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1、2023年 高 考 数 学 全 真 模 拟 卷 三(全 国 卷)文 科 数 学(考 试 时 间：120分 钟；试 卷 满 分：150分)注 意 事 项：1.答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名、班 级、考 号 等 信 息 2.请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I卷(选 择 题)一、单 选 题(本 题 共 1 2小 题，每 小 题 5 分，共 6 0分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求)1.设 集 合 M=x|l,x2,/V=x|log2(x-l)0,则()A.N 紧 M B.M&N C.M c N=M D.M u
2、 N=N【答 案】A【分 析】利 用 函 数 的 单 调 性 解 出 对 数 型 不 等 式，然 后 得 出 两 集 合 间 的 关 系.【详 解】由 Iog2(x-l)0=bg21，呈 故 选：A.2.设 i为 虚 数 单 位，复 数 z满 足 iz+l=(l-i)2,则|z|=()A.2B.75 C.2百 D.372【答 案】B【分 析】利 用 复 数 运 算 法 则 计 算 得 到 z=-2+i,从 而 求 出 模 长.-l-2i【详 解】由 iz+1=(1-i):=-2i,得 iz=-l-2i,故 2=;=-2+i所 以|2|=71=石.故 选：B.3.已 知 向 量：=(e,0),(
3、6 1),则“与 6 的 夹 角 大 小 为()A.30 B.60 C.120 D.150【答 案】A【分 析】利 用 向 量 的 夹 角 公 式 直 接 求 解.【详 解】设 a 与 人 的 夹 角 为。,，句 0,句.因 为：=(5,0),%=(6,1),所 以 cos9=abaxb6 6+0=Gx/7x2-2,因 为。G 0，所 以。嗓 故 选：A4.如 图，在 三 棱 柱 A B C-A 4 G 中，侧 棱 例，底 面 4 4 G，底 面 是 正 三 角 形 E是 8 c 的 中 点，则 下 列 叙 述 正 确 的 是（）A.CR与 是 异 面 直 线 B.AC_L平 面 C.AEJ.
4、耳 G D.AG 平 面【答 案】C【解 析】证 明 C G，81E共 面，由 此 判 断 A 选 项 错 误 曲 A C 与 AB不 垂 直，判 断 B 选 项 错 误.通 过 证 明 平 面 BCC圈，证 得 4EJ.BC，由 此 判 断 C 选 项 正 确.由 AC 4c 而 A C 与 平 面 AB|E相 交，判 断 D 选 项 错 误.【详 解】对 于 A 选 项，由 于 C G，B/都 含 于 平 面 B C G S，所 以 不 是 异 面 直 线，故 A 选 项 错 误.对 于 B 选 项，由 于 NC4B=。，所 以 A C 与 平 面 A8B4 不 会 垂 直，故 B 选 项
5、 错 误.对 于 C 选 项，在 等 边 三 角 形 ABC中，A E L B C,根 据 直 三 棱 柱 中 易 得 A _ L M，所 以 平 面 8CC百，所 以 A E L B G，所 以 C 选 项 正 确.对 于 D 选 项，由 于 AG AC,而 A C 与 平 面 A与 E 相 交，所 以 直 线 A G 与 平 面 不 平 行，故 D 选 项 错 误.故 选：C5.已 知 引=/（一 1五 工 3）,g（x）=（m（O W x W 2）,若 八 为）*（三）恒 成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是（）A.（,+00）B.l,+oo）C.0,+a9）D.（一:，+8）
