《2023年高考理科数学全真模拟卷八（全国甲卷乙卷通用）解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考理科数学全真模拟卷八（全国甲卷乙卷通用）解析版.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年 高 考 数 学 全 真 模 拟 卷 八（全 国 卷）理 科 数 学（考 试 时 间：120分 钟；试 卷 满 分：150分）注 意 事 项：1.答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名、班 级、考 号 等 信 息 2.请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I卷（选 择 题）一、单 选 题（本 题 共 1 2小 题，每 小 题 5 分，共 6 0分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求）1.已 知 集 合 4=卜|/-2-340,8=|2%41,则 人 口 8=（）A.1,1 B.（2,1 C.1,3 D.（2,3
2、【答 案】D【分 析】先 利 用 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 化 简 集 合 A,再 利 用 并 集 的 定 义 求 解 即 可.【详 解】=x|x2-2x-3 0=x|-l x 3,又 B=d-2x41,，A o B=x|-2x3.：D.2-ni2.已 知-=i（m,”e R）,贝 lj m=（）1+nilA.3 B.-3 C.-2 D.2【答 案】D【分 析】根 据 复 数 的 运 算 和 复 数 相 等 的 概 念 求 解.2 n i【详 解】由；-7=iO,cR）可 得 2 i=-m+i,所 以 二 解 得 一 二，所 以 切=2,故 选:D.3.采 购 经 理 指 数（P
3、MI）,是 通 过 对 企 业 采 购 经 理 的 月 度 调 查 结 果 统 计 汇 总、编 制 而 成 的 指 数，它 涵 盖 了 企 业 采 购、生 产、流 通 等 各 个 环 节，包 括 制 造 业 和 非 制 造 业 领 域，是 国 际 上 通 用 的 检 测 宏 观 经 济 走 势 的 先 行 指 数 之 一，具 有 较 强 的 预 测、预 警 作 用.制 造 业 PMI高 于 50%时，反 映 制 造 业 较 上 月 扩 张：低 于 5 0%,则 反 映 制 造 业 较 上 月 收 缩.下 图 为 我 国 2021年 1月 一 2022年 6 月 制 造 业 采 购 经 理 指
4、数（PMI）统 计 图.1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1月 2月 3月 4月 5月 6月 2021年：2022年根 据 统 计 图 分 析，下 列 结 论 最 恰 当 的 一 项 为（）A.2021年 第 二、三 季 度 的 各 月 制 造 业 在 逐 月 收 缩 B.2021年 第 四 季 度 各 月 制 造 业 在 逐 月 扩 张 C.2022年 1月 至 4 月 制 造 业 逐 月 收 缩 D.2022年 6 月 PM I重 回 临 界 点 以 上，制 造 业 景 气 水 平 呈 恢 复 性 扩 张【答 案】D【分 析】根 据 题 意，将
5、各 个 月 的 制 造 业 指 数 与 50%比 较，即 可 得 到 答 案.【详 解】对 于 A 项，由 统 计 图 可 以 得 到，只 有 9 月 份 的 制 造 业 指 数 低 于 5 0%,故 A 项 错 误；对 于 B 项，由 统 计 图 可 以 得 到，1 0月 份 的 制 造 业 指 数 低 于 5 0%,故 B 项 错 误；对 于 C 项，由 统 计 图 可 以 得 到，1,2 月 份 的 制 造 业 指 数 高 于 5 0%,故 C 项 错 误；对 于 D 项，由 统 计 图 可 以 得 到，从 4 月 份 的 制 造 业 指 数 呈 现 上 升 趋 势，且 在 2022年
