 数/得 到 G 的 普 通 方 程+（厂 I）、/G 是 以（0,1）为 圆 心，。为 半 径 的 圆.（3 分）将 化 二 pcos 0,y=psin。代 入 G 的 普 通 方 程 中，得 到 G 的 极 坐 标 方 程 为-sin 8+lrJ=0.（5 分）

22、（2）曲 线 的 公 共 点 的 极 坐 标 满 足 方 程 组（p2-2pSin 0+1-2=0,建 分）（p=4cos 6.若 p/0,由 方 程 组 得 16cos2j-8sin Geos 1-a2=0,tan 0=2,可 得 16cos23-8sin 0cos 9=0,从 而 1 一 a?=0,解 得 a=-1（舍 去），或 a=l.（8 分）=1 时，极 点 也 为 6，。2 的 公 共 点，在 上.（9 分）所 以。=1.（10分）考 点 2 1 参 数 方 程 令 学 生 用 书 一，1.（2021全 国 乙，22,10分）在 直 角 坐 标 系 xOy中，。C 的 圆 心 为

23、C（2,l）,半 径 为 1.（1）写 出。C 的 一 个 参 数 方 程；（2）过 点 尸（4,1）作 作 C 的 两 条 切 线.以 坐 标 原 点 为 极 点,%轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 这 两 条 切 线 的 极 坐 标 方 程.解 题 指 导（1）根 据 题 意 直 接 求 解；（2）利 用 直 线 与 圆 相 切 的 性 质 得 出 数 量 关 系 式，求 出 直 线 斜 率 和 直 角 坐 标 方 程，再 把 直 角 坐 标 方 程 转 化 为 极 坐 标 方 程.2.（2019课 标 I,22,10分）在 直 角 坐 标 系 x（）y 中，曲 线

24、C 的 参 数 1-r-1+方 程 为 4,（/为 参 数）.以 坐 标 原 点 o 为 极 点/轴 的 正 4t半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线/的 极 坐 标 方 程 为 2pcos 8+5/3psin 0+11=0.（1）求 C 和/的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到/距 离 的 最 小 值.份 解 析 本 题 主 要 考 查 学 生 对 椭 圆 的 参 数 方 程、直 线 的 极 坐 标 方 程 的 掌 握 与 运 用，考 查 学 生 的 运 算 求 解 能 力 及 化 归 与 转 化 思 想;考 查 的 核 心 素 养 是 数 学 运 算.72

25、6 5 年 高 考 3 年 模 拟 B版（教 师 用 书）因 为 T 吊 W1,且+（5）=（号）+击 7=1,所 以。的 直 角 坐 标 方 程 为 J+/=l（x#-l）./的 直 角 坐 标 方 程 为 2#+司，+11=0.f X,fos（V（2）由（1）可 设。的 参 数 方 程 为 二（a 为 参 数，-仃。宣）.（y=2sin aC 上 的 点 到/的 距 离 为，人 人 k.一，4cos|a-）+1112cos a+2v3 sin a+111 3/7=万,当 a=-yHt4eos（a-y）+lI 取 得 最 小 值 7,故 C 上 的 点 到 I距 离 的 最 小 值 为 方

26、注:因 为 在 教 材 中，参 数 方 程 与 普 通 方 程 对 应，极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 对 应，所 以 本 题 中 的“求 C 和/的 直 角 坐 标 方 程”更 改 为“求 C 的 普 通 方 程 和 I的 直 角 坐 标 方 程”更 合 适.思 路 分 析（1）通 过 平 方 相 加 消 参 可 得 曲 线 C 的 普 通 方 程，利 用 x 与 t的 关 系 得 出 比 六-1,利 用 r=pcos 0,y=psin。将/的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程.（2）借 助 椭 圆 的 参 数 方 程、点 到 直 线 的 距 离 公 式 求