6、【答 案】B【分 析】首 先 求 出 初 而、g）山，依 题 意 可 得 无：L.Ng（x）四，即 可 求 出 参 数 的 取 值 范 围.试 卷 第 2 页，共 16页【详 解】解：函 数”力=(-1 W X W3)在-1,0 上 单 调 递 减，在 0,3 上 单 调 递 增,所 以&而=)=，函 数 g(x)=m(O W x W 2)在 0,2 上 单 调 递 减,所 以 g(x)1mx=1一 加,因 为 xJg(X2)恒 成 立，所 以 0*1-加，解 得 机 2/,即 实 数，”的 取 值 范 围 是 故 选：B6.已 知。、b e R,贝 广 4 2”是“一 14而 41”的()A
7、.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【分 析】利 用 基 本 不 等 式、特 殊 值 法 结 合 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 判 断 可 得 出 结 论.【详 解】若/+/4 2,由 基 本 不 等 式 可 得 2|羽 4 万+/4 2,则 画=1,.-1 4 而 41,所 以，“+。2 4 2=_ 1 4/4 1；若-14必 41,可 取 a=2,b=0,但=42,所 以，ua2+b2 2nii-ab.因 此，“/+加 2”是“-14而 41”的 充 分 不 必
8、 要 条 件,故 选：A.7.张 邱 建 算 经 记 载 了 这 样 一 个 问 题：“今 有 马 行 转 迟，次 日 减 半，疾 七 日，行 七 百 里”，意 思 是“有 一 匹 马 行 走 的 速 度 逐 渐 变 慢，每 天 走 的 路 程 是 前 一 天 的 一 半，连 续 走 了 7 天，共 走 了 700里”.在 上 述 问 题 中，此 马 第 二 天 所 走 的 路 程 大 约 为()A.170 里 B.180 里 C.185 里 D.176 里【答 案】D【分 析】根 据 题 意，可 知 此 马 每 天 走 的 路 程 形 成 等 比 数 列，利 用 等 比 数 列 的 前“项
9、和 公 式 求 得 基 本 量，从 而 得 解.【详 解】由 题 意 得，设 这 匹 马 的 第 天 走 的 路 程 为%,则 有 57=700,%邛 所 以 数 列%是 4=g 的 等 比 数 列，故 70Q_ I 解 得 q=3 5*2 8,所 以=44=2 176.4.故 选：D.8.2013年 华 人 数 学 家 张 益 唐 证 明 了 李 生 素 数 猜 想 的 一 个 弱 化 形 式 挛 生 素 数 猜 想 是 希 尔 伯 特 在 1900年 提 出 的 23个 问 题 之 一,可 以 这 样 描 述:存 在 无 穷 多 个 素 数 P,使 得 P+2是 素 数.素 数 对(P，p
10、+2)称 为 挛 生 素 数 从 10以 内 的 素 数 中 任 取 两 个，其 中 能 构 成 挛 生 素 数 的概 率 为()A.B.-C.-D.一 3 4 5 6【答 案】A【分 析】10以 内 的 素 数 中 任 取 两 个，其 中 能 构 成 李 生 素 数 的 个 数 有 2 个，再 算 出 在 10以 内 的 素 数 中，随 机 选 取 两 个 不 同 的 素 数，能 选 的 个 数 为 然 后 即 可 求 出 所 求 概 率.【详 解】在 10以 内 的 素 数 中，所 有 的 素 数 有：2,3,5,7；随 机 选 取 两 个 不 同 的 数，其 中 能 组 成 学 生 素
11、数 的 个 数 有 2 个，即(3,5)和(5,7)；则 在 10以 内 的 素 数 中，随 机 选 取 两 个 不 同 的 素 数，能 选 的 个 数 为 d=6,所 以，李 生 素 数 从 10以 内 的 素 数 中 任 取 两 2 1个，其 中 能 构 成 李 生 素 数 的 概 率 为 正.答 案 选 A.x-y 02x+y 0 x+y B.0 tz l34 4C.a D.0 a 4 l或。之 一 3 3【答 案】D【分 析】作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域，根 据 图 象 即 可 求 解.【详 解】由 图 形 知，要 使 平 面 区 域 为 三 角 形，rr-r r