6、6月 P M I超 过 5 0%,故 D 项 正 确.故 选：D.4.已 知 圆 G：+/一 4 x+2 ay+/+3=0 和 圆 C2：x2+y2+2 x4ay+4a2 1=0,则 圆 G 与 圆 c?的 公 切 线 的 条 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】D【分 析】求 出 两 圆 的 圆 心 和 半 径，根 据 圆 心 距 大 于 半 径 之 和，得 到 两 圆 外 切，故 公 切 线 条 数 为 4.【详 解】两 圆 的 标 准 方 程 分 别 为（x-2）2+（y+4=1和（x+i y+（y-2 a）2=2,圆 心 分 别 为 G（2,-a）,G（T，勿），半 径
7、分 别 为 4=1，4=夜，圆 心 距|C|=J（T-2）2+2 a-（-a）于=3/l+a2 3,故 2 6|4+2，所 以 圆 与 圆 C?外 离，所 以 圆 与 圆 C?有 4 条 公 切 线.故 选：D5.有 5 名 学 生 全 部 分 配 到 4 个 地 区 进 行 社 会 实 践，且 每 名 学 生 只 去 一 个 地 区，其 中 A地 区 分 配 了 1名 学 生 的 分 配 方 法 共（）种 A.120 B.180 C.405 D.781【答 案】C【分 析】先 选 一 名 学 生 分 配 到 A地，剩 下 的 4 名 学 生 在 其 他 三 个 地 区 任 选 一 个，由 乘
8、 法 原 理 可 得.【详 解】由 题 意，先 选 一 名 学 生 分 配 到 A地,剩 下 的 4 名 学 生 在 其 他 三 个 地 区 任 选 一 个，试 卷 第 2 页，共 18页方 法 数 为 5 x 3,=4 0 5,故 选：C.6.设 函 数 x）=2 h i r-g V+x的 图 像 在 x=l 处 的 切 线 为/,则/在 x 轴 上 的 截 距 为（）,3 八 3 八 3 3A.B.-C.-D.4 4 2 2【答 案】B【分 析】先 求 导 得 到 切 线 斜 率，写 出 切 线 方 程，再 求 出 x 轴 截 距 即 可.7 1 1【详 解】因 为 r（x）=：x+l,所
9、 以 1=2,/（1）=3/的 方 程 为）-5=2（X 1）,即），=2-彳 3,令 2工-3彳=0,解 得 了 二 3小 则/在 入 轴 上 的 截 距 为 39.故 选：B2 2 4 47.中 文“函 数”一 词，最 早 是 由 近 代 数 学 家 李 善 兰 翻 译 的，之 所 以 这 么 翻 译，他 给 出 的 原 因 是“凡 此 变 数 中 函 彼 变 数 者，则 此 为 彼 之 函 数”，也 即 函 数 指 一 个 量 随 着 另 一 个 量 的 变 化 而 变 化.下 列 选 项 中，既 是 奇 函 数，又 在 定 义 域 上 是 增 函 数 的 是（）1 2；x【答 案】A【
10、分 析】利 用 指 数 函 数，塞 函 数 和 三 角 函 数 的 奇 偶 性 和 单 调 性 求 解 即 可.【详 解】选 项 A：令/（X）=V|.1 2-r-1 1-2*7T，/Z 十 1/十 1 1十 Z因 为 f（x）=V 且 2,在 x e R 上 是 增 函 数，所 以 A i 在 x e R 上 是 减 函 数，/0）=1-9 7 在 犬 右 1上 是 增 函 数，故 y=既 是 奇 函 数，又 在 定 义 域 上 是 增 函 数，A 正 确；3 3选 项 B：丫=户 的 定 义 域 为 0+8），由 募 函 数 的 图 像 和 性 质 可 得 y=.在 10,+8）上 单 调
