2023年高考数学文一轮复习教案第10章10-3用样本估计总体.pdf

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1、10.3 用 样 本 估 计 总 体【考 试 要 求】1.会 用 统 计 图 表 对 总 体 进 行 估 计.2.能 用 数 字 特 征 估 计 总 体 集 中 趋 势 和 总 体 离 散 程 度.【知 识 梳 理】1.平 均 数、中 位 数 和 众 数 一 1（1）平 均 数：X=-（X I+X2H-l-xn）.（2）中 位 数：将 一 组 数 据 按 从 小 到 大 或 从 大 到 小 的 顺 序 排 列，处 在 最 中 间 的 一 个 数 据（当 数 据 个 数 是 奇 数 时）或 最 中 间 两 个 数 据 的 壬 均 数（当 数 据 个 数 是 偶 数 时）.（3）众 数：一 组 数

2、 据 中 出 现 次 数 量 宜 的 数 据（即 频 数 最 大 值 所 对 应 的 样 本 数 据）.2.方 差 和 标 准 差 方 差：S2=三 次（为 一 工）2或 7行 一 x 2.（2）标 准 差：5=；2（即 一【常 用 结 论】巧 用 三 个 有 关 的 结 论 若 x”%2 4 的 平 均 数 为 1，那 么“g+m mx2+a,wtr.+a的 平 均 数 为?+a；（2）数 据 及，/与 数 据 Xi=X+a,X21=X2+a,，x,=xn-a的 方 差 相 等，即 数 据 经 过 平 移 后 方 差 不 变；（3）若 X|,必，X”的 方 差 为 52,那 么 以|+6,O

3、T2+6，OX+b 的 方 差 为 a2s2.【思 考 辨 析】判 断 下 列 结 论 是 否 正 确（请 在 括 号 中 打“J”或“X”）对 一 组 数 据 来 说，平 均 数 和 中 位 数 总 是 非 常 接 近.（X）（2）方 差 与 标 准 差 具 有 相 同 的 单 位.（X）（3）如 果 一 组 数 中 每 个 数 减 去 同 一 个 非 零 常 数，则 这 组 数 的 平 均 数 改 变，方 差 不 变.（J）（4）在 频 率 分 布 直 方 图 中，最 高 的 小 长 方 形 底 边 中 点 的 横 坐 标 是 众 数.（V）【教 材 题 改 编】1.给 出 一 组 数 据

4、：133,5,5,5,下 列 说 法 不 正 确 的 是（）A.这 组 数 据 的 极 差 为 4B.这 组 数 据 的 平 均 数 为 3C.这 组 数 据 的 中 位 数 为 4D.这 组 数 据 的 众 数 为 5答 案 B+3X2+5义 4 11解 析 这 组 数 据 的 极 差 为 5 1=4,A 正 确；平 均 数 为 一.I-=y,B 错 误；中 位 数 3+5为 一=4,C 正 确；众 数 为 5,D 正 确.2.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.众 数 可 以 准 确 地 反 映 出 总 体 的 情 况 B.一 组 数 据 的 平 均 数 一 定 大 于 这 组 数 据

5、中 的 每 个 数 据 C.平 均 数、众 数 与 中 位 数 从 不 同 的 角 度 描 述 了 一 组 数 据 的 集 中 趋 势 D.一 组 数 据 的 方 差 越 大，说 明 这 组 数 据 的 波 动 越 小 答 案 C解 析 对 于 A,众 数 体 现 了 样 本 数 据 的 最 大 集 中 点，但 对 其 他 数 据 信 息 的 忽 略 使 得 无 法 客 观 反 映 总 体 特 征，所 以 A 错 误；对 于 B,一 组 数 的 平 均 数 不 可 能 大 于 这 组 数 据 中 的 每 一 个 数 据，所 以 B 错 误；对 于 C,平 均 数、众 数 与 中 位 数 从 不

6、 同 的 角 度 描 述 了 一 组 数 据 的 集 中 趋 势，所 以 C 正 确；对 于 D,方 差 可 以 用 来 衡 量 一 组 数 据 波 动 的 大 小，方 差 越 小，数 据 波 动 越 小，方 差 越 大，数 据 波 动 越 大，所 以 D 错 误.3.设 一 组 样 本 数 据 X”及，X”的 方 差 为 0.01,则 数 据 10 xi，10 x2,，104的 方 差 为（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10答 案 C解 析.样 本 数 据 为，X2,，斯 的 方 差 为 0.01,根 据 任 何 一 组 数 据 同 时 扩 大 几 倍，方 差 将 变 为 平 方