12、1 0.已 知/(x)=sin(2014x+%)+co s(2 0 1 4 x-)的 最 大 值 为 A,若 存 在 实 数 W E,使 得 对 任 意 实 数 x 总 有%)4 f 成 立,则 4 月-目 的 最 小 值 为 试 卷 第 4 页，共 16页A.匕 B.上 C.三 D.叵 1007 2014 1007 1007【答 案】A【详 解】试 题 分 析：解：V/(x)=sin(2014x+)+cos(2014x-)=o 3 sin 2014x+cos 2014x+cos 2014x+sin 2014x=2 2 2 2=s in 2 0 1 4 x+cos2014A-=2sin(201
13、4x+-),/.A=2,周 期 7=-,由 于 6 2014 1007存 在 实 数 4多，使 得 对 任 意 实 数 x 总 有/(xt)/(x)4/(%)成 立，/(%)=/(4 陪=2,/(x,)(x)*=-2,值-目 的 最 小 值 为 半 个 周 期，即 急,目 的 最 小 值 为 高，故 选 A.1 1.已 知 双 曲 线 C:兰-=1的 左、右 焦 点 分 别 为 4,E，P 为 双 曲 线 C上 一 点，直 线/分 16 9别 与 以 K为 圆 心，耳 尸 为 半 径 的 圆 和 以 巴 为 圆 心，K P为 半 径 的 圆 相 切 于 点 A,8,则|A B|=()A.26
14、B.6 C.8 D.10【答 案】B【分 析】设 点 P在 双 曲 线 的 右 支 上，过 B 作 6 耳 于 点。，根 据 双 曲 线 的 定 义，求 得 出。=8,再 在 R t片。心 中，结 合 勾 股 定 理，即 可 求 解.【详 解】由 题 意，双 曲 线。:目?=1，可 得“=4,=3,贝！lc=G 7 尸=5,16 9设 点 尸 在 双 曲 线 的 右 支 上，如 图 所 示，过 工 作 鸟 C A Z 于 点 D.易 得 四 边 形 A B。为 矩 形，因 为|儆|=|阿 四=|明,所 以|耳 4=|四|-|也|=|秋 卜 忸 段=忸 耳|一|闯=2=8又 因 为 田 闾=2c
15、=10,所 以 在 Rt 居 中，怩。|=而 不|而=府=记=6,所 以|4?|=厄 4=6.故 选：B.1 2.若 直 角 坐 标 平 面 内 A,8 两 点 满 足：点 A,8 都 在 函 数/(x)的 图 象 上；点 A,B 关 于 原 点 对 称，则 称 点(A 8)是 函 数 A x)的 一 个“姊 妹 点 对”点 对(A B)与(8,A)可 看 作 是 同 一 个 姊 妹 点 对 以 一 1(x4 0)In x(x 0)已 知 函 数/。)=恰 有 两 个“姊 妹 点 对”,则 实 数”的 取 值 范 围 是()A.0ae-2 B.0 a e-2 C.0 a e D.0 a()与
16、函 数 g(x)=a r+1,x 2。的 图 象 恰 好 有 两 个 交 点，即 方 程 Inx-1=0在(。,内)上 有 两 个 不 同 的 解，构 造 函 数(x)=l n x-a r-l,利 用 导 数，分 类 讨 论 求 得 函 数 的 单 调 性 与 最 值，即 可 求 解.【详 解】由 题 意 知 函 数 f(x)=a x-l(x 0)恰 有 两 个“姊 妹 点 对”,等 价 于 函 数/*)=lnx,x 0 与 函 数 g(x)=a x+l,xN O的 图 象 恰 好 有 两 个 交 点，所 以 方 程 lnx=ax+l,即 l n x-a r-1=0在(),*)上 有 两 个
17、不 同 的 解，构 造 函 数(x)=lnx a x-l,贝！|(x)=L-a,X当 aWO时，*)0,函 数/*)区 间(0,m)上 单 调 递 增，不 符 合 题 意；当 a 0 时，令(x)0,解 得()x,，所 以 函 数(x)在 区 间(0 上 单 调 递 增,令”(X)L,所 以 函 数 版 X)在 区 间(L+8)上 单 调 递 减，所 以 J 0,解 得 0 a e2 9又 由/z(e)=lne-ae-l=-a e 0,所 以 函 数*)在 仇：J 上 有 且 仅 有 一 个 零 点，令 M(x)=In x-1,则 Mf(x)=1-=,x 2Vx 2x试 卷 第 6 页，共 1
