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1、第十六章坐标系与参数方程-五年高考一考点1极坐标方程1.（2 02 1全国甲,2 2,10分）在直角坐标系X。中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=2 V 2 co s 6.将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；设 点A的直角坐标为（1,0）,例 为 C 上的动点，点 P 满 足 加=后 归,写 出。的轨迹G 的参数方程,并判断。与 G 是否有公共点.解题指导 本题第问先设出P与M的坐标，然后利用向量法将M的坐标用P的坐标表示出来，再代入曲线。的方程得户的轨迹方程G,由此写出G 的参数方程,最后利用两圆的位置关系判断。与 a 是否有公共点.2 .（2
2、02 0江苏2 1B,1O 分）在极坐标系中，已知点力34在直线/p co s3 2上，点在圆Cp=4sin 8 上（其中庐0,0V62TT）.求。,售的值；（2）求出直线/与圆C 的公共点的极坐标.解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.由 Q1CO S 三=2,得 Q=4；o=4sin 增=2,又（0,0）（即（0*）也在圆C 上，因此。=2或 0.由 匿 2s M 楙得4sin 氏o s 6=2,所以 sin 2 0=1.因为卢0 Q 4/2TT,所 以 无 二 2 迎.所以公共点的极坐标为(2鱼 W).3.(2020课标/,22,10分)在直角坐标系x Q r中，
3、曲线C的 参 数 方 程 为 二 为 参 数且#1),。与坐标轴交于4 8两点.(1)求|力稣(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.解析 因为件1,由2 -=0得U-2,所 以。与y轴的交点为(0,12)油2-3+,=0得Z=2,所以。与x轴的交点为(-4,0).故|力5|=4m.由可知，直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为W+看=1,将 产pcos 6,*psin 6代入,得直线Z 8的极-*r 1Z坐标方程为 3pcos 6-psin 0+12=0.4.(2019课 标/,22,10分)如图，在 极 坐 标 系O x中，42,0),6(四,：),。(夜
4、，当),口2刀),弧卷发益所在圆的圆心分别是(1,0),(1,曲线M是弧部，曲线店是弧诧，曲线侦是弧 也(1)分 别 写 出 例 的 极 坐 标 方 程；曲线例由例,俯，仪构成，若点户在例上，且|。闫二旧，求户的极坐标.D O A 解析 由题设可得，弧 器，虎，为所在圆的极坐标方程分别为Q=2COS&o=2sin 6,Q=-2COSe.所 以M的极坐标方程为Q=2COS 0(o 0 ：),他的极坐标方程为=2sin 9 6 ，以的极坐标方程为吟2cos 9(9 0)在曲线CQ=4sin 8 上，直线/过点44,0)且 与。例垂直，垂足为P.当 氏卓寸，求介及/的极坐标方程；当 就 在。上运动且
5、。在 线 段 上 时，求 P 点轨迹的极坐标方程.解析本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法，考查了数学运算能力和数形结合的思想方法，主要体现了直观想象和数学运算的核心素养.因为在。上,所 以 当 时，所 4s呜=2 8.由已知得|。臼=|。4co sm=2.设 为/上 除。的任意一点.在 Rt O P Q 41,p co s(0-=Of=2.经检验，点 2,9在曲线网05(。)=2上.所以，/的极坐标方程为p co s(e q)=2.设 4?,，在 Rt AO 40中 0c|=|。刈co s(9=4co s 6,即 p=4co s 9.因为。在线段。例上，且力PL O M故 6
6、的取值范围是 精 所以，户点轨迹的极坐标方程为p-4co s a a6.(2 018课 标/,2 2,10分)在直角坐标系X。中，曲 线 G 的方程为片 M+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为p+2 p co s8 3=0.(1)求 G 的直角坐标方程；(2)若 G 与 G 有且仅有三个公共点，求 G 的方程.解析 由 A=p co s&尸 p sin 0）与 圆 片2cos 8相切，则答 案1+V2解析本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.pcosO=x,psin。=y,可将直线 pcos 6+psin 故3 化为 x+j/-a=0,将 p=2