7、倍 增 长，数 据 10 x”10氏 2,，10X”的 方 差 为 100X0.01=1.题 型 一 样 本 的 数 字 特 征 例 1（1）在 一 次 歌 咏 比 赛 中，七 位 裁 判 为 一 选 手 打 出 的 分 数 如 下：90,89,90,95,93,94,93.去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 后，所 剩 数 据 的 平 均 数 与 方 差 分 别 为（）A.92,2.8 B.92,2C.93,2 D.93,2.8答 案 A解 析 由 题 意 得 所 剩 数 据 为 90,90,93,94,93.所 以 平 均 数 X=90+90+93+94+935=92.方

8、差/=/(90-92)2+(9092)2+(9392)2+(9392)2+(9492月=2.8.(2)已 知 某 7 个 数 的 平 均 数 为 4,方 差 为 2,现 加 入 一 个 新 数 据 4,此 时 这 8 个 数 的 平 均 数 为 x,方 差 为$2,贝 心)A.x=4,S24,S24,S22答 案 A解 析 设 7 个 数 为 冗 1，X2,%3,X4,5，X6,M,1$1+应+13+工 4+邓+工 6+1 7则-口-=4,7=2,所 以 X1+12+13+必+%5+入 6+&=28,(X14)2+(X24)2+(%34)2+(X44)2+(X54)2+(X64)2+(X74)

9、2=14,则 这 8 个 数 的 平 均 数 为 X=1(X+X2+X3+A4+X5+X6+X7+4)=|X(284-4)=4,方 差 为 s2=(x(X|-4)2+(X2 4/+(X3 4)2+(X4 4)2+(X5 4)2+(X6 4)2+(必 一 4月+(4 4)勺 1 7=gX(14+0)=42.【备 选】某 高 校 分 配 给 某 中 学 一 个 保 送 名 额，该 中 学 进 行 校 内 举 荐 评 选，评 选 条 件 除 了 要 求 该 生 获 得 该 校“三 好 学 生”称 号，还 要 求 学 生 在 近 期 连 续 3 次 大 型 考 试 中，每 次 考 试 的 名 次 都

10、在 全 校 前 5 名(每 次 考 试 无 并 列 名 次).现 有 甲、乙、丙、丁 四 位 同 学 都 获 得 了“三 好 学 生”称 号，四 位 同 学 在 近 期 连 续 3 次 大 型 考 试 名 次 的 数 据 分 别 为 甲 同 学：平 均 数 为 3,众 数 为 2；乙 同 学：中 位 数 为 3,众 数 为 3；丙 同 学：众 数 为 3,方 差 小 于 3；丁 同 学：平 均 数 为 3,方 差 小 于 3.则 一 定 符 合 推 荐 要 求 的 同 学 有()A.甲 和 乙 B.乙 和 丁 C.丙 和 丁 D.甲 和 丁 答 案 D解 析 对 于 甲 同 学，平 均 数 为

11、 3,众 数 为 2,则 3 次 考 试 的 成 绩 的 名 次 为 2,2,5,满 足 要 求；对 于 乙 同 学，中 位 数 为 3,众 数 为 3,可 举 反 例：3,3,6,不 满 足 要 求；对 于 丙 同 学，众 数 为 3,方 差 小 于 3,可 举 特 例：3,3,6,则 平 均 数 为 4,方 差 s2=；X2X(34户+(64)2=23,与 已 知 条 件 矛 盾，所 以 X”X2,X3均 不 大 于 5,满 足 要 求.思 维 升 华 平 均 数 与 方 差 都 是 重 要 的 数 字 特 征，是 对 总 体 的 一 种 简 明 的 描 述，它 们 所 反 映 的 情 况

12、 有 着 重 要 的 实 际 意 义，平 均 数、中 位 数、众 数 描 述 其 集 中 趋 势，方 差 和 标 准 差 描 述 其 离 散 程 度.跟 踪 训 练 1(1)从 某 小 学 随 机 抽 取 100名 同 学，将 他 们 的 身 高(单 位：厘 米)分 布 情 况 汇 总 如 下，身 高(100,U0J(110,120(120,130J(130,140J(140,150频 数 5 35 30 20 10由 此 表 估 计 这 100名 小 学 生 身 高 的 中 位 数 为(结 果 保 留 4 位 有 效 数 字)()A.119.3 B.119.7C.123.3 D.126.7答