27、 椭 圆 上 的 点 到 直 线/的 距 离 的 最 小 值.3.（2020课 标 I,22,1（）分）在 直 角 坐 标 系”仍，中，曲 线 G 的 参 数 方 程 为 为 参 数）.以 坐 标 原 点 为 极 点,轴 正 半（y=sin t轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 4pcos 0-16Psin 0+3=0.（1）当%=1 时,c,是 什 么 曲 线？（2）当*=4 时，求 G 与 C?的 公 共 点 的 直 角 坐 标.X.5/消 去 参 数，得 产+尸=1.y=sin I,故 曲 线 G 是 圆 心 为 坐 标 原 点,半 径 为 1

28、 的 圆.（2）当 k=4 时,C,:=csj，消 去 参 数，得 G 的 普 通 方 程 为（y=sin/,爪+77=1.。2 的 直 角 坐 标 方 程 为 4x-l6y+3=0._1_由 产 域=1,解 得*4,l4x-16y+3=0 I卜 不 故 G 与 G 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 为（十，十）4.（2018课 标 III,22,10分）在 平 面 直 角 坐 标 系 工。中，。的 参 数 方 程 为 二，（9 为 参 数），过 点（0,-V I）且 倾 斜 角 为 a（,y=sin 0的 直 线/与 交 于 A,B 两 点.（1）求 a 的 取 值 范 围；（2）求 力

29、5 中 点 P 的 轨 迹 的 参 数 方 程.合 解 析（1）解 法 一：由 题 意 知 0（）的 普 通 方 程 为#+/=1.7T当。二 万 时，/与 交 于 两 点.当 a X；时，记 tan a=A,则/的 方 程 为）,二 kx-41.因 为/与。交 于 两 点，I/T I所 以 出 二 1,解 得 L-1 或 41,v W即。右 仔，3）或。弓 传，舞 综 上,a 的 取 值 范 围 是（十,亨）.解 法 二:由 题 意 知。的 普 通 方 程 为/+/=1,x=zcos a,厂.a 为 参 数，。为 倾 斜 角），y=-v2+sin a代 入 圆 的 方 程 中 得 到 r-2

30、zsin a+1=0,由 于 直 线 与 留 有 两 个 不 同 交 点，72所 以 21=8sin2a-4 0,.sin a t一 八、/7R 3TTX a e 0,TT）a e I I.%二 COS a,/T T 3qrL，为 参 数；（”芋.y=-V2+sin a 4 4/设 4,8,P 对 应 的 参 数 分 别 为 小/尸，则%二?,且 小%满 足 r-272zsin a+1=0.于 是 tA+ts=272sin a,/z,=72sin a.x=/；,cos a,y=-v2+Zpsin a.所 以 点 P 的 轨 迹 的 参 数 方 程 是 f V2.x=sin za,41 72 c

31、y=-k-丁 cos 2a（a 为 参 数 彳 3 得 Q 以 下 为 教 师 用 书 专 用（113）1.（2017课 标 in理,22,10分）在 直 角 坐 标 系 xOy P,直 线。的 参 数 方 程 为 为 参 数），直 线/,的 参 数 方 程 为（y=w1x=-2+m,m（m 为 参 数）.设。与 人 的 交 点 为 P,当 A 变 化 时,Py=z的 轨 迹 为 曲 线 C.（1）写 出 C 的 普 通 方 程；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，工 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，设 4：p（cos e+sin 0）-/2=O,M 为 4 与 C 的

32、交 点，求 M 的 极 径.金 解 析 本 题 考 查 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化,极 坐 标 方 程.（1）消 去 参 数，得/,的 普 通 方 程/,：y=M.T-2）；消 去 参 数 m得/,的 普 通 方 程（：y=；（x+2）.ky=k(x-2),设 P(3 y),由 题 设 得 I,.、y=(x+2).k消 去 4 得“2-2=4(六 0).所 以 C 的 普 通 方 程 为=4(y#0).(2)。的 极 坐 标 方 程 为 p2(cos2e_sin2e)=4(06k2H,efp).p1(cos2-sin20)=4,联 立 得 cos 0-sin 6=2(cos