7、cos&即 p=2pcos 8化为p2=/+y2V+/=2x,整理成标准方程为（x-1）2+声1.又,直 线 与 圆 相 切,圆 心（1,0）到 直 线x+%8=0的 距 离d=匿=1,解得a=lV2,a0,.a=l+V2.方法总结这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为直角坐标方程，然后用平面几何知识求解.2.（2016课 标/,23,10分）在直角坐标系X。中，圆C的方程为（x+6）?+/=25.（1）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；直线/的参数方程是；Z；需 为参数），/与。交于4 8两点,固向=4 6,求/的斜率.解析 由 户 p co s e,*p
8、sin 8 可得圆。的极坐标方程d+12 p co s 6+11=0.（3 分）在中建立的极坐标系中，直线/的极坐标方程为失M o e R）.（4 分）设A,B所对应的极径分别为.0,将/的 极 坐标方程代入C的极坐标方程得/+12/CO Scr+ll=O.于是 q+0=-12 co s a，x?iQ=ll.（6 分）|/S|=|q-.|=J（Pi+p2）2-4p iP2=V 144co s2a-44.（8 分）由|ZI S|=/TU 得 co s2a=|,t an a=-.（9 分）所以/的斜率为半或一半.（10分）3.（2 016课 标/,2 3,10分）在直角坐标系X。中，曲 线 a 的
9、参数方程为猿:；：*也/为 参数,a0）.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G:Q=4COS 3.（1）说 明 心是哪一种曲线，并 将 a 的方程化为极坐标方程；（2）直 线&的极坐标方程为公画,其中a。满 足 t an 戊=2,若 曲 线 G 与 6 的公共点都在&上,求a.解析 消去参数f 得 到&的普通方程夕+（7-1）2=/心是以（0,1）为圆心,a 为半径的圆.（3分）将 x=p co s 6,*p sin。代 入 G 的普通方程中，得 到 G 的极坐标方程为p-2 p sin 6+l-a=0.（5分）（2）曲线Q G 的公共点的极坐标满足方程组（p2-2 ps
10、ind+1-a2=0,必公、I p =4CO S0.（6 分）若 0*0,由方程组得 lGco s-Ssin /o s 6+1-3=0,由 t an（9=2,可得 lSco s-Ssin 6b o s 6=0,从而 1-才=0,解得a=-l（舍去），或 a=L （8 分）（3=1时，极点也为&,G 的公共点，在&上.（9 分）所以a=l.（10分）考点2参数方程1.(2021全国乙,22,10分)在直角坐标系X 0/中,。C的圆心为。2,1),半径为1.(1)写出。C的一个参数方程；(2)过点尺4,1)作。C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
11、解题指导根据题意直接求解;利用直线与圆相切的性质得出数量关系式，求出直线斜率和直角坐标方程，再把直角坐标方程转化为极坐标方程.，二 1-於2.(2019课 标/,22,10分)在直角坐标系X。中，曲线。的参数方程为 一 耳 为 参 数).以坐 标 原 点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直 线/的 极 坐 标 方 程 为2pcos6+Vosin 6+11=0.求。和/的直角坐标方程；(2)求。上的点到/距离的最小值.解析本题主要考查学生对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程的掌握与运用，考查学生的运算求解能力及化归与转化思想;考查的核心素养是数学运算.因为-1 焉Ml,且 +售)2=(法所
12、以c的直角坐标方程为A=1(A*-1)./的直角坐标方程为2x+V3y+ll=0.由可设。的参数方程为；二卷涓/a为参数，上的点到/的距离为|2cosa4-2V3sina+ll|_4cos(a-2)+llV7 二 环 当心-鄂寸,4cos(a)+l l取得最小值7,故。上的点到/距离的最小值为夕.注:因为在教材中，参数方程与普通方程对应，极坐标方程与直角坐标方程对应，所以本题中的“求。和/的直角坐标方程”更 改 为“求。的普通方程和/的直角坐标方程”更合适.思路分析 通过平方相加消参可得曲线C的普通方程，利 用x与t的关系得出/-1,利用x=p c o s psin 8将/的极坐标方程化为直角
