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1、东 莞 市 2023年 高 考 数 学 模 拟 试 题 1(理 科)考 生 注 意：本 卷 共 三 大 题，24小 题，满 分 150分，时 间 120分 钟.不 准 使 用 计 算 器.参 考 公 式：锥 体 的 体 积 公 式 V=4 S/?(其 中 S 为 底 面 面 积，h 为 高)，3球 的 表 面 积 公 式 5=4 成 2,球 的 体 积 公 式 丫=3 成 3(其 中 H 为 球 的 半 径)3一、选 择 题(本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分.每 小 题 各 有 四 个 选 择 支，仅 有 一 个 选 择 支 正 确.请 用 2B铅 笔 把 答 题 卡
2、 中 所 选 答 案 的 标 号 涂 黑.)1.已 知 集 合 4=%|/%20,B=x|lx3,则 Ap|B=A.(1,3 B.1,3 C.(2,3 D.2,32.若 复 数 z 满 足 zi-l=4-2i(i为 虚 数 单 位)，则 复 数 Z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 3.在(l+x)3(2+y)4的 展 开 式 中,含 项 的 系 数 为 A.12 B.24 C.48 D.964.在 等 差 数 列%中，%=2,3-与=2,则$5=A.10 B.20 C.30 D.505.把 标 号 为
3、1,2,3,4 的 小 球 分 别 放 进 A、B、C 三 个 不 同 的 盒 子，每 个 盒 子 至 少 有 一 个 小 球，则 1号 和 2 号 球 不 在 同 一 盒 子 的 概 率 为 1 1 1 5A.-B.-C.-D.一 6 3 2 6x-y 01 3 c 与 A.B.C.2 D.32 27.若 函 数/(=!/一 在=2 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 a,则 l+sin(2a+.)的 值 是 3 cos2ac 1 1A.-2 B.-C.D.22 28.德 国 著 名 数 学 家 狄 利 克 雷 命 名 的 函 数/(x)=被 称 为 狄 利 克 雷 函 数，其 中 全 集
4、R 为 实 数 集，。为 有 理 数 集，则 关 于 函 数/(x)有 如 下 四 个 命 题：对 任 意 的 实 数 x,都 有/(/(幻)=1；函 数/(X)是 偶 函 数；/(x+T)=/(x)(其 中 对 任 意 的 实 数 X 都 成 立，则 T 为 有 理 数;若 f(m)/()=f(m)+f(n),则 用、中 至 少 有 一 个 是 有 理 数.其 中 真 命 题 有 A.B.C.D.9.若 某 几 何 体 的 三 视 图(单 位：c m)如 图 所 示，则 此 几 何 体 的 体 积 是 1 2A.-B.-C.1 1).23 32 210.已 知 F 是 双 曲 线 彳 4=1
5、(。0力 0)的 左 焦 点，E 是 a b该 双 曲 线 的 右 顶 点，过 点 尸 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 A、B 两 点,若 ZVLBE的 最 小 内 角 为 N A E B,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 为 A.(1,B.(1,1+C.(1,D.(1,2)1俯 视 图 第 9 题 图 11.已 知 点 A、B、C、。均 在 球 O 上，=，若 三 棱 锥 0 A B C 体 积 的 最 大 值 为！，3则 球。的 表 面 积 为 A.2兀 B.3n C.4万 D.5412.已 知 定 义 在 R 上 偶 函 数 y=/(
6、x)满 足/(x)=/(2 x),当 x e-1,0时，/(x)=(-/-1则 函 数 8(幻=/(尤)一 坨 一(其 中 ea2.718)的 零 点 个 数 为 A.3 B.4 C.5 D.6二、填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.请 把 答 案 填 在 答 题 卡 中 相 应 的 位 置 上.)13.如 图 所 示 的 程 序 框 图 当 输 入 S=2 时，输 出 S 的 值 是.14.在 递 增 的 等 比 数 列 4 中，前 项 和 为 S“，已 知%=4 3=7,则%15.已 知 向 量，b,满 足 向=行，=1,且 对 一 切 实 数 人 a-