11、 递 增，故 y=f 不 具 有 奇 偶 性，在 定 义 域 上 是 增 函 数，B 错 误；选 项 C：y=2cos卜+?=-2 s i n x,定 义 域 为 x e R,由 正 弦 函 数 的 图 像 和 性 质 可 得 y=_ 2 sin x是 奇 函 数，在-+2 E，5+2祈）&e Z 上 单 调 递 减，在 1+2 E，+2 E）k e Z 上 单 调 递 增，C 错 误；选 项 D：y=-,由 幕 函 数 的 图 像 和 性 质 可 得=-,是 奇 函 数，在 定 义 域 X X（7,0）（0,物）上 不 单 调，D 错 误；故 选：A8.如 图 所 示 的 形 状 出 现 在
12、 南 宋 数 学 家 杨 辉 所 著 的 详 解 九 章 算 法 中，后 人 称 为“三 角 垛”.“三 角 垛”最 上 层 有 1个 球，第 二 层 有 3 个 球，第 三 层 有 6 个 球，.如 图 所 示 的程 序 框 图，输 出 的 S 即 为 小 球 总 数，则 S=（）【答 案】BD.120（分 析 设 第 层 小 球 个 数 为，根 据 程 序 框 图 可 知，输 出 的 S=q+/+%+4+为+4，求 出 各 个 数 即 可 得 到.【详 解】设 第 层 小 球 个 数 为 凡，由 题 意 可 知，2）.根 据 程 序 框 图 可 知，输 出 的 S=%+%+a3+/+%+%
13、，又 q=l,生=3,3=6,a4=a3+4=10,%=%+5=15,ab=a5 4-6=21,所 以 5=1+3+6+10+15+2 1=56.故 选：B.9.己 知 函 数 力=罢 福+竺 三 产 图 象 的 对 称 中 心 为（。方），则 f（x）的 零 点 个 数 为（）A.2 B.I C.4 D.3【答 案】D【分 析】先 证 明/（2+x）-“为 奇 函 数，结 合 条 件 求。，b,再 利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性，结 合 零 点 存 在 性 定 理 确 定 函 数/（x）的 零 点 个 数.【详 解】因 为 司=卫 4+竺 里 r=，+、+，+。，所 以 7
14、X-2x x-4 X x-2 X-4f（4-x）=-i-F+a=-f（x）+2a,Sfl f（4-x）+f（x）=2 a,所 以 f（2-x）+f（2+x）=2a,g p/（2+x）-a=-/（2-x）-a 所 以 函 数 2+x）-a 为 奇 函 数，其 图 象 关 于 原 点 对 称，所 以 x）图 象 的 对 称 中 心 为（2,“），则 a=2,b=2,试 卷 第 4 页，共 18页故 人 加 三+占+2,则 小）=-;总 厂 m 7。，则“X）在（8,0）,（0,2）,（2,4）,（4,用）上 单 调 递 减，因 为-1）=4 0,所 以“X）在（f 0）上 存 在 1 个 零 点.
15、因 为 川）=沁，/|卜-|0,所 以/（X）在（0,2）上 存 在 1个 零 点，因 为 3）=：0,/即=-含，所 以 小）在（2,4）上 存 在 1个 零 点，当 x 4时，-0,力 0,匕，所 以 x）0恒 成 立，所 以 函 数“X）在（4,+8）上 没 有 零 点，故 x）的 零 点 个 数 为 3,故 选：D.10.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，抛 物 线。:/=2 4（。0）的 焦 点 为 尸 是（7上 位 于 第 一 象 限 内 的 一 点，若 C 在 点 尸 处 的 切 线 与 x 轴 交 于 M 点，与 轴 交 于 N 点，则 与 归 周 相 等 的 是（）A
16、.MN B.FN C.PM D.|O7V|【答 案】B 2 2【分 析】设 卜 0）,求 出 阳 专+会 得 到 附=|网|叫 PF PM=M N,即 得 解.【详 解】解：如 图，设 尸，,鲁（。0）,由 丫=三，得=土，（2pJ 2p p所 以 C 在 点 尸 处 的 切 线 方 程 为），-=q（），从 而 例 他 2 P p J 2 p）2根 据 抛 物 线 的 定 义，得 吐|=袅+与；Zp 2./2 X 2又 尸%）,网=勺 1 制=与+勺 所 以 附=网 3|；由（右 0）,N（0,-券，得 用 是 P N 的 中 点，则 W P N,从 而 P F P M=M N.故 选：B.