13、坐标方程.借助椭圆的参数方程、点到直线的距离公式求椭圆上的点到直线/的距离的最小值.3.（2 02 0课 标/,2 2,10分）在直角坐标系X 0 中，曲 线 G 的 参 数 方 程 为 二 为 参 数）.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线&的极坐标方程为4p co s8 16p sin8+3=0.当 时,a 是什么曲线？（2）当 桂 4 时，求 a 与 a 的公共点的直角坐标.解析 当k=l时,G：；Z 常：消去参数f 得XR=L故曲线G是圆心为坐标原点,半径为1 的圆.当 代 4 时,心：；1:：消去参数 得 G 的普通方程为+后=1.6的直角坐标方程为4x-16y+3
14、=0.由郊+；=。解得Ir；_工 1故 G 与 G 的公共点的直角坐标为（H）4.（2 018课标/,2 2,10分）在平面直角坐标系X 0 中,0。的参数方程为二:黑；（6 为参数）,过点（0,-夜）且倾斜角为a 的直线/与。交于4 6 两点.求 a 的取值范围；（2）求 中 点。的轨迹的参数方程.解 析 解 法 一:由 题 意 知 的 普 通 方 程 为 V+/=L当 正 时,/与。交于两点.当 亦 时，记 t an 户女厕/的方程为y=kx-&.因为/与。交于两点，所 以 金 1,解得上一1 或 Q1,Jl+必即 闻 辅）或 送,算综上,a 的取值范围是&解法二:由题意知的普通方程为x+
15、/=l,设直线的参数方程为 y=_&+tsina”为参数为倾斜角），代入圆的方程中得到乙2或加冶夕+1=0,由于直线与圆有两个不同交点，所以/=8sin%-40,r.sin cry,又 ae O,n）,与）/的参数方程为；：X tsina M参数3a 算设 4 8/对应的参数分别为常右心则行空，且&,办满足A 2或 Zsin a+l=O.于是 将 二 2迎 sin a。=Vsin a.又点 的坐标（X,其满足（yX =t-p&co s+a,%sina.所以点。的轨迹的参数方程是（V 2x=-sin2a,/”V2 V2 9（a 为参数2 a z）7 =-y-y c o s 2 a以下为教师用书专
16、用（1 13）1.（2017课标/理,22,10分）在直角坐标系x Q/中，直 线 4 的参数方程为I；Z 2+t，。为参数）,（X=-2+m,直线人的参数方程为y=（。为参数）.设4与人的交点为P,当A T 变化时/的轨迹为曲线 C（1）写出C 的普通方程；以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 A：/Xcos e+sin 0）-a=O,M为4与C的交点，求例的极径.解析本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程.消去参数得 4的普通方程右片AU-2）；消去参数Z77得合的普通方程幺尸的什2）.（y=做 x-2）,设 取,力 由 题 设 得+2）.消去得晨声4阴 0）.所 以
17、C 的普通方程为戈-4=4 例 0).。的极坐标方程为 p(co s20-sin?(9)=4(O 6,)-&=0故 t an 族 4 从而 co s29=,sin20=.代入,(co 一a sin =4 得/=5,所以交点加的极径为低思路分析 由参数方程直接消去参数t、m、%即 得。的普通方程.将C 的直角坐标方程化为极坐标方程,与直线4的参数方程联立，从而求得点例的极径.方法总结极坐标问题既可以化为直角坐标处理，也可以直接用极坐标求解.但要注意极径、极角的取值范围，避免漏根或增根.(x=-8+t,2.(2 017江苏2 1,10分)在平面直角坐标系X。中，已知直线/的参数方程为”一 t (f
18、 为V 2参数)，曲线C 的参数方程为=7f B(s为参数).设尸为曲线。上的动点，求点 到直线/的(y=2 V 2 s距离的最小值.解析本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,考查运算求解能力.直线/的普通方程为x-2 j/+8=0.因为点。在曲线。上，设*2 s；2 e 5),从而点户到直线/的距离出2：4岳+8|=2 4%+4”2)2 75当 5=或时,因此当点尸的坐标为(4,4)时，曲线。上 点。到直线/的距离取到最小值警.3.(2 015课标理,2 3,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系X。中，曲线C弋Z 然 g为参数，件0),其中0 兀在以O 为极点,x 轴正半轴
