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1、专 题 0 3 平 面 向 量 一、单 选 题 1.(2023江 苏 苏 州 校 考 模 拟 预 测)已 知 向 量。=(1,3),8=(2,T),则/，在 q 上 的 投 影 向 量 是()C.(一 1,3)D.(L3)【答 案】C【解 析】设”卜 给，则 3,=侬。=髓=而%=一 乎,故 选：C.2.(2023江 苏 南 京 模 拟 预 测)已 知，为 单 位 向 量.若|=H+20,则 卜-3%()A.2 B.710 C.4 D.75【答 案】C【解 析】记，的 夹 角 为。，由|=同=1 以 及 卜,/,=,+得|cos6|=卜+四，即 cos2 6=5+4cos6,所 以 cos6=
2、1,或 cos6=5(舍 去),所 以 卜=0_6cos=6,所 以 卜 3=4.故 选：C3.(2023江 苏 南 京 南 京 市 江 宁 高 级 中 学 校 考 模 拟 预 测)若 a=(2,l),石=(-1,1),(2d+5)/(“+痴),则 加 的 值 为()A.B.2 C.-2 D.2 2【答 案】A【解 析】因 为 a=(2,l),所 以 2a=2(2,1)+(-1,1)=(3,3)，ci+mb=(2,1)+w(-1,1)=(2 一 加+7),因 为(2d+b)lla+mb),所 以 3(2-?)=3(1+附，解 得 机=1,2故 选：A4.(2023江 苏 盐 城 盐 城 市 第
3、 一 中 学 校 考 模 拟 预 测)设 向 量”，/?是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，则 与 向 量,一 6垂 直 的 一 个 单 位 向 量 是()A.a+h B.C.D.4(q+26)【答 案】C【解 析】因 为 a，是 相 互 垂 直 的 单 位 向 量，则 M=W=1,旦 a%=0设 向 量+e R)是 与 向 量 a-6 垂 直 的 单 位 向 量，(版+6(a-6)=0 ka2+-k)a-b-b2=0 及 一=0限+闷=1 k2a2+2ika-b+/j2h2=1 1二+*解 得：k=ju=土 立 2则 向 量 也 卜”与 与 向 量 立,+匕)是 与 向 量 4 垂 直
4、的 单 位 向 量.故 选：C.5.(2023江 苏 南 京 校 考 模 拟 预 测)已 知 平 面 向 量,6 满 足”=2,忖=1,且 与/，的 夹 角 为?，则,+陷=()A.石 B.6 C.币 D.3【答 案】C【解 析】因 为 忖=2,W=l,且。与 匕 的 夹 角 为?，所 以 卜+0=J(a+6)=yja+2a-b+h，=22+2x2 x lx cO S y+1=y/1,故 选：c6.(2023江 苏 统 考 二 模)已 知 向 量”，匕 满 足|4=2,W=l,a A,b,若（a+b）l.（a-2。），则 实 数 力 的 值 为（）L 9A.2 B.2V3 C.4 D.-【答
5、案】c【解 析】因 为 所 以$=0,M B（+）-（a-Afo）=|2-/l|/,|2-（/l-l）a-Z=4-Z=0,则 2=4,故 选：C.7.（2023江 苏 统 考 二 模）已 知”小 为 单 位 向 量.若|。-2=6,则|“+2=（）A.0 B.石 C.-Ji D.5【答 案】B【解 析】因 为 4,6为 单 位 向 量，故|=|/|=1,由|a-助|=6，故 a+4h-4a-b=5 a-b=0 1 a+2b=a+2b）2=la+4b+4ab=y/5故 选：B.8.（2023.江 苏 泰 州 统 考 模 拟 预 测）设 a,人 均 为 非 零 向 量，且 a _1（”一 匕），W
6、=2同，则 a 与 人 的 夹 角 为（）A.生 B.工 C.工 D.二 6 4 3 3【答 案】C【解 析】由 得：a-a-b=a2 a b=0,a b=p/|2,a b ci 1 兀.cos=1-7=|-7-7=-,又 w0,句，.=；.|a|-/?a-2|7|2 L J 3故 选：C.9.（2023 江 苏 统 考 一 模）在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中，设 A（l,0）,8（3,4）,向 量。C=xOA+yO 8,x+y=6,则 卜 耳 的 最 小 值 为（）A.1 B.2 C.由 D.2A/5【答 案】D【解 析】砺=（1,0）,丽=（3,4）,则 OC=xOA+yOB=