18、6页令 M(x)0,解 得 0 x 4,所 以 函 数 M(x)在 区 间(0,4)上 单 调 递 增,令 M(x)4,所 以 函 数 M(x)在 区 间(4,E)上 单 调 递 减，所 以 M C O m aLM G M lnd-B vO,所 以 M(x)=l n x-4-l 4 M(4)0,即 lnx&+1,又 由 J=In ax 1 J r+1 a xr 1=J r(1 V2)0 所 以 函 数 M x)在%标)上 有 且 仅 有 一 个 零 点.综 上 可 得：(R a v e、即 实 数。的 取 值 范 围 是(0,1).故 选：A.第 I I 卷(非 选 择 题)二、填 空 题(本
19、 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分)13.已 知 等 比 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，且 q=2,4=1 6,则/=【答 案】62【分 析】利 用 等 比 数 列 的 通 项 关 系 先 求 公 比 再 利 用 前 n 项 和 公 式 求 解 凡 即 可【详 解】在 等 比 数 列 4 中，公 比 为 9,则%=a/=2/=1 6,解 得：q=2,所 以 既=当 二 心=型 二 衿=62.故 答 案 为：62-q-114.已 知 圆 C 的 圆 心 在 直 线 x+y=O 上，圆 C与 直 线 x y=0相 切，且 在 直 线 xy3=0 上 截 得 的 弦 长
20、为 布，则 圆 C 的 方 程 为.【答 案】(xl)2+(y+l)2=2.【解 析】设 圆 的 圆 心，由 直 线 与 圆 相 切 可 得 半 径，再 由 垂 径 定 理 即 可 得 解.【详 解】由 圆 C 的 圆 心 在 直 线 x+y=()上，.,.设 圆 C 的 圆 心 为(a,a),又.咽 C 与 直 线 x-y=()相 切,半 径 r=%1=&同.又 圆 C 在 直 线 x-y-3=0 上 截 得 的 弦 长 为 遥，圆 心(a,一 a)到 直 线 xy3=0 的 距 离 d|2。一 3|.屋+闺，即 乌 科+12a2,解 得 a=L 圆 C 的 方 程 为(x-l)2+(y+l
21、)2=2.故 答 案 为：(x-l)2+(y+l)2=2.15.已 知 在 三 棱 锥 S ABC中，SA=SB=SC=,AB=2,AC I B C,则 三 棱 锥 外 2接 球 的 表 面 积 为.97r【答 案】y【分 析】设 A 8的 中 点 为 D,证 明 SD_L平 面 A B C,求 出 SD的 长，列 式 计 算 求 得 三 棱 锥 外 接 球 的 半 径，即 可 求 得 答 案.【详 解】设 A 3的 中 点 为 D,因 为 A C上 8 C,所 以 D 为 一 4 5 C的 外 心，则 D4=B=DC,因 为 S4=S3=S C,贝 lj SDA 空 S D B W S D
22、C,则 NSDA=NSDB=90,则 Z.SDC=9 0，故 SD AB,SD D C,而 A8 ZX?=,AB,OCu 平 面 ABC,所 以 S,平 面 A8C.因 为 A3=2,A C B C,所 以 A)=D8=)C=1,因 为 SA=g,所 以 加 栏)2-1?=冬 由 题 意 知 三 棱 锥 的 外 接 球 的 球 心 O 在 直 线 SD上，设 外 接 球 的 半 径 为 R,贝 I J F=(R-也 j+，解 得 R=挛，2 4所 以 三 棱 锥 外 接 球 表 面 积 为 4 d 乎=y,故 答 案 为：y1 6.已 知 抛 物 线 C:/=4 y,点 M 为 直 线 y=-