7、tb 2。+人 恒 成 立，则 方 与 b 夹 角 的 大 小 为.16.抛 物 线 2=8%上 任 意 一 点 P,P 在 y 轴 上 的 射 影 为。，点(4,6),则|PQ|+|PM|的 最 小 值 为./=1三、解 答 题(本 大 题 共 6 小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)17.(本 小 题 满 分 12分)三 角 形 4 5 c 中，已 知(a+b)sin A+bsinB=csinC,其 中 角/输 出 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为。、b、c.(I)求 角 C 的 大 小；(II)已 知 c=3,求 a+8 的
8、 取 值 范 围.1 8.(本 小 题 满 分 1 2分)某 学 校 为 了 研 究 学 情，从 高 三 年 级 中 抽 取 了 2 0名 学 生 某 次 测 试 的 语 文 成 绩 和 英 语 成 绩 如 下 表:学 生 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10语 文 成 绩 118 107 106 120 124 116 115 108 123 111英 语 成 绩 97 117 123 97 111 131 99 120 108 120学 生 序 号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20语 文 成 绩 123 123 108 116 118 114 121
9、117 110 117英 语 成 绩 124 120 1 1 fS 127 118 114 134 119 117 111学 校 规 定：成 绩 小 于 120者 为 不 优 秀，大 于 或 等 于 120者 为 优 秀.(I)根 据 数 据，完 成 下 面 2 x 2 列 联 表，并 判 断 能 否 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 的 前 提 下 认 为 语 文 成 绩 优 秀 与 英 语 成 绩 优 秀 有 关 系？英 语 成 绩 优 秀 人 数 英 语 成 绩 不 优 秀 人 数 合 计 语 文 成 绩 优 秀 人 数 语 文 成 绩 不 优 秀 人 数 合 计(I I)对 成
10、绩 优 秀 赋 分 2,对 成 绩 不 优 秀 赋 分 1.从 这 2 0名 学 生 中 随 机 抽 取 2 名 学 生，若 用 表 示 这 2 名 学 生 两 科 成 绩 赋 分 的 和，求 自 的 分 布 列 和 数 学 期 望.n(ad-bc)2,附：K=-,其 中=a+b+c+d(a+h)(c+d)(a+c)(h+d)尸(犬19.(本 小 题 满 分 12分)在 正 方 体 ABCO-A A G 2 中，其 中 尸 为 线 段 C 2 上 一 点，且 PD|=2PC,线 段 的 中 点 为 M.(I)证 明：A 平 面 P D M；(H)求 二 面 角 尸 D M C 的 余 弦 值.
11、后-7 r第 19题 图 20.(本 小 题 满 分 12分)设 直 线 l:y=k(x+2)与 椭 圆 x2+4产=m2(m()相 交 于 A、B 两 个 不 同 的 点，与 x 轴 相 交 于 点 C,AC=2CB,记 O 为 坐 标 原 点.(I)若。4。8=0,求 的 值：(II)求 A O A 8 的 面 积 取 得 最 大 值 时 的 椭 圆 方 程.2 1.(本 小 题 满 分 12分)已 知 函 数/(x)=x?-ov,g(x)=alnx(aw O)(I)当 a=l 时，直 线/既 是/(x)的 切 线 又 是 函 数 g(x)的 切 线，求 直 线/方 程;(I I)讨 论
12、函 数 F(x)=/(x)-g(x)的 零 点 的 个 数.请 考 生 在 第 22、23、24三 题 中 任 选 一 题 做 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.作 答 时 用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 号 后 的 方 框 涂 黑.22.（本 小 题 满 分 10分）选 修 4一 1：凡 何 证 明 选 讲 如 图，在 A 4 3 C 中，A B=A C=2 B C,以 A B 为 直 径 的 圆。过 边 的 中 点 E,与 A C 边 交 于 点 过 点 E 作 圆。的 切 线，交 A C 边 于 点 尸.（I）求 证：C F=D F；（II）