7、（x+3y,4y）,由 x+y=6,得 x=6-y,贝 i j OC=（x+3y,4y）=（2y+6,4y）,所 以 4 c=0 C-O 4=(2 y+5,4 y),则|4C卜 J(2 y+5+(4y)2=J 20y?+20)，+25=2 02+20,当 y=_ g 时 故 选：D.，匹 L=2 B10.（2023.江 苏 南 通 一 模）已 知 平 面 向 量 a,1 满 足 2同=可 卜+6卜 忸 _司,则 向 量”，夹 角 的 余 弦 值 为（）A.!B.C.D.2 2 4 4【答 案】Ca【解 析】由 卜+4=悭/得（+=倒。）2,即 2=2 4包，所 以 的 优 小=牛=工=，.、/
8、ah 2,4故 选：C.11.（2023江 苏 南 通 模 拟 预 测）如 图，。为 正 六 边 形 A B 8 E厂 的 中 心，则 下 列 O P的 终 点 P 落 在 二 内 部（不 含 边 界）的 是（）4 2C.OP=-O E+-O C4 2【答 案】BB.OP=-O C+-O E4 2D.O P-O E-O C4 2【解 析】对 于 A：OP=O C-O E=O C O B,以 O 为 公 共 起 点，：、g o B 为 邻 边 作 平 行 四 边 形,4 2 4 2 4 2得 对 角 线。尸=：。+:。8,显 然 点 P 不 在 A O D E内 部；4 2对 于 B：OP=-O
9、C+-OE,以。为 公 共 起 点，：O C、!o E 为 邻 边 作 平 行 四 边 形，得 对 角 线 4 2 4 2OP=：OC+；O E,显 然 点 P 在 A ODE内 部；对 于 C：OP=O E+O C,以。为 公 共 起 点，g o E、：。为 邻 边 作 平 行 四 边 形，得 对 角 线 4 2 4 21 一 1 一 OP=-O E+-O C,显 然 点 P 不 在 O O E内 部；4 2对 于 D：OP=LO E_LO C=LOE+LO F,以。为 公 共 起 点，尸 为 邻 边 作 平 行 四 边 形，得 对 角 线。尸=：O E+g o F,显 然 点 P 不 在
10、O O E内 部.故 选：B.-J T12.(2023江 苏 南 通 二 模)如 图，点 C在 半 径 为 2 的 A B上 运 动，=-O C=inOA+nOB，则 m+的 最 大 值 为()AO AA.1 B.72 C.孚 D.73【答 案】C【解 析】以。为 原 点、。4的 方 向 为 了 轴 的 正 方 向，建 立 平 面 直 角 坐 标 系，则 有 0 4=(2,0),OB=(1,G).设 ZAOC=a,则 OC=(2 c o s a,2 s in a).+=2cosa由 题 意 可 知 厂=2sina所 以 m+=cosa+且 sin a=s i n(a+M).3 3 I 3 j1
11、,.八 几.冗 冗 24因 为 aw 0,y,所 以 a+y,故 机+”的 最 大 值 为 名 叵.313.(2023江 苏 徐 州 徐 州 市 第 七 中 学 校 考 一 模)在 平 行 四 边 形 ABCD中，E、尸 分 别 在 边 A O、CD上，AE=3 E D,=FC,A尸 与 BE 相 交 于 点 G,记 AB=a,AO=6,贝 l A G=()【答 案】D 6.3,B.。+b11 11D.乜+%11 11 解 析 过 点 尸 作 F N 平 行 于 B C,交 BE于 点、M,I|3 3因 为。F=F C,则 尸 为。C 的 中 点，所 以 M N A E RM N=-A E=-
12、X-A D=-AD,2 2 4 83 5因 为 NR=AZ,所 以 M F=N F-M N=A O-二 AO=AO,8 83”_ _ AE AG u-,AG AE 4A D 6由 A AEG F M G 可 得：=,所 以-=-：-=TF M FG FG F M 9 Ao 58因 为 AG=g A F=g（AQ+Q F）=g（AO+,A 8）=a A 8+A。，11 11 11 2 11 11所 以 AG=（+制,14.（2023江 苏 泰 州 统 考 模 拟 预 测）若 向 量”，人 互 相 垂 直，且 满 足（“+外（2。叫=2,则 卜+4 的 最 小 值 为（）A.-2 B.1 C.2