17、1 1.如 图，在 正 三 棱 台 A B C-A S C中，AB=2,A耳=4,A4,=245.M,N 分 别 是 A.直 线 MN 平 面 A B C,直 线 AB1与 B Q垂 直 B.直 线 MN 平 面 A B C,直 线 与 8 G 所 成 角 的 大 小 是 TC.直 线 M N与 平 面 ABC相 交，直 线 AB1与 B q 垂 直 D.直 线 M N与 平 面 ABC相 交，直 线 A g与 8 a 所 成 角 的 大 小 是 三【答 案】B【分 析】取 8片 中 点),利 用 平 面 M M)平 面 A B C,可 证 直 线 M N/平 面 A8C面 面 平 行，取 A
18、 B中 点 F,B 中 点 E,可 知。f/1旦，DE/BC,再 利 用 余 弦 定 理 计 算 求 解 即 可.【详 解】取 B瓦 中 点。，连 接)例，D N,由 题 意 可 知，DM/AB,DN/BC,所 以 平 面 M N D H 平 面 ABC,所 以 直 线 MN 平 面 ABC,取 A 8中 点 尸，B C中 点 E,A C中 点 G,连 接 P E,E F,FG,GC,BfF,易 知 DFHAB、,DEHBC,所 以 直 线 D E 与 直 线 D F 所 成 角 即 为 直 线 叫 与 B G 所 成 角，在 等 腰 梯 形 A B B A中，AB=2,4 q=4,e=2 后
19、，可 得 的=2近，4 尸=后，F,。分 别 为 AB,8月 中 点，所 以 DF=；AB、=出，同 理：DE=S,在 等 腰 梯 形 F G C 4中，F G=l,耳 G=4,B、F=可 得 EF=，试 卷 第 6 页，共 18页在 A E F 中,DE=DF=,EF=后,由 余 弦 定 理 可 得：侬 皿:手“小 正 竺,2DEDF 2x7 2所 以 N E O/=事，即 直 线 O E 与 直 线。尸 所 成 角 的 大 小 是 三，因 此 直 线 A片 与 8 c 所 成 角 的 大 小 是 三，故 选：B.C12.设 x=0.03,y=21nl.01,z=lnl.l,则 居 y,z
20、的 大 小 关 系 为()A.z x y B.x y zC.x z y D.z y x【答 案】A【分 析】若 1=卡，贝！lx=3/，y=21n(l+/)，z=ln(l+。，构 造/=y-x、并 并 利 用 导 数 研 究 在 0 vrv 1上 的 单 调 性，即 可 判 断 大 小 关 系.3 1 1【详 解】由 而 2 好+而)，z=ln(l+d，若=而 则 x=3/，y=21n(l+产),z=ln(l+r),令/=y-x=21n(l+r)-3/且 贝!|/)=4 _ 6/=2+*2)所 以/在(0,1)上 递 减，故/()=(),即 X,令 g(f)=z-x=ln(l+f)-3/且 0
21、，1,则 gt)=-6f 在(0,1)上 递 减，1+rg(t)=Z-X若 g=0,则 J=6f,可 得 姮 二 2,故(0,理 二 2)上 g)0,g(r)递 增，1+r 6 6而 0J_g(0)=0,10 6 6所 以 z-x 0,即 z x,综 上，zxy.故 选：A第 n 卷(非 选 择 题)二、填 空 题(本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分)13.己 知 向 量 a,b 满 足 M=1,b=0,6),a-(a+2/?)=3,贝 l j 向 量 a 与 匕 的 夹 角 为.【答 案】|【分 析】由。(a+23)=3和 忖=1,求 得 结 合 向 量 的 夹 角 公
22、式，即 可 求 解.【详 解】由 G(a+2b)=3,可 得”.“+2 万=3,因 为|=1,所 以“必=1,又 由 6=(1,6),所 以 卜=2,nC lb 1 jr-jT设 向 量。与 b 的 夹 角 为 凡 贝 lJc s=R 1 M=5,所 以。.故 答 案 为：y14.设 x,y 满 足 约 束 条 件 贝”=x+2y的 最 大 值 为【答 案】6【分 析】作 不 等 式 组 所 表 达 的 可 行 域，数 形 结 合 即 可 求 出 结 果.max=6.故 答 案 为：6.15.已 知 函 数/(力=$皿(蛆+必(。,0 6 乃)，且*)与 f(x+$均 为 偶 函 数，则。的
23、最 小 值 是.试 卷 第 8 页，共 18页【答 案】3【分 析】由/(x)为 偶 函 数 求 出 凡 再 由/*+?)为 偶 函 数 探 求 出。的 关 系 式 即 可 求 解 作 答.【详 解】因 函 数 x)=s in x+e)是 偶 函 数，则。=S r+m，%w Z,又 0 9 乃，贝!|k=Q,(p=,2/(x)=sin(ox+y=cos cox,此 时，/(x+y)=c o s(0,因 此，华=4万，k e N*,即。=3 3 k e N*,于 是 得 0ms=3,所 以。的 最 小 值 是 3.故 答 案 为：31 6.已 知 对 棱 相 等 的 四 面 体 被 称 为“等