23、l 上 一 动 点，过 点 M 作 直 线 与 C分 别 切 于 点 A，B则.【答 案】0【分 析】设 切 点 为,/)、当,今 J和 利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 出 切 线 始、1 VMB的 方 程，由 此 可 得 占、是 方 程-x-l=0的 两 实 根，再 求 出 占+七,%,4 2根 据 平 面 向 量 的 坐 标 表 示 化 简 计 算 MA-M B 即 可.试 卷 第 8 页，共 16页【详 解】由 V=4 y,得 y=则/=1x,4 2设 公,苧 M(x0,-1),所 以=.,%=5,2 2得 切 线 M 4 的 方 程 为-3-=沙-玉)，即 丫=尹 _ 予 2
24、2切 线 M B 的 方 程 为)，-&=三(*-灰)，即 y=x-土 4 2 2 4?2又 两 条 切 线 过 切 点 M(X0,T),有 T=土-工、-l=x 0-旦,2 4 2 4所 以 补 当 是 方 程 _1=包 即 手-1=0 的 两 实 根，2 4 4 2得 石+工 2=2%,xx2=-4,2 2又 M A=(玉&),1-1),MB=(x,-F1),uini uur 工 2 x 2所 以 M A-M B=(x,-xa)(x2 x()+1)(-+1)=x,x2-Xo(xt+X2)+XO2+X*+)(x：+x,2)+l16 4,%2为 2 J,=XX?一 改(演+x2)+x()2+=
25、-+(%+x2)2-2 XX2+将 占+9=2 如*七=-4代 入 上 式，得 刈 用 8=+2 片+片+1+*+2+1=0.故 答 案 为：0,三、解 答 题(本 题 共 6 小 题，共 7 0分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、2 3题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答)(-)必 考 题：共 6 0分 17.在 ABC中，内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 满 足 asin(A+C)=Z?cos(A-e).求 角 A；(2)
26、若 a=3,b+c=5,求 _ABC 的 面 积.【答 案】A 述 3【分 析】(1)由 条 件 和 正 弦 定 理 可 得 sin Asin 8=sin 8cos(A-2)，然 后 结 合 三 角 函 数 的 知 识 可 得 答 案；(2)由 条 件 结 合 余 弦 定 理 求 出 A 的 值 即 可.【详 解】（1）由 正 弦 定 理 得 sin Asin B=sin 8 c o s 一 因 为 0 8 0,所 以 sin A=c o s(A-g,化 简 得 sin A=c o s A+L s in 4，I 2 2所 以 cos(A+W=0,因 为 0 4 兀，所 以 A.(2)因 为 A
27、=g,由 余 弦 定 理 得 a?=。2+。2-匕。=(6+。)2-3儿，又 a=3,+c=5,=b2+c2-be=(h+c)2-3bc,即 9=2 5-3 b c,解 得 6c=号，贝 I I _ABC 的 面 积 S=/?csin A=x x=.2 2 3 2 31 8.某 超 市 为 了 解 顾 客 的 购 物 量 及 结 算 时 间 等 信 息，安 排 一 名 员 工 随 机 收 集 了 在 该 超 市 购 物 的 100位 顾 客 的 相 关 数 据，如 下 表 所 示：一 次 购 物 量 1至 5 件 6 至 10件 11至 15件 16至 2 0件 2 1件 及 以 上 顾 客
28、数（人）X 30 25y5结 算 时 间（分 钟/人）1 2 3 4 5已 知 这 100位 顾 客 中，一 次 购 物 量 超 过 10件 的 顾 客 占 40%.（1）求，y 的 值，并 估 计 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 的 平 均 值；（2）求 一 位 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 不 超 过 3 分 钟 的 概 率.（将 频 率 视 为 概 率）【答 案】（1=30,y=10,2.3分 钟*20【分 析】（1）根 据 题 意 列 式 求 解 苍 儿 再 求 平 均 数；（2）根 据 古 典 概 型 结 合 对 立 事 件 求 解.,-f25+y+5=40