13、D.V2【答 案】B【解 析】由 题 设，a-b=0 11.（a+b（2.a=2a-a-b+la-b b=la b=2,/.a=1+,而 卜-a+2a-b+b=a+b=1+2 1,当|匕|=。时,等 号 成 立,加”L RL故 选:B.15.（2023江 苏 南 京 南 京 外 国 语 学 校 校 联 考 模 拟 预 测）已 知 OA,O8,OC均 为 单 位 向 量，且 满 足 1 u n i uuai-0A+0B+0C=Q,则 A m 4C 的 值 为（）A.|B.9 C.Z D.128 8 8 8【答 案】B【解 析】AO=2（OB+O C A B=3OB+2OC,同 理 AC=2OB+
14、3 0 cA O2=4(OB+OC)2,.-.OBOC=,A B A C=(3OB+2OC)(2OB+3OC)2.2 Q 1 S=6OB+6OC+3OBOC=6+6=-.8 8故 选：B.16.（2023江 苏 常 州 统 考 模 拟 预 测）我 国 东 汉 末 数 学 家 赵 爽 在 周 髀 算 经 中 利 用 一 副“弦 图”给 出 了 勾 股 定 理 的 证 明，后 人 称 其 为“赵 爽 弦 图”,它 是 由 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 与 一 个 小 正 方 形 拼 成 的 一 个 大 正 方 形，如 图 所 示.在“赵 爽 弦 图 中，若 BE=2EF,B F 坐 BC
15、+或 B A,则 实 数 2=（）【答 案】B 解 析 由 BE=A E F，可 得 BE=丁 三 BF,乂 BF=BC+BA25 25；-B C+-BA25(1+A)25(1+4)又 附=网，|网 2+同 2=网 2,则（BE/+（8可=（BA即 I6A g C 1 12225(1+2)25(1+2)2BA+1 BC+BA25 252=BA则 流 中 户 向+鄢 明 黑 网 2-2=BA256万 14U2 256 144p ri-1-1-1-625(1+A)2 625(1+2)2 625 625整 理 得 7万 一 182-9=03解 之 得，2=3或 4=-/（舍）故 选：B17.(202
16、3江 苏 统 考 一 模)已 知 平 面 上 三 点 A、B、C 满 足,8|=3,|81=4,|。|=5 则 A B 3 C+8 C C 4+C 4 A B 的 值 等 于 A.-25 B.-20 C.-15 D.-10【答 案】A【解 析】由|43|=3,|8。|=4,。=5得 8=9 0,所 以 A 8 B C=0,2=A C C A=-AC=-25故 答 案 为-25.18.（2023江 苏 苏 州 苏 州 中 学 校 考 模 拟 预 测）2022年 北 京 冬 奥 会 开 幕 式 中，当 雪 花 这 个 节 目 开 始 后，一 片 巨 大 的“雪 花”呈 现 在 舞 台 中 央，十
17、分 壮 观.理 论 上，一 片 雪 花 的 周 长 可 以 无 限 长，围 成 雪 花 的 曲 线 称 作“雪 花 曲 线”，又 称“科 赫 曲 线”，是 瑞 典 数 学 家 科 赫 在 1904年 研 究 的 一 种 分 形 曲 线.如 图 是“雪 花 曲 线”的 一 种 形 成 过 程：从 一 个 正 三 角 形 开 始，把 每 条 边 分 成 三 等 份，然 后 以 各 边 的 中 间 一 段 为 底 边 分 别 向 外 作 正 三 角 形，再 去 掉 底 边，重 复 进 行 这 一 过 程.已 知 图 中 正 三 角 形 的 边 长 为 3,则 图 中 O M O N 的 值 为（）【
18、答 案】C【解 析】在 图 中，以。为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系,1 0 M1=2,O M=（2cos-3,2sin3-）=（l,）,I I 4 4MP=-,即 M P=q,0）,|PAZ|=1,由 分 形 知/W O M,所 以 PN=（5,骼），所 以 ON=O M+M P+P N=所 以 OA/-ON=lx+x Z=6.2 619.（2023江 苏 统 考 二 模）我 国 汉 代 数 学 家 赵 爽 为 了 证 明 勾 股 定 理，创 制 了 一 幅“弦 图”，它 由 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 和 一 个 正 方 形 所 构 成