13、 案 C解 析 由 题 意 知 身 高 在(100,110,(110,120,(120,130内 的 频 率 依 次 为 0.05,0.35,0.3,前 两 组 0 3频 率 和 为 0.4,组 距 为 10,设 中 位 数 为 x,则(x-120)X行=0.1,解 得 X&123.3.(2)(2021 新 高 考 全 国 I改 编)有 一 组 样 本 数 据 制，及，X”，由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据，工，为，其 中 y=a+c(i=l,2,，ri),c 为 非 零 常 数,则()A.两 组 样 本 数 据 的 样 本 平 均 数 相 同 B.两 组 样 本 数 据 的 样

14、 本 中 位 数 相 同 C.两 组 样 本 数 据 的 样 本 标 准 差 相 同 D.两 组 样 本 数 据 的 样 本 极 差 不 同 答 案 C解 析 设 样 本 数 据 X2,，%的 平 均 数、中 位 数、标 准 差、极 差 分 别 为 工，(7,t,依 题 意 得，新 样 本 数 据 V，)2,，%的 平 均 数、中 位 数、标 准 差、极 差 分 别 为 行+c,m+c,7,t,因 为 c#0,所 以 C 正 确，D 不 正 确.题 型 二 总 体 集 中 趋 势 的 估 计 例 2 棉 花 是 我 国 纺 织 工 业 重 要 的 原 料.新 疆 作 为 我 国 最 大 的 产

15、 棉 区，对 国 家 棉 花 产 业 发 展、确 保 棉 粮 安 全 以 及 促 进 新 疆 农 民 增 收、实 现 乡 村 振 兴 战 略 都 具 有 重 要 意 义.准 确 掌 握 棉 花 质 量 现 状、动 态，可 以 促 进 棉 花 产 业 健 康 和 稳 定 的 发 展.在 新 疆 某 地 收 购 的 一 批 棉 花 中 随 机 抽 测 了 100根 棉 花 的 纤 维 长 度(单 位：m m),得 到 样 本 的 频 数 分 布 表 如 下：纤 维 长 度 频 数 频 率 0,50)4 0.0450,100)8 0.081100,150)10 0.10150,200)10 0.10

16、200,250)16 0.16250,300)40 0.401300,350 12 0.12(1)在 图 中 作 出 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图;频 率 组 距 O.(M)8-r T-r-r T 10.0070.0060.0050.0040.0030.002O.(M)1O5()1(X)15()200 250 3(X)35()纤 维 长 度/mm 根 据 中 作 出 的 频 率 分 布 直 方 图 求 这 一 棉 花 样 本 的 众 数、中 位 数 与 平 均 数，并 对 这 批 棉 花 的 众 数、中 位 数 和 平 均 数 进 行 估 计.解(1)样 本 的 频 率 分 布 直

17、方 图 如 图 所 示.(2)由 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图，人 上,“250+300付 众 数 为-2-=275(mm)；设 中 位 数 为 x,(x-250)X 0.008=5 0%-48%,解 得 x=252.5,即 中 位 数 为 252.5 m m；设 平 均 数 为 工，则().008().0070.006().0050.0040.003O.(M)20.001O频 率 组 距 50 100 150 200 250 300 350 纤 维 长 度/m mx=25X0.04+75X0.08+125X0.1+175X0.1+225X0.16+275X0.4+325X0.12=

18、222(mm),故 平 均 数 为 222 m m.由 样 本 的 这 些 数 据，可 得 购 进 的 这 批 棉 花 的 众 数、中 位 数 和 平 均 数 分 别 约 为 275 m m、252.5 m m 和 222 mm.【备 选】某 城 市 在 创 建 文 明 城 市 的 活 动 中，为 了 解 居 民 对“创 建 文 明 城 市”的 满 意 程 度，组 织 居 民 给 活 动 打 分(分 数 为 整 数，满 分 100分)，从 中 随 机 抽 取 一 个 容 量 为 1 0 0的 样 本，发 现 数 据 均 在 40,100内.现 将 这 些 分 数 分 成 6 组 并 画 出 样