24、腰 四 面 体”，它 的 四 个 面 是 全 等 的 锐 角 三 角 形.在 等 腰 四 面 体 A-8 C D 中，A B=A C=3,BC=4,则 该 四 面 体 的 内 切 球 表 面 积 为 47r【答 案】y【分 析】首 先 将 四 面 体 补 成 一 个 长 方 体，求 得 长 方 体 棱 长，从 而 求 得 四 面 体 的 体 积，再 根 据 等 体 积 的 方 法，运 算 割 补 法，求 得 内 切 球 的 半 径，求 得 答 案【详 解】如 图 示，将 等 腰 四 面 体 A-B C D补 成 一 个 长 方 体，x2+y2=6设 AF=x,A E=y,A H=z,贝/z 2
25、+y 2=9x2+z2=9x=2夜,解 得，y=22,Z=1故 四 面 体 A-B C D的 体 积 为 V=2夜 x2&x l-4 x；x g x 2应 x2应 xl=g,设 该 四 面 体 的 内 切 球 的 半 径 为，贝！JV=gx4xS A scX r,而 S A gc=g 4x，32-22=2 6,故|=；x 4 x 2石 x r,r=,则 该 四 面 体 的 内 切 球 表 面 积 为 4%产=当，故 答 案 为：日 三、解 答 题（本 题 共 6 小 题，共 7 0分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 2 1题 为 必 考 题，每
26、 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、2 3题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答）（一）必 考 题：共 6 0分 1 7.目 前 直 播 带 货 已 经 席 卷 全 国 了，不 论 老 人 小 孩、男 生 女 生，大 家 都 听 说 或 是 尝 试 过 直 播 购 物，它 所 具 有 的 能 突 破 时 间、空 间 限 制 的 特 点 已 经 吸 引 了 越 多 越 多 的 人.由 此 可 见，它 的 受 众 非 常 广 泛，是 大 势 所 趋.不 管 是 什 么 行 业 领 域，都 可 以 去 从 事 直 播 带 货.直 播 带 货 的 兴 起 为 人 们 提 供
27、 了 更 多 就 业 岗 位.小 明 是 一 名 刚 毕 业 的 大 学 生，通 过 直 播 带 货 的 方 式 售 卖 自 己 家 乡 的 特 产，下 面 是 他 近 4 个 月 的 家 乡 特 产 收 入 y（单 位：万 元）情 况，如 表 所 示.月 份 5 6 7 8时 间 代 号，1 2 3 4家 乡 特 产 收 入 y 3.9 3.3 2.2 1.8（1）根 据 5 月 至 8 月 的 数 据，求 y 与，之 间 的 线 性 相 关 系 数（精 确 到 0.01）,并 判 断 相 关 性;（2）求 出 y 关 于，的 回 归 直 线 方 程，并 预 测 9 月 收 入 能 否 突
28、破 1万 元，请 说 明 理 由.附：相 关 系 数 公 式:；（若 卜|0.95,则 线 性 相 关 程 度 非 常 强，可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合）一 组 数 据（内,丹）,（，%），G,，%），其 回 归 直 线 方 程=及+的 斜 率 和 截 距 的 最 小 YJxiyi-nxy二 乘 估 计 公 式 分 别 为 人=丹.-.a=y-反；1=14 参 考 数 据：Z e=1X 3.9+2 X 3.3+3 X 2.2+4 X1.8=24.3,i=i=l l2+0.52+0.62+l2=2.82,V 14J3.75.i=l【答 案】（l a O 9 9；认 为 y 与 t 之
29、间 有 很 强 的 相 关 性.（2）y 关 于 t 的 回 归 直 线 方 程 为：=-0.74/+4.65，不 能.试 卷 第 1 0页，共 1 8页【分 析】(1)直 接 代 入 公 式 求 出 认 为 y 与 t之 间 的 线 性 相 关 系 数，即 可 判 断;(2)代 入 公 式 求 出 系 数 b,，即 可 得 到 回 归 方 程，并 求 出 9 月 收 入 即 可 判 断.【详 解】由 表 格 数 据 可 知：号 8=2 5,还”弋 3=2.8,则 4 2-i)=(-1.5)2+(-0.5)2+(0.5)2+(1.5)2=5,1=14由 题 意 知：2”,=1x3.9+2x3.
30、3+3x2.2+4x1.8=24.3,i=l4 _ 22(M-5)=1.12+0.52+0.62+12=2.82,1=1代 入 相 关 系 数 公 式 可 得:24.3-4x2.5x2.8V5xVz82-3 7k-=-0.99,3.75V i=l v r=l因 为=0.99 0.95,所 以 认 为 y 与 t之 间 有 很 强 的 相 关 性.(2)由 题 意 可 得：WyM=lx3.9+2x3.3+3x2.2+4xl.8=24.3,Z=14r-y=28,Z：=12+22+32+42=30,#=,*=i4f.y所 以 族=斤-4尸/=124 3-28 _og=-0-74,贝!。=y 次=2.