19、（如 图），后 人 称 其 为“赵 爽 弦 图 在 直 角 三 角 形 CG。中，已 知 G C=4,G D=3,在 线 段 E尸 上 任 取 一 点 P,线 段 8 c 上 任 取 一 点。，则 A P A。的 最 大 值 为（）A.25 B.27 C.29 D.31【答 案】C【解 析】建 立 如 图 所 示 平 面 直 角 坐 标 系，A（0,3）设 尸（4,a）（34a4 4）,0（4+0）（04/43）,AP=（4,a-3）,AQ=（4+r-3）,AP.AQ=4 x（4+r）+（3）$_ 3 4 4 a=25+-t-3-a.3 3 U J4 4-3-r-3 l,3 a 4,所 以 当
20、 一/一 3=1,=4 时，3 3AP-A Q取 得 最 大 值 为 25+1x4=29.故 选：C20.（2023江 苏 常 州 江 苏 省 前 黄 高 级 中 学 校 考 一 模）已 知 中，4 5=4,AC=4 3,BC=8,动 点 尸 自 点 C 出 发 沿 线 段 CB运 动，到 达 点 8 时 停 止，动 点。自 点 3 出 发 沿 线 段 BC运 动，到 达 点 C 时 停 止，且 动 点。的 速 度 是 动 点 尸 的 2 倍.若 二 者 同 时 出 发，且 一 个 点 停 止 运 动 时，另 一 个 点 也 停 止，则 该 过 程 中 A P A。的 最 大 值 是（）7 4
21、9A.-B.4 C.D.232 2【答 案】C【解 析】A B C,AB=4,AC=4 g,BC=8,AB+AC2=BC2,:.AB 1 AC,ZABC=60,ZACB=30.由 题 意 8Q=-2 C P,AP-AQ=A C+C P A B+BQ=AC-AB+AC-BQ+CP-AB+CP-BQ=0+|A C|-2C p|cos30+|CP|AB|C O S60+|CP|-2CP|C O S1 8 0=4 X2|CP|X+|CP|X4X1-2|CP|2=一 2阿+14冏=一 2佃 一 五+3.当|=（时，AP-A Q取 得 最 大 值，最 大 值 为 日.故 选：C.二、多 选 题 21.（2
22、023江 苏 常 州 华 罗 庚 中 学 校 考 模 拟 预 测）四 边 形 4B C Q为 边 长 为 1 的 正 方 形，M 为 边 的 中 点,则（）A.AB=2MD B.D M-C B=AM C.AD+M C=MA D.AM BC=【答 案】BD【解 析】如 图,A：AB=2 D M=-2 M D，故 A 错 误；B：AM=AD+DM=BC+DM=D M-C B 故 C 错 误；D：A M B C=（A D+D M）BC=A D B C+D M B C,由 3 C J _ D W,得 D M-B C=O，所 以 A M-8C=AO-8C+0=WC=1,故 D 正 确.故 选：BD22.
23、（2023江 苏 常 州 江 苏 省 前 黄 高 级 中 学 校 考 模 拟 预 测）已 知 向 量。=（1,0）,人=（2,2）,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.（a-b L b B.忖=2&C.与 人 的 夹 角 为 45 D.a+2匕=（5,4）【答 案】ABCD【解 析】对 于 A：因 为。=（1,0）,8=（2,2）,所 以 4 a 6=（2,2）,则=2 x 2-2 x 2=0,所 以（4 a-b）,b,故 选 项 A 正 确；对 于 B：由 力=（2,2）可 得：愀 卜 血 三=2 0,故 选 项 B 正 确；对 于 C：q.6=lx 2+0 x2=2,卜|=1,恸=2
24、及，设。与 的 夹 角 为 6,aa-b 2 5/2所 以 8$8=用 4=诟 7 5=5-,因 为 o 4 4 4 1 8 0,所 以。=45,故 选 项 C 正 确；对 于 D：a+处=（1,0）+2（2,2）=（5,4）,故 选 项 D 正 确；故 选：ABCD.23.（2023江 苏 苏 州 统 考 三 模）已 知,A B C是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，该 三 角 形 重 心 为 点 G,点 P 为 ABC所在 平 面 内 任 一 点，下 列 等 式 一 定 成 立 的 是（）A.AB+AC=2 B.AB AC=2C.PA+PB+PC=3PG D.AB+BC=AB+CB【答