19、为极轴的极坐标系中，曲线G：0=2 sin e,C3.p=2 j3 cos 0.(1)求 G 与&交点的直角坐标；(2)若 a 与 G 相交于点4 G 与 a 相交于点8,求|力用的最大值.解 析(1)曲线G 的直角坐标方程为V+/-2*0,曲线G 的直角坐标方程为V+7-2 8 产0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-2 V 3x=0,解 需 之:或 V332 所 以 G 与&交点的直角坐标为(0,0)和住,|)曲 线 G 的极坐标方程为再出g R,炉 0),其中0zn.因此力的极坐标为(2 sin a,a),8的极坐标为(2 co s a,a).所以|/4S|=|2 sin a-2 7
20、5co s 司=4卜 in当 F 招时M 向取得最大值，最大值为4.o4.(2 015陕西理,2 3,10分)选修4-4:坐标系与参数方程(x=3+1t,在直角坐标系X。中,直线/的参数方程为 62 为参数).以原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,。的极坐标方程为p=2 V 3sin e.(1)写出。的直角坐标方程；(2)P为直线/上一动点，当户到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标.解析 由夕=2bsin 6,得 p=2 V 3p sin 3,从而有 x+y=2.3y,所以V+(y-6 尸=3.设 3+1 亭)，又 G(0,V 3),贝力切=J(3+2 2 +(yt-V 3)2=V
21、 t2+12,故 当 4 0 时也取得最小值，此时/点的直角坐标为(3,0).5.(2 015湖南理,16,6分)选修44:坐标系与参数方程已知直线Zx=5+泉，为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲y=V3+-t线。的极坐标方程为=2cos e.(1)将曲线。的极坐标方程化为直角坐标方程;设点酎的直角坐标为(5,6),直线/与曲线。的交点为4 8,求|小卜|限的值.解 析(l)p=2cos e 等价于 p=2pcos。.将+Jp co s仇x代入即得曲线。的直角坐标方程为戈+4-2 4 0.(x=5+-t,_将 2代 入 得y+5百+18=0.设这个方程的两个实根分别为
22、 点则由参数ty=V 3+-t的几何意义即知,|修勺|例取但可=18.6.(2014课 标/理,23,10分)选修4-4:坐标系与参数方程已 知 曲 线 用+9=1,直 线 心Z龙；”为参数).(1)写出曲线。的参数方程，直线/的普通方程；过曲线。上任意一点户作与/夹角为30苗直线，交/于点4求|外|的最大值与最小值.解析 曲 线C的 参 数 方 程 为 二 葭 需(6为参数).直线/的普通方程为2x+j/-6=0.(2)曲线。上任意一点尺2cos 6,3sin 6)到/的距离为片?V 54 co s 8+3sin 8 6|.则 侬=磊 等|5sin(6+在6,其 中a为锐角，且tan的*当s
23、in(e+a)=-l时,|以|取得最大值,最大值为等.当sin(e+a)=l时,|%|取得最小值,最小值为等.7.(2014课 标/理,23,10分)选修4 4:坐标系与参数方程在直角坐标系X。/中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆。的极坐标方程为=2cos 8,失。弓(1)求C的参数方程；设 点。在。上,C在。处的切线与直线力-6 x+2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定。的坐标.解 析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(01).可 得C的 参 数 方 程 为Z:i：cost，为参数,ovwn)(2)设Xl+cos tsin。.由(1)知。是 以1,0)为圆
24、心,1为半径的上半圆.因为C在 点。处的切线与/垂直，所以直线G D与/的斜率相同,tan匚娟,吟.故D的直角坐标为(1+cos y,sin 5即(I卷)评析本题考查了极坐标化平面直角坐标，普通方程化参数方程的方法，考查了数形结合思想.8.(2013课标理23,10分)选修4:坐标系与参数方程已知动点8 Q都 在 曲 线 域 二 蓝 番 。为参数)上，对应参数分别为b a与2 a(0a2 n),M-ZioiiiL为。的中点.(1)求修的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有 R2cos cr,2sin a),。2cos 2a