29、 fx=30【详 解】（1）由 题 意 可 得 小。，解 得，这 100位 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 的 平 均 值 为$=1x30+2x30+嚷 5+4x10+5x5=2（分 钟），.估 计 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 的 平 均 值 为 2.3分 钟.（2）记 事 件 A 为“一 位 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 不 超 过 3 分 钟”，事 件 A 表 示“该 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 为 4 分 钟”，事 件&表 示“该 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 为 5 分 钟”,试 卷 第 1 0页，共 1 6页将
30、频 率 视 为 概 率，则 P(A)=2=1 P(4)=焉 4，1UU 1U 1UU zu=4 U 4,且 A，4 为 互 斥 事 件，I 1 17/.P(/I)=I-P(AUA)=I-P(A)-/J(4)=I-=-.故 一 位 顾 客 一 次 购 物 的 结 算 时 间 不 超 过 3 分 钟 的 概 率 为 为 17.1 9.如 图，多 面 体 ABCDEF中，四 边 形 A8CZ)为 菱 形，/A 8 C=6 0,必，平 面 ABCD,FA/ED,Q.AB=FA=2ED=2.求 证：BDVFC-,(2)求 点 A到 平 面 F B D 的 距 离.【答 案】(1)证 明 见 解 析 竽【
31、分 析】(1)根 据 线 面 垂 直 的 判 定 和 性 质 进 行 推 理 即 可 得 解；(2)利 用 等 体 积 转 化 法 即 可 求 解.【详 解】(1)证 明：E4_L平 面 ABC。，B D u 平 面 ABCD：.FABD,四 边 形 A8CD为 菱 形，.AC_LB,又 FA AC=A,用 u 平 面 冉 C,A C u平 面 处 C,/.BD 平 面 FAC B D 1 FC 咚 棱 昕/=9 m=g；x 2 x 2 x sin l2 0)x 2=?必 _ L 平 面 ABCD,FA AB,FA AD F B=F D=2夜,由 四 边 形 ABC。为 菱 形，Z/W C=6
32、0,可 得 BD=25，；-S FBD=A，设 点 A到 平 面 F B D 的 距 离 为 h,则 匕 梭 侬-F B D=3 S.BDh=/15/?,由 V三 枝 维 A-五 B O=V三 枝 惟 一 A 8 D可 得 y/l5h=，解 得 匕=拽.点 A到 平 面 FBD的 距 离 为 还.5 5/v22 0.已 知 椭 圆 C：=+上=1(a 6 0)的 左，右 焦 点 分 别 为 6，F,上，下 顶 点 a b 分 别 为 A,B,四 边 形 鸟 的 面 积 和 周 长 分 别 为 2 和 4夜.求 椭 圆 C的 方 程；若 直 线/：y=k(x+l)(A w O)与 椭 圆 C交
33、于 E,尸 两 点，线 段 E F的 中 垂 线 交 y轴 于 M 点，且 VE好 1为 直 角 三 角 形，求 直 线/的 方 程.【答 案】+丁=1 x-y+l=。或 x+y+l=。_ L x 2c x、bx、2 2【分 析】(1)由 已 知 可 得 2，结 合。泊，。的 关 系 可 求 解；4a=4夜(2)联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程，结 合 韦 达 定 理 可 求 出 E F的 中 点，进 而 求 得 其 中 垂 线 方 程，求 出 坐 标，分 析 已 知 可 得=代 入 即 可 求 解.x2cxhx2=22【详 解】(1)由 题 意 知 4a=4 0，解 得 a2=b2+c