33、 9+sin 6).(p(cos 6+sin 6)-v2=0第 士 六 章 堂 超 多 参 数 方 程 7271 9 1故 tan 0=-从 而 cos20=,sin20=.R A p2（cos20-sin26）=4 得 p?=5,所 以 交 点 M 的 极 径 为 6.（思 路 分 析（1）由 参 数 方 程 直 接 消 去 参 数 即 得 C 的 普 通 方 程.（2）将 C 的 直 角 坐 标 方 程 化 为 极 坐 标 方 程，与 直 线/3的 参 数 方 程 联 立，从 而 求 得 点 M 的 极 径.方 法 总 结 极 坐 标 问 题 既 可 以 化 为 直 角 坐 标 处 理，也

34、 可 以 直 接 用 极 坐 标 求 解.但 要 注 意 极 径、极 角 的 取 值 范 围，避 免 漏 根 或 增 根.2.（2017江 苏，21,10分）在 平 面 白:角 坐 标 系 久 O y中，已 知 苴 线 I%=-8+/,的 参 数 方 程 为/（，为 参 数），曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ly=T（A=2 7（S为 参 数）.设 P 为 曲 线 C 上 的 动 点，求 点 P 到 直 线 I（y=2j2s的 距 离 的 最 小 值.合 解 析 本 小 题 主 要 考 查 曲 线 的 参 数 方 程 及 互 化 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力.直 线/

35、的 普 通 方 程 为%-2y+8=0.因 为 点 P 在 曲 线 C上，设 P（2.J,2j2s）,从 而 点 P 到 直 线 I的 距 离 d=I2/-4 应 5+81%/12+(-2)22(s-&)，475当 时 因 此 当 点，的 坐 标 为（4,4）时，曲 线 C 上 点 P 到 直 线/的 眼 离 取 到 最 小 值 半.3.（2015课 标 D理,23,10分）选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程（V=/C O.S（Y（为 参 数,3 0）,y=/sin a其 中 0 W Q E 在 以 0 为 极 点,轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 x2+y2-ly=0

36、,/+户 2居=。解 得 X“二:或，J=0,联 立 中，曲 线 C,：p=2sin 8,，3：P=2A/3COS 0.（1）求。2与 的 交 点 的 直 角 坐 标；（2）若 G 与 C2相 交 于 点 4,G 与 G 相 交 于 点“，求 1/1川 的 最 大 值.份 解 析（1）曲 线 C2的 直 角 坐 标 方 程 为，+/-2 尸 0,曲 线 C 3的 直 角 坐 标 方 程 为+/-2 百%=。=Tf=3_=T,所 以 C2与 a 交 点 的 直 角 坐 标 为（0,0）和（抵,）.（2）曲 线 G 的 极 坐 标 方 程 为 0=M p R,p K 0），其 中 因 此.4的 极

37、 坐 标 为（2sin a,a）,B的 极 坐 标 为（27Jcos a,a）.所 以 I ABI=1 2sin a-273 cos al=4 I sin（a-j|.当 a=”5*7 7时，1/1 8 取 得 最 大 值，最 大 值 为 4.64.（2015陕 西 理,23,10分）选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 x=3+f,在 直 角 坐 标 系 xO y中，直 线/的 参 数 方 程 为（，为 参 V 3r r数）.以 原 点 为 极 点/轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，0 C 的 极 坐 标 方 程 为 p=2jsin 0.（1）写 出 O C的 直 角

38、 坐 标 方 程；（2）P 为 直 线/上 一 动 点，当，到 圆 心 C 的 距 离 最 小 时，求 P的 直 角 坐 标.份 解 析（1）由 p=2Qsin 仇 得 p?=2Q psin。，从 而 有/+/=2 5 y,所 以 冗 2+（厂 4）2=3.（2）设 户（3+?0 乂 C（0,A）,故 当,=0 时，|PC|取 得 最 小 值，此 时,P 点 的 直 角 坐 标 为（3,0）.5.（2015湖 南 理，16,6分）选 修 44:坐 标 系 与 参 数 方 程-73翼=5+彳，已 知 直 线 1：（/为 参 数）.以 坐 标 原 点 为 极 点/轴 的 y=+t正 半 轴 为 极