25、 案】BC【解 析】因 为，ABC是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，所 以|A8+AC|=J（AB+A C）=QAB，+2A 3.A C+AC?=4+2 x 2 x 2 x+4=2/3,故 A 不 正 确；AB A C=A B-A C cosZB A C=2 x 2 x-=2,故 B iF确；2_ 2 1 1.根 据 重 心 的 性 质 可 得 AG=；=（A8+AC）=；（A8+AC）,3 2 3所 以 3PG-3PA=PB PA+PC PA，所 以 3PG=P A+P 8+P C，故 C 正 确；因 为|AB+8 c|=|A C|=2,AB+C B I=A B+CB，=J AB+CB
26、?+2AB-CB=j 4+4+2 x 2 x 2 x g=2上,故 D 不 正 确.故 选：BC24.（2023江 苏 宿 迁 江 苏 省 沐 阳 高 级 中 学 校 考 模 拟 预 测）已 知 向 量 a=（l,sin，），b=（cos仇 近）,则 下 列 命 题 正 确 的 是（）A.存 在 0,使 得 a/bB.当 t a n-也 时，与 b 垂 直 2C.对 任 意 6,都 有 国 加 D.当。出=-6 时，”与 方 方 向 上 的 投 影 为 土 夕 7【答 案】BD【解 析】对 于 A,若/，则 有&=sin0cos。，即 sin26=2 a 1，所 以 不 存 在 这 样 的。，
27、故 选 项 A 借 误；对 于 B,若 a _Lb，则 cos0+&s i n。=0,即 cosO=-夜 sinO，W tan=f 故 选 项 B 正 确;对 于 C,|a|=J l+s i n*,|b|=V2+cos2 9 当 6=时，|=屹|,故 选 项 C 错 误；对 于 D,a b=cos6+血 sinO=G，两 边 同 时 平 方 得cos2 0+2sin2 e+2 j c o s 6 sine=3cos2 e+Bsin?0，即 2cos2 0+sin2 0-2V 2sin0cos0=O/.tan2 0-2 2 tan0+2=0 解 得 tan 8=0，.s i=2,cos20=-,
28、cos2 0 3设 a 与 的 夹 角 为。，在 匕 方 向 上 的 投 影 为|8$。=四=7 一 上=一 零,故 选 项 D 正 确，Ml 42+cos?，7故 选：BD.三、填 空 题 25.（2023江 苏 模 拟 预 测）已 知 向 量 二=（2,1）,6=（3,4）,若（2 a-6）_ L 6,贝 口=.【答 案】|【解 析】由 题 意 痴-4=（2 2-3,2-4）,又（乂-9。,所 以（/la _ b）/=3（2/l-3）+4（；l_ 4）=0,解 得 2=故 答 案 为：g.26.（2023江 苏 连 云 港 模 拟 预 测）已 知/?是 两 个 单 位 向 量，2a+b-c
29、=0，且。_Lc，则 a 与 的 夹 角 为.【答 案】m6【解 析 由 2a+b _ c=0 n c=2 a+6,乂/?_ L c,可 得 力,c=0 n 人(2。+方)=0 n 2a 8+方=0=a-h=a-/=la-2a-b+h=石 8 s 邨 囹=否=3因 为(a,a-b)e 0,K，所 以(a,a-6)=:故 答 案 为：5627.(2023 江 苏 无 锡 统 考 模 拟 预 测)在 M fiC中，满 足 A8+AC=2A M，且 I AM|=1,点 尸 满 足 AP=2 P M，贝 ij PA(PB+PC)=.【答 案】-巳 4【解 析】因 为 A8+AC=2 A M，所 以 M
30、 是 3 c 的 中 点，因 此 PA-(PB+PC)=PA-2PM=P4?(4P)=-PA 2,因 为 I A M 1=1，AP=2 P M，所 以|PA|=g,4因 此 4(尸 3+尸。)=一,4故 答 案 为：-28.(2023江 苏 南 通 统 考 模 拟 预 测)已 知|/小 2,。+方=(2,6),则|2。勿=.【答 案】2【解 析】由 口+6=(-2,6)，得(+2=7,即 J+2.1+1=7，解 得=1,2 2从 而|2a-6|2=4，-4a-6+b=4-4+4=4，即|2。一 勿=2.故 答 案 为：2.29.(2023江 苏 模 拟 预 测)已 知 向 量。=(1,3),Z=(-2,l),c=(3,2)若 向 量 e 与 向 量 桁+万 共 线，则 实 数 k=.【答 案】-1【解 析】：向 量。=(1，3),6=(-2,1).向 量 履+6=(%-2,3&+1),X/上 B M CN的 点，且 满 足-=-,则 A M-A N 的 取 值 范 围 是.BC CD【答 案】U，4【解 析】如 图 建 系,