13、若 E F=1,求 圆。的 面 积.第 22题 图 23.（本 小 题 满 分 10分）选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 曲 线 G：/+y 2=l,以 平 面 直 角 坐 标 系 xoy的 原 点。为 极 点，龙 轴 的 正 半 轴 为 极 轴，取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系，已 知 直 线/:p（cose+2sine）=4.（I）将 曲 线 G 保 持 纵 坐 标 y 不 变，将 横 坐 标 x 伸 长 为 原 来 的 血 倍 后 得 到 曲 线。2,试 写 出 直 线/的 直 角 坐 标 方 程 和 曲 线
14、 g 的 参 数 方 程；（H）点、。分 别 是 曲 线。2和 直 线/上 的 动 点，求|p q 的 最 小 值 以 及 取 得 最 小 值 时 点 p 的 坐 标.24.（本 小 题 满 分 10分）选 修 4-5：不 等 式 选 讲 已 知 b,c,d R+,且 2。+匕=1.,、q b c+ad 1 g 曰 一 土（I）求-1 的 取 小 值；ab cd（II）求 证：Qac+bd）Q a d+bc）cd.高 三 理 科 数 学 模 拟 试 题 1参 考 答 案 及 评 分 标 准 一、选 择 题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12答 案 C C B D D
15、 C B B C C B C二、填 空 题 13.-1 14.64 15.16.2 7 1 0-24三、解 答 题 17.解(I)(+/?)sin A+/?sin B=c sin C由 正 弦 定 理 得：(a+b)a+b b=c-c.1分 B P a2-b2 c2=ab.2 分.由 余 弦 定 理 得：c o se1:=,.3 分 lab 20 C 7T.4 分/.C=.5 分 3c a b(H)由 正 弦 定 理 一=二 得：sin C sin A sin Ba=csin A=2/3 sin A.b=csin B=23 sin Ba+b=2百(sin A+sin B).6 分 又 A+B=
16、生，/.B=A 9.7 分 3 3:.sin A+sinB=sin A 4-sin(-A)=sin(A+),.9 分 3 3W 0 A-,：.-A+-1，.11 分 a+b e(3,2/3.12 分 18.解：(I)2 x 2列 联 表 如 下:英 语 成 绩 优 秀 人 数 英 语 成 绩 不 优 秀 人 数 合 计 语 文 成 绩 优 秀 人 数 3 3 6语 文 成 绩 不 优 秀 人 数 5 9 14合 计 8 12 20假 设 语 文 成 绩 优 秀 与 英 语 成 绩 优 秀 无 关，根 据 2 x 2列 联 表 的 数 据 得 k-观 测 值:2 分 20(27-158x12x6
17、x14 0.357 3.8 4 1)0.0 5.5 分 所 以 不 能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 的 前 提 下 认 为 语 文 成 绩 优 秀 与 英 语 成 绩 优 秀 有 关 系。.6 分(II)J 可 能 的 取 值 为 4,5,6,7,8.7分 P e=4)=弃 4，P=5)=警 浣，尸 e=6)=安 年=P(4=7)=坐 CiC，12C；。95C2 3,2 4=8)=2-19010分 故 J 的 分 布 列 为:g4 5 6 7 8p189536951 13812953190.11分=+5x+6x+7x+8x=.95 95 38 95 190 9512分 19.(I)
18、证 明：连 接 6。、A C交 于 点 E,E、M 分 别 是 3。、B C的 中 点 二 厂 是 3 8 的 重 心：.C F=-C E=-x-A C=-A C3 3 2 3而 P R=2P C|CP=1 C 23 1A C交 D M 于 点 尸，连 接 P尸.1分 CCI,CF CP所 以=-CA CD,：.P F/A Di而 P F u 平 面 PDM,AR Z平 面 PDM所 以 A。平 面 PDW2分,3分 4分 5分(H)解：分 别 以 D 4,O C,。所 在 的 直 线 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 的 边 长 为。6 分。1则 D(0,