19、 本 的 频 率 分 布 直 方 图,但 不 小 心 污 损 了 部 分 图 形,如 图 所 示.观 察 图 形，则 下 列 说 法 不 正 确 的 是()A.频 率 分 布 直 方 图 中 第 三 组 的 频 数 为 10B.根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 的 众 数 为 7 5分 C.根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 的 中 位 数 为 7 5分 D.根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 的 平 均 数 为 7 5分 答 案 D解 析 分 数 在 60,70)内 的 频 率 为 1 10X(0.005+0.020+0.030+0.025+

20、0.010)=0.1 0,所 以 第 三 组 的 频 0.03()().0250.0200.0150.01()0.005O数 为 1 0 0 X 0.1 0=1 0,故 A 正 确;因 为 众 数 的 估 计 值 是 频 率 分 布 直 方 图 中 最 高 矩 形 底 边 的 中 点 的 横 坐 标，从 图 中 可 看 出 众 数 的 估 计 值 为 7 5分，故 B 正 确;因 为(0.005+0.020+0.010)X 10=0.350.5,所 以 中 位 数 位 于 70,80)内,设 中 位 数 为 x,则 0.3 5+0.0 3(x-7 0)=0.5,解 得 x=7 5,所 以 中

21、位 数 的 估 计 值 为 7 5分，故 C 正 确；样 本 平 均 数 的 估 计 值 为 45X(10X0.005)+55X(10X0.020)+65X(10X0.010)+75X(10X 0.030)+85X(10X 0.025)+95X(10X 0.010)=73(分)，故 D 错 误.思 维 升 华 频 率 分 布 直 方 图 的 数 字 特 征(1)众 数：最 高 矩 形 的 底 边 中 点 的 横 坐 标.(2)中 位 数：中 位 数 左 边 和 右 边 的 矩 形 的 面 积 和 应 该 相 等.(3)平 均 数：平 均 数 在 频 率 分 布 直 方 图 中 等 于 各 组

22、区 间 的 中 点 值 与 对 应 频 率 之 积 的 和.跟 踪 训 练 2 首 次 实 施 新 高 考 的 八 省(市)于 2021年 1月 2 3日 统 一 举 行 了 新 高 考 适 应 性 考 试，在 联 考 结 束 后，根 据 联 考 成 绩，考 生 可 了 解 自 己 的 学 习 情 况，作 出 升 学 规 划，决 定 是 否 参 加 强 基 计 划.在 本 次 适 应 性 考 试 中，某 学 校 为 了 解 高 三 学 生 的 联 考 情 况，随 机 抽 取 了 100名 学 生 的 联 考 数 学 成 绩 作 为 样 本,并 按 照 分 数 段 50,70),70,90),9

23、0,110),110,130),130,150分 组，绘 制 了 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图.(1)求 出 图 中 的 值 并 估 计 本 次 考 试 及 格 率(“及 格 率”指 得 分 为 9 0 分 及 以 上 的 学 生 所 占 比 例)；(2)估 计 该 校 学 生 联 考 数 学 成 绩 的 众 数、平 均 数.解(1)由 频 率 分 布 直 方 图 的 性 质，可 得(0.004+a+0.013+0.014+0.0I6)X20=l,解 得 4=0.003.所 以 及 格 率 为(0.016+0.014+0.003)X 20=0.66=66%.(2)由 图 可

24、得，众 数 估 计 值 为 100分.平 均 数 估 计 值 为 0.08X 60+0.26X 80+0.32X 100+0.28X 120+0.06X 140=99.6(分).题 型 三 总 体 离 散 程 度 的 估 计 例 3(12分)(2021全 国 乙 卷)某 厂 研 制 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提 高，用 一 台 旧 设 备 和 一 台 新 设 备 各 生 产 了 10件 产 品，得 到 各 件 产 品 该 项 指 标 数 据 如 下：旧 设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9

25、 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新 设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧 设 备 和 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 样 本 平 均 数 分 别 记 为 x 和 y,样 本 方 差 分 别 记 为 sf和 s幺(1)求 三，ST-切 入 点：方 差 的 公 式 判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高(如 果 7-T2 2 y 唔 I 则 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备