25、,2sin 2a),因此/W(cos a+cos 2a,sin a+sin 2a).例的轨迹的参数方程为=sina+sin2a 9为参数，0a2n).M点到坐标原点的距离/y/x2+y2-V2+2cosa(0 v a如).当时，心0,故例的轨迹过坐标原点.9.(2013课 标/理,23,10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线a的 参 数 方 程 为Z s+5sS1(f为参数),以坐标原点为极点,*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为p=2 sin 8.（1）把 G 的参数方程化为极坐标方程；求 G 与 G 交点的极坐标（小 0,0ve 2 n）.解析 将1；：5+然;消去
26、参数K化为普通方程（8 4）2+3-5）2=2 5,即 G：x+y-8x-10yt-16=0.将俨=p co s。，付 y=psind代入 z+y-8x-10y+16=0 得p-8p co s 0-lO p sin 6+16=0.所 以Ci的极坐标方程为p2-8p co s 0-lO p sin 6+16=0.（2）G 的普通方程为x+y-2 y=0._|_ y2 _8 x_1 0 y+16=0,lx2+y2-2 y=0,解 得 仁:蝇 受所 以 G 与 G 交点的极坐标分别为（近 W）,（2 弓）10.（2 013江苏,2 1,14分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中,直 线/的 参 数
27、方 程 为 为 参 数）,曲线C 的 参 数 方 程 为 Z 猾 鬻 （8 为参数）.试求直线/和曲线。的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.解析 因为直线/的参数方程为Z I?为参数），由x=t+l得 Z=x-1,代 入 尸 2 f,得到直线/的普通方程为2 x-y-2 0.同理得到曲线C 的普通方程为/=2 x联 立 得 方 程 组 解 得 公 共 点 的 坐 标 为（2.2），C 1）.评 析 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及直线与抛物线的位置关系等基础知识和基本技能，考查转化能力.11.（2 012 课标理,2 3,10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线6 的参数方程是匕Z
28、,鬻”为参数）,以坐标原点为极点,*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 a 的极坐标方程是=2.正方形A B C D的顶点都在G 上，且 48,。,。依逆时针次序排列，点力的极坐标为（2,学.（1）求点48,的直角坐标；设P为G上任意一点，求|以+|阳 知 图，|奴才的取值范围.解 析 由 已 知 可 得42cosm,2sin.,6（2cos +）,2sin +?），C（2cos（三+TT）,2sin（+TT）J （n 3n）c.（n 3n）”,O 2cos+5，,2sinq+,，即 A1,V3）,S（-V3,1）,O（-1,-V3）,ZXV3,-1）.设 a2cos 0,3sin 0）,令
29、 S=|以 +|罔z+l/f+l图?厕 S=16cosV+36sin2p+16=32+20sinV.因为OVsin2gl，所以S的取值范围是 32,521评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确 互化 是解题的关键.难点是建立函数5=/（12.（2011课标,23,10分）选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系X。中，曲线G的 参 数 方 程 为 羡 山/。为参数）,M是&上的动点/点满足而=2丽/点 的 轨 迹 为 曲 线Q.求G的方程；在 以。为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线内三与G的异于极点的交点为A,与G的异于极点的交点为民求|力稣zr V、=2