34、2故 椭 圆 的 方 程 为 片+V=12(2)设 E(%,y),尸(8,为)y=k(x+V)联 立 f,整 理 得(1+2公)2+4%4+2公-一+y=12由 韦 达 定 理 得 士+左=-*4后 2,x=7k2-2:-1+2/-+2k2A=(4k2y-4(1+2/)(2/-2)=8/+8 0.x,+x2 _-2k2 4+必 _ k(x、+&+2)_ k 2 l+2k2 J 2 2 1+2%所 以 线 段 E F的 中 垂 线 方 程 为 y-J=-l(x+1+2%k令”=，解 得=V2b=-2=02，2k21+2F试 卷 第 12页，共 16页又 V如 为 直 角 三 角 形，且 ME=M
35、 F,:.M E L M F卜+占 卜+志)=XX7+k；2(/x,+11)、(/工,+1八)+-k-r-2-k-+-k-7-r1-1-1+2&2 1+2/(1+242)23/=(k2+l)x,x2+k2(xt+x2)+k2+(2小,2-2 4/,2 3k2 2(3-1)n+2k2+2k2(l+2)t2)2(1+2&2产.,.k2=1)BP k=1所 以 直 线 i的 方 程 x-y+i=o或 x+y+i=o21.设 函 数“x b l M f+D-G,aeR.(1)设 a N l,求/(x)的 单 调 性：(2)若 直 线 y=+。与 曲 线 y=/(x)+or恰 好 交 于 一 点，确 定
36、 满 足 要 求 的 有 序 实 数 对(“，3 的 集 合.【答 案】(l)f(x)在 R 上 单 调 递 减(2)(力)e(4即 时 lo(0,0)u(,_、(,_ Y(a,b)O a、l l/7 V/【分 析】(1)求 导，利 用 导 函 数 符 号 判 断 即 可；(2)由 题，方 程 力=恰 有 一 个 实 数 根，分 类 讨 论，利 用 导 数 研 究 函 数 单 调 性，结 合 函 数 值 域 分 析 b 的 取 值，从 而 确 定(。力)的 集 合【详 解】(1)对 f(x)求 导 有:(力=高-明 令 g(x)=r(x),则 g，(x)=(L/,令 g0,得 令 g(x)o,
37、得 X1,可 知 g(x)在 1),(1,钟)上 分 别 单 调 递 减，在 上 单 调 递 增，且 g(x)为 奇 函 数，因 此 在(0,位)上，/(力 3=1,在(田,0)上，/(x)1nto=-L所 以 当*1 时，_f(x)W0,则/(x)在 R 上 单 调 递 减；(2)由 题 意，方 程 恰 有 一 个 实 数 根.当 胎 1时，可 知/(X)在 R 上 单 调 递 减,当 x趋 向 负 无 穷 大 时，/(x)趋 向 正 无 穷 大；当 x趋 向 正 无 穷 大 时，/(x)趋 向 负 无 穷 大.此 时 b G R；当 0 1时，令 r a)=o,贝 160为 1当，使 得
38、言=.此 时“X)在(ro,X|)和(%2,+co)上 单 调 递 减，在(,王)上 单 调 递 增.当 X趋 向 负 无 穷 大 时，“X)趋 向 正 无 穷 大；当 X趋 向 正 无 穷 大 时，“X)趋 向 负 无 穷 大 及。)=。，此 时 J(xj)由 于 4=，即 V-2 x+l=0,解 得 x尸 上 正 H,”,巫？,所 以/(为)=1“q】一 以|=ln 2-2夕-+71-2-I,且/(x2)=In-ax2=In+J-a2-1,当 a=0时，即 ln(l+f)=,可 知 b=0；9 r 当 一 la0时，令/(x,)=0,贝 1 口%1匕 0,使 得-+x此 时/(X)在(-8
39、,玉)和,+00)上 单 调 递 增，在(七，七)上 单 调 递 减.当 X趋 向 负 无 穷 大 时，“X)趋 向 负 无 穷 大；当 X趋 向 正 无 穷 大 时，“X)趋 向 正 无 穷 大 及/(0)=0,此 时。7,7(%)(/().+).由 于 3 T=*即 f _ 2 x+i=0,解 得 X 叵 I,X 匕 也 亘，1+X a a a所 以/(xjTn(B_ar3=ln 2+2-sj-a-1,且/(5)=In(乎)一 监=In 2 _ 2*_ a _+Vl-a2-1,当 好 一 1时，则/(x)20,故 x)在 R 上 单 调 递 增，因 此 bGR.综 上 所 述，e(。力)|