39、 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 p:2cos.（1）将 Illi线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程；（2）设 点 M 的 白:角 坐 标 为（5,有），I工 线/与 曲 线 C 的 交 点 为 4,8,求 IM4I IMBI 的 值.（解 析（1）p=2cos 6 等 价 于 p?=2pcos仇 将 p2=/+y2,pcs 8=x 代 入 即 得 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为/十 六 2 x 0.73=5+（2）将 2代 入，得+5有，+18=0.设 这 个 方 程 的 两 个 实 根 分 别 为.小，则 由 参

40、数 的 几 何 意 义 即 知，I M4 I 6.（2014课 标 I 理,23,10分）选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 已 知 曲 线 C：，+5=1,直 线/：1=：+：（，为 参 数）.4 9（y=2-2t（1）写 出 曲 线 C的 参 数 方 程,直 线 I的 普 通 方 程；（2）过 曲 线 C上 任 意 一 点 P 作 与/夹 角 为 30。的 直 线，交/于 点 上 求 IPAI的 最 大 值 与 最 小 值.合 解 析（I）曲 线 c 的 参 数 方 程 为=6,（e 为 参 数）.3sin 0直 线 I的 普 通 方 程 为 2升 厂 6=0.（2）曲 线 C

41、上 任 意 一 点 P（2cos仇 3sin 到/的 距 离 为 1 r K则 IP/ll=z-l5sin(0+a)-6,sin 30 54其 中 a 为 锐 角，且 tan Q=?77/5-当 sin(0+a)=-1时，I PA I取 得 最 大 值，最 大 值 为 学.7 区 当$in（J+a）=1时，1/MI取 得 最 小 值,最 小 值 为 早.728 5 年 高 考 3 年 模 拟 B 版(教 师 用 书)7.(2014课 标 II理,23,10分)选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 在 白:角 坐 标 系 工 中，以 坐 标 原 点 为 极 点，工 轴 正 半 轴 为 极

42、 轴 建 立 极 坐 标 系，半 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 p=2cos仇 姓 o,y.(1)求。的 参 数 方 程；(2)设 点 在 C 上,C 在。处 的 切 线 与 直 线 l：y=V3x+2垂 百，根 据(1)中 你 得 到 的 参 数 方 程，确 定 D 的 坐 标.台 解 析(1)C 的 普 通 方 程 为 昔-1y+丁=l(0 y W 1).可 得 C 的 参 数 方 程 为 f 1+CS Z，(z为 参 数,0W/Wir).(y=sin t(2)设。(l+cos,sin).由(1)知 C 是 以 6(1,0)为 圆 心，1 为 半 径 的 上 半 圆.因 为。在 点

43、D 处 的 切 线 与 I垂 宜，所 以 直 线 G D 与 I的 斜 率 相 D L 7r同 Jan=V3故。的 苴 角 坐 标 为(l+cos?三)，即 0 g).评 析 本 题 考 查 了 极 坐 标 化 平 面 直 角 坐 标，普 通 方 程 化 参 数 方 程 的 方 法，考 查 了 数 形 结 合 思 想.8.(2013课 标 II理,23,10分)选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 已 知 动 点 夕，。都 在 曲 线 C(，为 参 数)上，对 应 参 y=zsin I数 分 别 为 t=a与/=2a(0a:2TT),M为 P Q 的 中 点.(1)求 时 的 轨 迹

44、的 参 数 方 程；(2)将 M 到 坐 标 原 点 的 距 离 表 示 为 a 的 函 数，并 判 断 M 的 轨 迹 是 否 过 坐 标 原 点.份 解 析(1)依 题 意 有 I3(2cos a,2sin ct),Q(2cos 2a,2sin 2a)，因 此 M(cos a+cos 2a,sin a+sin 2a).M 的 轨 迹 的 参 数 方 程 为.八(a 为 参 数,0。2叮).I.y=sin a+sin 2a(2)M 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 d=A/2+2COS a(0a2 IT).当 a 二 IT时,d=0,故 时 的 轨 迹 过 坐 标 原 点.9.(2013课