30、cosa,解析 设 网 处）,则 由 条 件 知 传（鸿）.由 于 例 点 在a上，所 以 心 即/g=2+2sina.（x=4cosa,（y=4+4sina.从 而G的 参 数 方 程 为Z$蔡E/a为参数）.曲 线G的极坐标方程为p=4sin&曲 线G的极坐标方程为p=8sin 9.射 线 失 当G的交点力的极径为.=4 s in*射线与Q的交点8的极径为.=8 s吗所以|45|=|02-01|=2 次.评析本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义，属中等难度题.13.（2 016课标/,2 3,10分）在直角坐标系xQ/中，曲线G 的 参 数 方 程 为=篇 七为参数）以坐标原
31、点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，曲 线 G的极坐标方程为p sin（8+：）=2 鱼.（1）写出G 的普通方程和G 的直角坐标方程；（2）设 点户在G 上，点 Q 在 G 上，求 的 最 小 值 及 此 时。的直角坐标.解 析（1）G 的普通方程为+/=1.G 的直角坐标方程为*+%4=0.（5 分）（2）由题意，可设点。的直角坐标为（我 co s a,sin a）.因为&是直线，所 以 的 最 小 值 即 为 2 到G 的距离戊中的最小值帽。）：久登卜in （a+g）-2|.（8 分）分）三年模拟A组考点基础题组考点1极坐标方程1.（2 0 2 1 河 南 顶 级 名 校
32、3 月模拟,2 2）在平面直角坐标系x Q/中，曲 线 G 的参数方程为（仁 蔡 鬻（8 为参数），已知点*0）,点。是曲线G 上任意一点，点M 为叩的中点,以坐标原点为极点,X 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹G 的极坐标方程；已知直线/片依与曲线G 交于4 8 两点，若 犷=3荏，求左的直解 析（1）设自2 co s e,2 sin,Mx,力 由于点M 为P Q 的中点，所以2cos0+4%=-2-2sin0.八y=sin。,2 +co s0,整理得（x-2 y+/=L 即戈+/-4*+3=0,化为极坐标方程为g-4p co s 0+3=0.设直线/片版的极坐标方程为公供正
33、0/(0,旬,用.,旬,因为函=3荏，所 以4 OA=3 OB,即 4/71=3/72.联 立 优 4广。S。+3=,整理得户d co s心+3=0.(Pi+P2 =4co sa,贝“P1P2 =3,解得co s 所以尸及南生总瓦-1嗡 厕 狂 士 手2.(2 02 1四川成都二模,2 2)在直角坐标系X 0 中，已知曲线C 的 参 数 方 程 为 二 为参数)，直线/的方程为x+6 片6=0.以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线。和直线/的极坐标方程；(2)若 点 在 直 线/上 且 左 0,射 线。户与曲线。相交于异于。点的点。求怒的最小值.解析 由曲线。的参数
34、方程得曲线。的普通方程为(x-lF+j co s+sin/4由极坐标与直角坐标的互化公式产p co s&尸 p sin 8,得曲线。的极坐标方程为z?=2 co s e.由题意得直线/的极坐标方程为p co s 6I+V 3p sin 6-6=0,-l+2 sin(2 9 爱)；0 ,:.2 d+l.-1sin(2 0+2 6 6 6 2 6/当 sin(2 8+Jj=l,即时，震取得最小值2.6|O Q|思路分析 消去曲线。的参数方程中的参数得曲线c 的普通方程，根据直角坐标与极坐标的互化公式求曲线C 和直线/的极坐标方程;(2)设 出 8 Q 的极坐标，分 别 表 示 出 与 Q Q,进即
35、 p sin(8+,)=3.设 点。的极坐标为(M，点 Q 的极坐标为3,以其中001由知I。中 所 嬴 益 前 Q Q=.=2 c o s a.0P|=&=6_ _ 60Q p2 2 cos20+2 V3 snOcosO l+co s2 0+V 3sin 2 06而求出盟5的最小值.考点2参数方程1.(2021甘肃第二次高考诊断考试,22)在直角坐标系X 0中，点力是曲线G：(x-2)2+/=4上的动点，满足2万=万?的点8的轨迹是G.(1)以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线Q G的极坐标方程；直 线/的 参 数 方 程 是 为 参 数)，点。的直角坐标是(一IQ),