40、同 训 3(0,0)uj(a,/?)|0|a|l,ie-,In-:一 一+l-a2-1 o In-/l-a2-1,+.(二)选 考 题：共 10分.请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 试 卷 第 14页，共 16页做 的 第 一 题 计 分.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 X。），中，曲 线 的 参 数 方 程 为 卜=：a 为 参 数），以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，曲 线 C?的 极 坐 标 方 程 为 0 s i n,+：）=3点
41、.（1）写 出 G 的 普 通 方 程 和 C?的 直 角 坐 标 方 程；（2）若 曲 线 与 曲 线 G 交 于 A,8两 点，P 的 直 角 坐 标 为（0,6）,求|/训+|尸 耳.【答 案】（1）G：y2=4 x,C2；.x+y=6 1 6 0【分 析】（D 根 据 消 参 法 消 去 参 数 即 可 求 解 G 的 普 通 方 程，根 据 直 角 坐 标 与 极 坐 标 之 间 的 互 换 即 可 得 C?的 直 角 方 程，（2）根 据 直 线 的 标 准 参 数 方 程 以 及 参 数 的 几 何 意 义 即 可 求 解.【详 解】（1）由，二 消 去 得 即.F=4 x,由
42、夕 sin（0+）=3 0 得 psin6+/?cos0=6,即 x+y=6（2）直 线 g 经 过 点（0,6）,且 倾 斜 角 为 135,所 以 C?的 方 程 写 成 标 准 参 数 方 程 为 x=-1（r为 参 数），将 其 代 入 C|：V=4 x得+i 6 6+72=0，y g 6I 2设 A 8 所 对 应 的 参 数 分 别 为 京 r 2,则 不+”-16也 0,故 0再 0,因 此 附+附=闻+同=_（%+4=1 m,选 修 4-5：不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 x）=W+k 3.求 不 等 式 x）4 W的 解 集.（2）若/（x）的 最 小 值 为 用，
43、且 实 数 也 c满 足 a（6+c）=w,证 明：2/+/+。2.m+3.【答 案】,（2）证 明 见 解 析【分 析】(1)依 题 意 可 得 2凶+卜-3 k 4,再 利 用 零 点 分 段 法 分 类 讨 论，分 别 求 出 不 等 式 的 解，即 可 求 出 不 等 式 的 解 集；(2)根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 得 到 f(x)的 最 小 值 为 3,即 机=3,从 而 得 到 帅+ac=3,再 利 用 基 本 不 等 式 计 算 可 得；(1)解：不 等 式“力 4-国，可 化 为 2凶+卜-3|4.当%,0时，不 等 式 可 化 为-2x-(x-3)4,即 3x-
44、g,故 x,0;当 0 x 3 时，不 等 式 可 化 为 2x(x3)4,解 得 x l,故 0 xl；当 3 时，不 等 式 可 化 为 2x+(x-3)4,解 得 x(,显 然 与 x.3矛 盾，不 等 式 无 解.综 上，不 等 式/(x)4-W的 解 集 为 卜 小).证 明：由 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 可 得，k|+|x-3|.Jx-(x-3)|=3,当 且 仅 当 0 M 3时 取 等 号，所 以 当 O M 3时，尤)的 最 小 值 为 3,即 利=3,所 以 a(b+c)=3,即 必+ac=3,所 以 2/+，=(/+62)+(/+02).2 6+2。=6,即 2a2+b2+c2.m+3,当 且 仅 当 4 i=C=土 逅 时，等 号 成 立.2试 卷 第 16页，共 16页