26、 有 显 著 提 高，否 则 不 认 为 有 显 著 提 高).关 键 点：显 著 提 高 的 理 解 思 路 分 析 利 用 公 式 求 平 均 数、方 差 一 利 用 给 出 的 标 准 判 断 答 题 得 分 模 板 解(1)由 表 格 中 的 数 据 易 得，x=Y-x(-0.2+0.3+0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-0.3)+10.0=10.0：r 处 用 公 式 求 平 均 数 y=-l-x(0.1+().4+0.1+0+().1+().3+().6+0.5+0.4+0.5)+10.()=10.3,2分(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-

27、1().0)2+2x(10.0-l().()2+(10.1-().0)2+2x(1().2-10.()2+(10.3-10,()2=O.036,4分(10.0-l().3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x*-处 用 公 式 求 方 差(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.()4.i 6分(2)由(1)中 数 据 可 得 亍=10.3-10.0=0.3 7分/精+其 卜,_而 旷 m l C)声 前*口 分 2仕!厘 成 立,J 10所 以 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧

28、设 备 有 显 著 提 高.12分 卜-处 下 结 论【备 选】从 某 企 业 生 产 的 某 种 产 品 中 抽 取 100件，测 量 这 些 产 品 的 一 项 质 量 指 标 值，由 测 量 结 果 得 如 下 频 数 分 布 表：质 量 指 标 值 分 组 75,85)85,95)195,105)105,115)115,125频 数 6 26 38 22 8(1)根 据 上 表 补 全 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图:(2)估 计 这 种 产 品 质 量 指 标 值 的 平 均 数 及 方 差(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表)

29、；(3)根 据 以 上 抽 样 调 查 数 据，能 否 认 为 该 企 业 生 产 的 这 种 产 品 符 合“质 量 指 标 值 不 低 于 9 5 的 产 品 至 少 要 占 全 部 产 品 的 80%”的 规 定？解(1)补 全 后 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示.(2)质 量 指 标 值 的 样 本 平 均 数 为 x=80X 0.06+90X 0.26+100X 0.38+110X 0.22+120X 0.08=100.质 量 指 标 值 的 样 本 方 差 为?=(-20)2 X 0.06+(-10)2 X 0.26+02 X 0.38+102 X 0.22+202

30、X 0.08=104.所 以 这 种 产 品 质 量 指 标 值 的 平 均 数 约 为 100,方 差 约 为 104.(3)质 量 指 标 值 不 低 于 95的 产 品 所 占 比 例 约 为 0.38+0.22+0.08=0.68.由 于 该 估 计 值 小 于 0.8,故 不 能 认 为 该 企 业 生 产 的 这 种 产 品 符 合“质 量 指 标 值 不 低 于 95的 产 品 至 少 要 占 全 部 产 品 的 80%”的 规 定.思 维 升 华 总 体 离 散 程 度 的 估 计 标 准 差(方 差)反 映 了 数 据 的 离 散 与 集 中、波 动 与 稳 定 的 程 度.

31、标 准 差(方 差)越 大，数 据 的 离 散 程 度 越 大；标 准 差(方 差)越 小，数 据 的 离 散 程 度 越 小.跟 踪 训 练 3(2022 蚌 埠 质 检)某 校 计 划 在 秋 季 运 动 会 期 间 开 展“运 动 与 健 康”知 识 大 赛，为 此 某 班 开 展 了 10次 模 拟 测 试，以 此 选 拔 选 手 代 表 班 级 参 赛，下 表 为 甲、乙 两 名 学 生 的 历 次 模 拟 测 试 成 绩.场 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 98 94 97 97 95 93 93 95 93 95乙 92 94 93 94 95 94 96 97

32、97 98甲、乙 两 名 学 生 测 试 成 绩 的 平 均 数 分 别 记 作 x,y,方 差 分 别 记 作 而，求 尤，y,si，品;(2)以 这 10次 模 拟 测 试 成 绩 及(1)中 的 结 果 为 参 考，请 你 从 甲、乙 两 名 学 生 中 选 出 一 人 代 表 班 级 参 加 比 赛，并 说 明 你 作 出 选 择 的 理 由.一 1解(1)X=1(98+94+97+97+95+93+93+95+93+95)=95,一 1y=而 92+94+93+94+95+94+96+97+97+98)=95,-32+(-1)2+22+22+0+(-2)2+(-2)2+0+(-2)2