36、若直线/与曲线G交于例/V两点,当线段|如,|例/|,|成成等比数列时，求cos a的值.解 析(l)U-2)2+y=4即为V+/-4A=0,把寸+/=/，4 pcos 0,应的参数分别为&必，则有|tx+t2=4cosa,(也=3,当线段|例,|例2,|小/|成等比数列时,应有怙&|=|&-初2,即16cos匕-12=3,cos?a=!|,所 以cosV 15-思路分析根据极坐标与直角坐标的互化公式得到曲线G的极坐标方程，再结合20B=0A得到曲线&的极坐标方程;(2)将直线/的参数方程代入曲线G的直角坐标方程彳导到关于f的一元二次方程，根据直线参数方程中参数f的几何意义以及等比数列构造关于
37、cos a的方程,从而求得cos a.2.(2021安徽合肥二模,22)在直角坐标系X。中，曲 线&的参数方程为 2 t ”为(y=V2(t5+f4)参数）.在以原点为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲 线 G的极坐标方程为p sin（8-；）-2 a=0.（1）求曲线G 的普通方程和曲线G 的直角坐标方程;若曲线G 与曲线G 交于点力M-2,2）,求焉-焉 的值.（x=（C 4-f 4）f-/2 x =C 4-t-4解 析 由 2 匕 得：1（y=V 2（t4 +f 4）（五y=t4 +t 4,两式平方相减得-2 =4,即4-=1.L o L_11 _ v2 Y2 又.*近/+E）2
38、 2 壶（0）,二曲线G 的普通方程为高彳=1（户2 夜）.O /曲线 G：/9sin（0-：）-2 V =0,p sin 0-pcos 6-4=0,即 y-x-4=0,.曲线 G 的直角坐标方程为x-y+4=0.%=-2 +设曲线G 的参数方程为k 为参数）.2 2代入曲线G 的直角坐标方程得（2+孝t）-4（-2+y t）=8,即 3人2 0立打40二 0./二32 00.设4 8 对应的参数分别为Zi,&,则&+&二带之右&二冬|赢j -瑞 j卜扃1 I 52 H t l I I|5|一|卬世|_ I tx-t2 I _ 1+2）2-4”2_竽_ 遮一 l|t ll|t2|l 二 向1
39、世I-二 孽，鼻MA MB 5 火VS5方法点拨 常见的消元方法有:加减消元法、代入消元法、三角消元法、平方消元法、代数恒等式消元法.B组综合应用题组时间：50分 钟 分值：60分解答题（共 60分）（%=工1.（2 02 1九师联盟4 月联考,2 2）在平面直角坐标系X。中，曲线。的参数方程为；se 3（y=-t an 0为参数）,以原点。为极点,X 轴的正半轴为极轴建立坐标系，直线/的极坐标方程为p-CO S（0+力 L（1）求曲线。的普通方程和直线/的直角坐标方程；若直线/交曲线。于 4 8 两点，交 x 轴于点只求|以+|阳 2 的值.解 析（1）由曲线。的参数方程“一 浮（8 为参数
40、），消去参数&得普通方程为V-4A1.（y=,t an。因为 p co s（。+所以 p co s 6t o sm-p sin /呜=1,即 号 以 坦 詈 将 p co s 失：x,p sin 6y代 入 得%苧*1,即x-V3 y=2.由于直线/与x 轴的交点坐标为（2,0）,x=_ 2o +.V3 t.,1 2”为参数），代入戈-4/=1 得至I J，-86-12=0,设 4 8 对应的参数分别为Z1,也所 以&+&=8我,&=-12,贝 IJ|例 2+|网=4+达=（Zi+&J-2 必=2 16.2.（2 0 2 1 宁夏银川二模,2 2）在 平 面 直 角 坐 标 系 x Q/中，直
41、 线/过 定 点 网3,0）,倾斜角为X=t H ,；为参数）.以原点。为极点,x 轴的正半轴为极y 2 2 t轴建立极坐标系.（1）求曲线c 的极坐标方程；已知直线/交曲线c 于 例/v 两点，且|户询则哼求/的参数方程.x=t +2 y=（t +步（4 +2+*2 击 4,?-（2 叼2=4,即 -4y=4,又仁制,声夕4内 注4.即曲线。的极坐标方程为p cos/0-4/92sinz9=4.%=t+(解 析 由 t；得y=2-I 设/的 参 数 方 程 为:s：；csa为参数），代 入 V-4/=4 整理得（co s2 a_ 4sin 2 a*+6/co sa+5=0,设 例 A/对应的
42、参数分别为立,&则攻=3瓦1届，则mM N*即 b 用解得 CO S O=y,0 a ，CO S 户 M 户*（X=3+y t,故/的参数方程为 万2（f 为参数）.I V 2卜=于3.（20 21 山 西 晋 中 二 模,2 2）在 直 角 坐 标 系 X。中，直 线/的 参 数 方 程 为；:竽*/苗/小 心 为 参 数。（0弓）以坐标原点。为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半 圆 C 的极坐标方程为=2 sin&生 片）（1）求半圆C 的参数方程和直线/的普通方程；（2）直 线/与 x 轴交于点4 与 _/轴交于点8,点。在半圆。上,且直线C D 的倾斜角是直线/的倾斜角的2 倍