31、8(-0.74)x2.5=4.65，JU 2 J所 以 y 关 于 t的 回 归 直 线 方 程 为：y=-0.74f+4.65,把 f=5代 入 可 得：y=-0.74x 5+4.65=0.95l,所 以 预 测 9 月 收 入 不 能 突 破 1万 元.18.已 知 数 列 端 满 足 q=l,a.+i 为 鬻 U+L 为 偶 数 若 数 列 圾 满 足 么=%，求 仿 也 及 也 的 通 顼 公 式；数 列 叫 的 前 2 项 和 邑【答 案】仿=2也=6也=2“-2(2)S=3-2n+1-3n-6【分 析】(1)根 据 题 中 的 递 推 关 系 求 伉 也，整 理 可 得 仇”=22
32、+2,可 得+2=2(2+2),结 合 等 比 数 列 的 定 义 与 通 项 公 式 运 算 求 解；(2)根 据 题 意 整 理 可 得%i+%,=3(2-1),利 用 并 项 求 和 结 合 等 比 数 列 的 求 和 公 式 运 算 求 解.【详 解 1(1)由 题 意 可 得：4=2q=2,%=%+1=3,4=2%=6,即 4=ct2=2,/?2=ciA=6,2+1=%+1，%+2=物 的=2（%,+1）=2%,+2,即 b+i=2bn+2,可 得：向+2=2（包+2）,且 4+2=4 才 0,故 数 列 j，+2 是 以 首 项 为 4,公 比 4=2的 等 比 数 歹!J,故 d
33、+2=4.2 T,即 仇=2向-2.（2）由 题 意 可 得：a,.1+a2 n=a2n+a2=|a2=|=3（2-1）,故$2”=（4+。2）+（色+。4）+（。2A l+%）=3（2-1）+3（2?-1）+3（2-1）-3（2+22+.+2n）-3 n=3 x f c|J-3 n=3-2+-3 H-6 故 S“=3 2 e _3-6.1 9.在 平 面 五 边 形 A8CD E中（如 图 1）,A8C。是 梯 形，AD/BC,AD=2BC=2&，AB=6,ZABC=90,VADE是 等 边 三 角 形.现 将 V 4D E沿 A 折 起，连 接 EB,EC得 四 棱 锥 E-A 8 C D
34、（如 图 2）且 CE=2 0.图 1 图 2（1）求 证：平 面 E4D_L平 面 ABC。；（2）在 棱 上 有 点 凡 满 足 冬=!，求 二 面 角 E-A D-尸 的 余 弦 值.EB 3【答 案】（1）证 明 详 见 解 析 噜【分 析】（1）设 A O的 中 点 为。，通 过 证 明 O EJ平 面 4 3 a 来 证 得 平 面 E4）_L平 面 ABCD；（2）建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 法 求 得 二 面 角 E-A。-尸 的 余 弦 值.【详 解】（1）依 题 意，ABCD是 梯 形，ADHBC,AD=2BC=2五,A8=&,ZABC=9Q,VAD
35、E是 等 边 三 角 形.设。是 A D的 中 点，则 C,O,E三 点 共 线，且 0 E J _ 4）,OC=AB=y/,OE=4 2 用 一=V6折 叠 后，OEA.AD,CE2=OC2+OE2,即 OE_LOC,由 于 OC AD=O,OC,AD c:A B C D,所 以 OE_L平 面 ABC。，试 卷 第 1 2页，共 1 8页由 于 0 u 平 面 E4Z）,所 以 平 面 4_1_平 面 A8C）.（2）由（1）可 知 戊;。4,。匹 两 两 相 互 垂 直，以。为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示,平 面 皿）的 法 向 量 为 m=（1,0,0）
36、,8（在 6 O）,E（O,O,#）,A（O,夜,0）,（0,-夜,0）,EF=；EB,OF=OE+EF=OE+gEB=（0,0,指）+g（夜，夜,一）=72 5/2 2限 rA D=（0,-272,0）,设 平 面 E 4 D 的 法 向 量 为=（x,y,z）,n-OF=2+2+迥=03 3 3n-AD=-2y/2y=0故 可 设，?=卜 26,0,1）,设 二 面 角-4 5-尸 为。,由 图 可 知。为 锐 角,所 以 cos。=rnn2 g 2回 V13-13则 20.已 知 4 是 椭 圆 C：/（a 0）的 左 顶 点，直 线/与 椭 圆 C 相 交 于 尸，。两 点，满 足 A