33、+0=3,(-3)2+(-1)2+(-2)2+(-1)2+0+(-1)2+12+22+22+32=3.4.(2)答 案 一：由(1)可 知，T=7,ssl,甲、乙 两 人 平 均 分 相 同，但 甲 发 挥 更 稳 定，所 以 可 以 派 甲 同 学 代 表 班 级 参 赛.答 案 二：由(1)可 知，g=亍，sks之，甲、乙 两 人 平 均 分 相 同，两 人 成 绩 的 方 差 差 距 不 大，但 从 10次 测 试 成 绩 的 增 减 趋 势 可 以 发 现，甲 的 成 绩 总 体 呈 下 降 趋 势，乙 的 成 绩 总 体 呈 上 升 趋 势，说 明 乙 的 状 态 越 来 越 好，所

34、 以 可 以 派 乙 同 学 代 表 班 级 参 赛.课 时 精 练 1.某 机 构 调 查 了 10种 食 品 的 卡 路 里 含 量，结 果 如 下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则 这 组 数 据 的 中 位 数 是()A.160.5 B.146 C.175 D.135答 案 A解 析 中 位 数 为 14 6 y 5=16052.给 定 一 组 数 据 5,5,4,3,3,3,222，则 这 组 数 据()A.众 数 为 2 B.平 均 数 为 2.5C.方 差 为 1.6 D.标 准 差 为 4答 案 C解 析 由 题 中 数 据 可

35、 得，众 数 为 2 和 3,故 A 错 误；平 均 数 为 7=5+5+；+2+1=3,故 B 错 误；方 差 S2=(5 3)2+(5 3)2-(2 3)2+(1 3)2标 准 差 为 故 C 正 确，D 错 误.3.若 数 据 i，%2，x 的 平 均 数 为 1,方 差 为，则 4汨 一 3,仇 一 3,，4x 一 3 的 平 均 数 和 标 准 差 分 别 为()A.x,sB.4 x 3,sC.4 x 3,4sD.4 x-3,W 6 s224s+9答 案 C解 析 因 为 无=(X1+X2-|-Fx)，s2=(x x)2+(X2 X)2H-x)2,所 以 4xi 3,4X23,，4x

36、 一 3 的 平 均 数 为 H(4X!-3)+(4X2-3)+-+(4X-3)=4(X+X2H-l-xn)3/?=4 x 3,标 准 差 为%(4xi-3-4 x+3)2+(4x2-34 x+3/+(4x”-3-4 x+3)24 n x x x)2-1-x)21=4，7=4 S.4.某 市 为 推 进 垃 圾 分 类 工 作 的 实 施，开 展 了“垃 圾 分 类 进 小 区”的 评 比 活 动.现 对 该 市 甲、乙 两 个 小 区 进 行 评 比，从 中 各 随 机 选 出 2 0户 家 庭 进 行 评 比 打 分，每 户 成 绩 满 分 为 100分，评 分 后 得 到 如 下 茎 叶

37、 图.甲 乙 9 5 48 1 5 33 1 6 3 67 7 7 6 6 3 1 7 1 2 4 5 5 5 7 8 8 8 96 6 4 2 0 8 1 4 5 63 0 9 3 4通 过 茎 叶 图 比 较 甲、乙 两 个 小 区 成 绩 的 平 均 数 及 方 差 大 小()A.x ifi x 乙，s6Vsi.B.x H x 乙，播 C.x its2 D.尤 中 x 乙，sgs2答 案 C解 析 由 茎 叶 图 知，乙 小 区 成 绩 低 的 户 数 少 于 甲 小 区，且 成 绩 大 多 高 于 甲 小 区，所 以 乙 小 区成 绩 的 平 均 数 大 于 甲 小 区.因 为 乙 小

38、 区 成 绩 分 布 比 较 集 中，所 以 乙 小 区 成 绩 的 方 差 比 甲 小 区 小.5.某 大 学 共 有 12 000名 学 生，为 了 了 解 学 生 课 外 图 书 阅 读 量 情 况，该 校 随 机 地 从 全 校 学 生 中 抽 取 1 000名，统 计 他 们 每 年 阅 读 的 书 籍 数 量，由 此 来 估 计 全 体 学 生 当 年 的 阅 读 书 籍 数 量 的 情 况，下 列 估 计 中 正 确 的 是（注：同 一 组 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 为 代 表）（）A.中 位 数 为 6B.众 数 为 10C.平 均 数 为 6.88D.该