45、 标 I 理,23,10分)选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 已 知 曲 线 C,的 参 数 方 程 为 H=4+5cos，(,为 参 数)，以 坐 标 ly=5+5sin t原 点 为 极 点/轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 a 的 极 坐 标 方 程 为 p=2sin 0.(1)把 6 的 参 数 方 程 化 为 极 坐 标 方 程；(2)求 G 与 G 交 点 的 极 坐 标(P云 0,0这 6sin 0+16=0.(2)C2的 普 通 方 程 为/+y2-2y=0.|x2+y2-8x-10y+16=0.由 Q+/-2 y=0,解 得 匕:，或

46、 广？(y=1 ty=2.所 以 C,与 C2交 点 的 极 坐 标 分 别 为(及，(2胃).10.(2。13江 苏,21,14分)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，直 线 I的 参 数 方 程 为 二 1 l(t为 参 数)，曲 线 C 的 参 数 方 程 为 y=2t=2tan,(e为 参 数)试 求 直 线 i和 曲 线 c 的 普 通 方 程，并 ly=2tan 0求 出 它 们 的 公 共 点 的 坐 标.(y工=二=2,t+(为 参 数)，由 3+1 得 Y k l,代 人 尸 2,得 到 直 线/的 普 通 方 程 为 2.L厂 2=0.同 理 得 到 曲 线 c 的

47、普 通 方 程 为 r=2x.联 立 得 方 程 组)解 得 公 共 点 的 坐 标 为(2,ly=2x,评 析 本 题 主 要 考 查 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 及 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识 和 基 本 技 能，考 查 转 化 能 力.11.(2012课 标 理,23,1()分)选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 已 知 曲 线 C 1 的 参 数 方 程 是 二 ys(3为 参 数)，以 坐 标 y=3sin ip原 点 为 极 点,*轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 c2的 极 坐 标 方

48、 程 是 P=2.正 方 形 A8C”的 顶 点 都 在 G 上，且 4,8,C.D依 逆 时 针 次 序 排 列，点 A 的 极 坐 标 为(2,y).(1)求 点 的 直 角 坐 标；(2)设 P 为 G 上 任 意 一 点，求 户 CI+IPD 的 取 值 范 围.合 解 析(1)由 已 知 可 得 2cos,2sin-j,B 卜 cos+f)M n(l+y),C(2cs 得+),2sin 停+E),D(2 c o s(T+T)2 s i n(T+T)即 A(l,4(2)设 P(2cos w,3sin 3),令 S=IP4 I2+ITOI2+I PC I2+I PI)12，贝 l j S

49、二 16cos2(4-36sin2+16=32+20sin2.因 为 0与 sin2P这 1,所 以 S 的 取 值 范 围 是 32,52.评 析 本 题 考 查 了 曲 线 的 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程.考 查 了 函 数 的 思 想 方 法.正 确“互 化”是 解 题 的 关 键.难 点 是 建 立 函 数 s=/(w).12.(2011课 标,23,10分)选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 在 宜 角 坐 标 系”(y中，曲 线 G 的 参 数 方 程 为(a(y=2+2sin a为 参 数)，3”是 C,上 的 动 点.P点 满 足 a=2 而/点 的 轨

50、迹 为 曲 线 C2.(口 求?的 方 程；(2)在 以。为 极 点,x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，射 线 TT。二 与 与 G 的 异 于 极 点 的 交 点 为 人 与 G 的 异 于 极 点 的 交 点 为 从 求 1481.第 士/章 堂 超 多 参 数 方 程 729金 解 析（I）设 P（x,y）,则 由 条 件 知 M.由 于 M 点 在 G 上，所 以 0）e 为 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 伸 缩 变 换，简 称 伸 缩 变 换.2.直 角 坐 标 与 极 坐 标 的 互 化 把 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 作 为 极