37、P_LAQ.当 P 的 坐 标 为（6,；）时，OAP的 面 积 为/（。为 坐 标 原 点）.（1）求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；（2）设 F 是 椭 圆 C 的 右 焦 点，求 四 边 形 办。尸 面 积 的 最 大 值.【答 案】三+丁=14c、8+4小-5【分 析】（D 将（后,j 代 入 C 的 方 程，再 结 合 OAP的 面 积 为 g,由 3、4 3=；求 解;（2）设 直 线 P Q 的 方 程 为 x=）+?（-2 相 2）,与 椭 圆 的 方 程 联 立，根 据 AP_LA。,由 AP-AQ=（X1+2）（X2+2）+）y 2=0，求 得 m,再 由 S履 形.=；
38、|4尸 心-刃 结 合 韦 达 定 理 求 解.【详 解】解：将 代 入 C 的 方 程，得 三+=1.V 2 j az 4/厂 因 为 0 4 P 的 面 积 为 所 以;x a x g=g,得 a=2.（技 巧：根 据 已 知 条 件 选 择 合 适 的 量 求 三 角 形 的 面 积）由 得 从=1，故 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为-+y2=l.4（2）易 知 4（-2,0）,F（V3,0）,直 线 P Q 的 斜 率 不 为 0,故 可 设 直 线 P Q 的 方 程 为 x=（y+m（-2?0,得 加+4 0.设 P（X，X）,。（孙 必），则 乂+必=便 勺，弘 必=?二，+
39、4 r+4因 为 AP_L A Q,所 以 A P A Q u a+a X w+Z H y%=。，即 可 9+2（玉+）+4+%=。，所 以（0i+m）（ty2+m）+2（ry1+ty2+2加）+4+跖=0,即（产+1）%+（机+2。（乂+%）+（?+2）2=（）,所 以（产+1）./1+。9+2。熟+（，”+2）2=0,整 理 得 5/+16?+12=0,解 得?=-1 或?=-2（舍 去），（注 意 m 的 范 围）所 以 苗+%12r-645（产+4），一 25（产+4）。所 以 S联 仰 叱=；|跖|四-刃=；|4尸|4（）+加 2-肛%=|叫.塔 詈 令 国 力=“，贝!1 2 8,
40、履=|，斗 J，”25=W AFuI+36=10朋.一+u试 卷 第 14页，共 18页由 对 勾 函 数 的 单 调 性 知“+28+=彳，当 且 仅 当=8,即 f=0时 等 号 成 立，u 8 2所 以,边 加 叱 Q()|AF|X*=10X(2+省 卜*=殳 芈，故 四 边 形 P A Q F 面 积 的 最 大 值 为 的 苦.21.已 知 函 数/(x)=(x-2)e*+e,g(x)=一 犬)，/i(x)=(lnx-x+l)lna,其 中。为 常 数,若 F(x)=/(x)g(x)+Mx).讨 论 尸(x)的 单 调 区 间；若*x)在 x=/(r)取 得 极 小 值，且/2,汕
41、恒 成 立，求 实 数 机 的 取 值 范 围.【答 案】(l)a=e时，尸(x)在 定 义 域 内 单 调 递 增；4 e 时，在(0,1)和(Ina,+8)上 单 调 递 增，在(1,In a)上 单 调 递 减；0 a eX和 0 a e 时，满 足 题 意，分 类 讨 论，WO和 机 0 两 种 情 况，通 过 导 数 的 性 质，证 明 相 关 的 不 等 式 恒 成 立 即 可.【详 解】(1)Fx)=(x-l)ex-(x-l)(a-1)+(-1)In a=(x-l)(e-a+-)X X=(x-l)(e*-eS+士 如)，明 显 可 见，X l=lna,即。=6,此 时 尸(力 己
42、)恒 成 立，即 尸(x)在 定 义 域 内 单 调 递 增；1e,(0,1)和(In a,+oo)上 F(x)0,在(1,In a)上 尸(x)lna,即 0a0,在(lna,l)上 尸(x)&.t=i n a l,当 心 0 时,对 于/(x)=(x2)e*+e,则/(x)=(x-l)e*,可 得 x l,r(x)0,/w 单 调 递 增；X 1,r(x)/(1)=0,.-./(?)0.又(x)=(lnx-x+l)lna,hr(x)=-Ina,xl,U)0,幽 外 单 调 递 减；x0,/i(x)单 调 递 增；故力(x)W=0；又“=lnal,f(t)0 mh(t)；当 相 vO时，不