39、 校 读 书 不 低 于 8 本 的 人 数 约 为 3 600答 案 C解 析 由 图 知，中 位 数 x 在 4,8）内，所 以 0.06X4+0.1 X(x-4)=0.5,解 得 x=6.6,A 错 误；由 图 知，众 数 在 4,8）内，故 众 数 为 6,B 错 误;平 均 数 为 4X（2X 0.06+6X 0.1+10X 0.07+14X 0.015+18X 0.005）=6.88,C 正 确；由 图 知，该 校 读 书 不 低 于 8 本 的 频 率 之 和 为 10.16X4=0.36,所 以 该 校 读 书 不 低 于 8 本 的 人 数 约 为 0.36X12 000=4

40、 320,D 错 误.6.（2022深 圳 模 拟）若 甲 组 样 本 数 据 M，及，X”（数 据 各 不 相 同）的 平 均 数 为 2,方 差 为 4,乙 组 样 本 数 据 3为+m 3 及+，3x“+a 的 平 均 数 为 4,则 下 列 说 法 不 正 确 的 是（）A.a 的 值 为 一 2B.乙 组 样 本 数 据 的 方 差 为 36C.两 组 样 本 数 据 的 样 本 中 位 数 一 定 相 同 D.两 组 样 本 数 据 的 样 本 极 差 不 同 答 案 C解 析 由 题 意 可 知，3 X 2+a=4,故=2,故 A 正 确；乙 组 样 本 数 据 方 差 为 9

41、X 4=3 6,故 B 正 确；设 甲 组 样 本 数 据 的 中 位 数 为 孙 则 乙 组 样 本 数 据 的 中 位 数 为 3%2,所 以 两 组 样 本 数 据 的 样 本 中 位 数 不 一 定 相 同，故 C 错 误；甲 组 数 据 的 极 差 为 斯.一 的 疝，则 乙 组 数 据 的 极 差 为（3Xmax 2）（3Xmin-2）=3（Xmax-Xmin）,所 以 两 组 样 本 数 据 的 样 本 极 差 不 同，故 D 正 确.7.2021年 高 考 某 题 的 第（1）问 的 得 分 情 况 如 下：得 分(分)0 1 2 3 4百 分 率()37.0 8.6 6.0

42、28.2 20.2其 中 得 分 的 众 数 是.答 案 0解 析 众 数 是 指 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据，根 据 所 给 表 格 知，百 分 率 最 高 的 是 0.8.已 知 数 据 为，X2,，乃 的 方 差 为 5,则 数 据 知+1,3x2+l,，3x9+l 的 方 差 为.答 案 45解 析 原 数 据 的 方 差 为 5,则 线 性 变 换 后 的 数 据 的 方 差 为 32*5=45.9.自 中 国 进 入 工 业 化 进 程 以 来，个 人 的 文 化 水 平 往 往 影 响 或 在 某 种 程 度 上 决 定 了 个 人 的 薪 酬 高 低

43、，文 化 水 平 较 高 的 人 往 往 收 入 较 高.将 个 人 的 文 化 水 平 用 数 字 表 示，记“没 有 接 受 过 系 统 学 习 或 自 学 的 成 年 人”为 最 低 分 25分，“顶 级 尖 端 人 才”为 最 高 分 95分.为 了 分 析 A 市 居 民 的 受 教 育 程 度，从 A 市 居 民 中 随 机 抽 取 1 000人 的 文 化 水 平 数 据 X,将 样 本 分 成 小 学 25,35),初 中 35,45),高 中 45,55),专 科 55,65),本 科 65,75),硕 士 75,85),博 士 85,95 七 组,整 理 后 得 到 如 图

44、 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图.(1)求 样 本 数 据 的 众 数 和 中 位 数(保 留 一 位 小 数)；(2)请 估 计 该 市 居 民 的 平 均 文 化 水 平.(同 组 中 的 每 个 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 代 替)解(1)样 本 数 据 的 众 数 为 奂 尹=700X d 25,65)的 频 率 为 0.05+0.05+0.15+0.20=0.450.50.所 以 中 位 数 在 区 间 65,75)上，中 位 数 为,0.50-0.45,565+10X 一-65+66.7.(2)平 均 文 化 水 平 X=30X0.05+40X0.05+50