43、,必6。的面积为1+b，求 a 的值.解析 由 0=2 sin&得 d=20 治&将父+=2,尸 p sin 6 代入,得半圆。的直角坐标方程为y+j/=2 y,；生（：,午），片 p sin 0=2 sin”金（l,2 ,A=p co s 0=2 sn Se o s 失 sin 2 a（-1,1）,，半 圆 C 的直角坐标方程为f+0 l）2=l（l H 2）.由 sin =y-le（0,l,co s 0 二法（-1,1）知，可取 约（0,TI）,二半圆C 的参数方程为；二:翼 in g（其 中 0 为参数，衿（0万）将直线/的参数方程消去参数f,得直线/的普通方程为*Man a-2,g（0
44、,g.由题意可知/（高-2）,根据圆的参数方程中参数的几何意义,结合已知条件，可得0 二 2。,所以 ZXco s 2 a,l+sin 2 a),则 点。到直线/8 的距离心|tanacos2a-(l+sin2a)-2|J l+tan2a=|sin ocos 27-cos ctsin 2a-3cos=sin cr+3cos a,又|曲=2sina&ABD 的面积 S=|z4S|,cZ=l+=l+/3,tan a=V3.X ae(0,).a=j.思路分析利用互化公式先把半圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程,由直线的参数方程，消去参数。得到直线的普通方程乂2）求出4 日。的坐标，利用点
45、到直线的距离公式得到边力8上的高，利用两点间的距离公式得到力稣然后用a 表示出T 8。的面积，进而求彳 导 a 的值.4.（2 0 2 1 贵州贵阳适应性测试,22）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，曲 线 G 的参数方程为?I rsi na为参数），以。为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G：p=4cos 2 a 如图所示）.（1）若广声,求曲线G 的极坐标方程，并求曲线G 与&交点的直角坐标;（2）已知曲线G 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线G 与 G 交于不同的四点4 8。刀,求 矩 形 面 积 的 最 大 值.解 析（1）:广 V I,，+/=2,又、+声 片曲线G
46、 的极坐标方程为p=V2,(p 2=7 42c.os26,c o s 2%i n c o s G V53，当 co sa:苧时,sin 6H士/当co s(9=1 时,sin 0=士/分别代入x=V2cos0,y =V2sin0,可得四个交点的直角坐标分别为律，亨）,（生）,（4,当）,（-日,一苧）（2）由（1）知曲线G 的极坐标方程为p=r.由 p =4co s2 0,得 c o s曲线&关于原点和坐标轴对称，二S 矩 形 力 sc。二 4|/co s 0|/sin 0|=4/|co s ain 6=2 r|sin 2/42-4 x（-12）=8,|/|力。=|&同=12,而N 1-做-8
47、。16所以 一IAPMQI 12 3,6.（2019河 南3月适应性测试,22）在平面直角坐标系X。中，曲线&的参数方程为二为参数）,以 原 点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线G的极坐标方程为2P msinO+cosO,求G的普通方程和G的直角坐标方程；若G与G交于R Q两点，求-+户的值.kOP kO Q解析 由 二 二”为参数）消去参数,得 是%即G的普通方程为x=y.（2分）2由 所 菽 际？得 3 e+pcos内2,将 Ampcos 0,y=psr 9代人得/77j/+x-2=0,即G的直角坐标方程为x+沙-2=0.（5分）由 仁 二 为 参 数）可 得+火 由），故4 f的几何意义是抛物线4=）上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由知，当m=0时,G m 2,则G与G只有一个交点，故/7;*0.把；=:严为参数）代入x+s/-2=（得4加+-2=0,设此方程的两根分别为则&+&=-白,衣&=-白，4m z m1所 +=+3=i（10 分）k0P k0Q 4 tl 4t2 4加 4x（-券）8