43、妨 令 g。)=/(，)一/%),g=0,gQ)=Q-l)-e+机(2,一 2-lnf),g=0,令 左=g),则+m(2),kf(l)=e+m 9 令 z(，)=(r),则 tzQ)=(f+l)e+彳，,m1时 为 单 调 递 增 函 数，且 41)=26+”?,若 e+m N O,贝 h l 时，z 0,z 单 调 递 增，且 z(l)=k。)0,故 z(f)=M f)0,得 女 单 调 递 增，k(t)=g(t)g=1)=0,得 到 g(f)单 调 递 增；g(r)g6=0,符 合 题 意；故 0“2-e时，/(。之，汕(r)恒 成 立；若 e+，*0,&(1)0,贝！|或 1,七)，/
44、。)0,&(/)在(1,%)单 调 递 减，火 1)=0,，gQ)在(1,%)单 调 递 减，g)g(i)=o,不 符 题 意；综 上 所 述，w e-e,-Ko)(-)选 考 题：共 10分.请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程?上 tx=2-122.在 平 面 直 角 坐 标 系 xO)，中，直 线/的 参 数 方 程 为 2。为 参 数)，以 坐 标 原 点。为 极 点，x 轴 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 极 坐 标 方 程
45、为：psin20=6cos.(1)求 直 线/普 通 方 程 与 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程；(2)过 点 M(2,0)的 直 线，与 C 相 交 于 A,8 两 点，求 忸 用|的 值.【答 案】/：x+石 y-2=0,C：V=6 x；48.【分 析】(1)对 直 线/的 参 数 方 程 消 参，即 可 求 得 其 普 通 方 程；根 据 公 式 x=夕 cos夕 y=osin。，即 可 求 得 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程；(2)联 立 直 线/的 参 数 方 程 和 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程，根 据 参 数/的 几 何 意 义，结 合 韦 达 定 理 即
46、 可 求 得 结 果.试 卷 第 16页，共 18页x=乙-r r-【详 解】对 2，可 得，=2y,代 入 x=2 r 可 得：x=2-6y,卜)1 2故 直 线/的 普 通 方 程 为：x+百 y-2=0；对 psin。6=6cos0两 边 同 时 乘 以 夕 可 得:，sin?6=60cos。，BP y1=6x,故 曲 线 c 的 直 角 坐 标 方 程 为：/=6%.(2)将 1的 参 数 方 程 代 入 y?=6x,并 化 简 得 产+12石-48=0,A=624 0,设 A,B 对 应 参 数 为 6，A,又 他=T 8,所 以|4W|.怛 凹=|他|=48.选 修 4-5：不 等
47、 式 选 讲 23.已 知 函 数 x)=|x+2|+|2x+l|.求/(x)的 最 小 值;1 1 1 Q(2)若。，b,c均 为 正 数，且/(a)+/(h)+/(c、)=18,证 明：一 十 7+一 之 丁 J7.a b c a+b+c-3【答 案】(师 证 明 见 解 析【分 析】(1)由 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 可 求 解；(2)由 题 意 得 a+b+c=3,再 由 基 本 不 等 式 及 不 等 式 的 性 质 可 证 明.【详 解】(1)/(x)=|x+2|+x+g+x+g1 1 3 1(X+2)(X H)+X 4-1-X+一-2 2 2 243.(当 且 仅 当“三 时，取 等 号).函 数 3f(x)的 最 小 值 为 会(2)因 为“，h,c均 为 正 数，所 以。)+6)+/(c)=3a+3+弘+3+3c+3=18,a+b+c=3.由,(,a+b,+c)、(/1+1+1.)=1,+-a+a+b+1,+h+c+c+,1a b c b c a c a b=弓+与+(+当+(R2)+3 N 9,b a a c b c出 得 一 1+：1+-J/r3.a b c：3+c)2=+/+c，2+2ab+2bc+la c W3(/+b+c2)9/.a2+b2+C3 3.r.-+-+-a b c9a2+kr+c2.试 卷 第 18页，共 18页