45、X0.15+60X0.20+70X0.30+80X0.20+90X0.05=64.5.10.某 家 水 果 店 的 店 长 为 了 解 本 店 苹 果 的 日 销 售 情 况，记 录 了 近 期 连 续 120天 苹 果 的 日 销 售 量(单 位：kg),并 绘 制 频 率 分 布 直 方 图 如 图.（1）请 根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 该 水 果 店 苹 果 日 销 售 量 的 众 数、中 位 数 和 平 均 数；（同 一 组 中 的 数 据 以 这 组 数 据 所 在 区 间 中 点 的 值 作 代 表）（2）一 次 进 货 太 多，水 果 会 变 得 不 新 鲜；进

46、货 太 少，又 不 能 满 足 顾 客 的 需 求.店 长 希 望 每 天 的 苹 果 尽 量 新 鲜，又 能 90%地 满 足 顾 客 的 需 求（在 10天 中，大 约 有 9 天 可 以 满 足 顾 客 的 需 求）.请 问 每 天 应 该 进 多 少 千 克 苹 果？解（1）由 题 图 可 知，区 间 80,90）的 频 率 最 大，所 以 众 数 为 85,中 位 数 设 为 x,贝 U 0.025+0.1+80）X0.04=0.5,可 得 x=89.375.平 均 数 为 三=（65X0.002 5+75X0.01+85X0.04+95X0.035+105X0.01+115X0.0

47、02 5）X 10=89.75.（2）日 销 售 量 60,100）的 频 率 为 0.8750.9,故 所 求 的 量 位 于 100,110）.由 0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025,得 100+黯=125故 每 天 应 该 进 102.5千 克 苹 果.11.已 知 一 组 数 据 1,2,m b,5,8的 平 均 数 和 中 位 数 均 为 4,其 中 a,6 G N”,在 去 掉 其 中 的 一 个 最 大 数 后，该 组 数 据 一 定 不 变 的 是（）A.平 均 数 B.众 数 C.中 位 数 D.标 准 差 答 案 B解 析 由 题 意 知，16+卢 1

48、=4,可 得 a+6=8,又 中 位 数 为 4,q=3,fa=4,Z?=3,则 A T 或 人 一 或 一 b5 b4,a5,当 d3,b=5众 数 为 5,标 准 差 为 4。=4,b=4时，众 数 为 4,标 准 差 为 小.去 掉 其 中 的 一 个 最 大 数 后，数 据 为 1,2,a,b,5,fq=3,仿=3,16 8当，或，时，平 均 数 为 与，众 数 为 5,中 位 数 为 3,标 准 差 为 最 b=5。=5,3 3。=4,6 3、后 当，/时，平 均 数 为 华，众 数 为 4,中 位 数 为 4,标 准 差 为 半.综 上，数 据 变 化 前 后 一 定 不 变 的

49、是 众 数.12.（2022东 三 省 四 市 联 考）某 同 学 掷 骰 子 5 次，并 记 录 了 每 次 骰 子 出 现 的 点 数，得 出 平 均 数 为 2,方 差 为 2.4的 统 计 结 果，则 下 列 点 数 中 一 定 不 出 现 的 是（）A.1 B.2 C.5 D.6答 案 D解 析 因 为 尤 铲 根 据 方 差 的 计 算 公 式 知，方 差 大 于 2.4,因 此 不 能 出 现 点 数 6,e,（5-2）2（2-2）2因 为 5=L82.4,5=。2.4,则 其 余 的 点 数 1,2,5都 有 可 能 出 现.13.小 华 同 学 每 天 晚 上 睡 觉 前 要

50、 求 自 己 背 诵 1 5 个 英 文 单 词，若 超 出 记 为“十”，不 足 记 为“一”，则 上 周 一 至 周 五，他 的 完 成 情 况 分 别 为-2,1,x,+4,y,已 知 这 五 个 数 据 的 平 均 数 是 0,方 差 是 5.2,则 上 周 一 至 周 五，小 华 背 诵 的 单 词 数 量 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是（）A.13,14 B.1 2,C.13,13 D.2,2答 案 A解 析 因 为 一 2,1,x,+4,y 这 五 个 数 据 的 平 均 数 是 0,方 差 是 5.2,所 以 有（2l+x+4+y 05 j(-2-()2+(0)2+(/