19、0,0),C(0,a,0),M(-,a,0),P(0,-a,-a)2 3 3.DP=(0，濯 a),D M=(j,tz,0)设 平 面 P D M 的 法 向 量 为 n=(x,y,z),令 x=2得 法 向 量 为=(2,-1,2)而 平 面 C O M的 法 向 量 为 加=(0,0,1)n-m 2cos=-=I|m|3所 以 二 面 角 P DW C 的 余 弦 值 为 237分 2 1 OP=0-a y+-a z=0由(3 3得.oQ Z kn-DM=01 八 ax-ay=)129 分 10分 11分 12分 20.(I)解：依 题 意，直 线/显 然 不 平 行 于 坐 标 轴，故/
20、可 化 为：x=-y-2kX _ y _ 2联 立 k 得（1+4攵 2）y2 4母+女 2（4机 2）=0（*）.1分 X2+4y2=m2由 直 线/与 椭 圆 相 交 于 两 个 不 同 的 点，得，6麦 2=16左 2 4后 2（1+4公）（4/2）0,即，”2 u（1+4公 4 k2（4 ni2设 4 内，%）,6区,%）由（*）式 得 X+y 2=T K，X%=；4,2.2分 1+4%1+44因 为。4 0 8=0,所 以%工 2+%=0.3分 即：（：X 2）（1 见 一 2）+%=，即：（5+1）X 2|（X+%）+4=.4分.4kk2（4-m2）把 弘+必=今 充 凶 必 代
21、入 化 简 整 理 得：公-=m_ l+4k220-w2依 题 意 点 C（2,0）因 为=2 3，彳 导 y=一 2%4k所 以-y22I+4 t2-3 2V 一 消 去 当 整 理 得 F（4-ffl2）-1+4 d.1+4公 4-m2 由 解 得,vi+VToK=-2,4 分,5分 6分（H）解：由（I）可 得 y=-2%，必=-T.7分 1 2 1+4/于 是，AOAB 的 面 积 S=g|O C|乂 一%1=31%I.8 分 1 2 k l 12 12=-S=、1+4/X+4|A：|4W其 中，上 式 取 等 号 的 条 件 是,2=上 1，即 A。钻 的 面 积 有 最 大 值.9
22、分 4由 必 二 l f 4黑 k 得 k=2-或 r k=2.10分 将 这 两 组 值 分 别 代 入（*）,均 可 解 出/=2 0.11分 所 以，K）A B的 面 积 取 得 最 大 值 的 椭 圆 方 程 是 x2+4 r=2 0.12分 21.解：（I）当。=1 时，f（x）=x2-x,g（九）=lnx设 直 线/与/（X）切 于 点 A（X 1,X；-X1）,与 g（x）切 于 点 8（入 2 1 1元 2）（元 2）f x）=2 x-,g（x）=1：.切 线/斜 率 z=2玉 一 1,同 时=-.1分 X x2/:y（%：与）二（2%一 l）（x%）,B P：丁=（2七 一
23、l）-x；同 时，/:y-ln x2=(x-x2),H P：y=x+nx2-1.2 分 x2 x2 为 同 一 直 线 方 程，所 以，1 12 九-1=1 7 1 3 x?可 得，In&=-*4-Q&+a，并 且 0 工 240.3 分 1 1 3下 面 为 了 研 究 方 程 I n/u 耳+工(0 入 2 4 6)解 的 情 况，I I 3构 造 函 数(%)=lnx2+%2+,工 2-(0 0)在(0,e上 是 增 函 数 又 人=01 1 Q 马=1是 方 程 比=-4 考 一 5 式 2+：(0 x20)Fr(x)=2 x-a-.6 分 x(i)当 a v O 时，F(x)0,此
24、时，尸。)在(0,+8)内 单 调 递 增 且 x 0 时，F(x)-oo,%十 8 时，F(x)+oo,此 时，尸(x)有 唯 一 零 点；.7 分(i i)当。0时，令 尸(x)=2 x-a 卫 二 q=0,其 两 根 为：X XC I a+8tz C l+y a+8tz.x.=-,x,=.8 分 4 4易 知 芭 0且 随 着。的 增 大 而 增 大 此 时，对 于 函 数 F(x)=/(x)-g(x)=x2-4/x-aln x(x 0)而 言 当 x e(O,9)时，F(x)0,f(x)单 调 递 增.X=X 2时，/。)取 得 极 小 值，也 是 最 小 值，E(x)最 小 值=尸(
25、)=一 嵇-a n x2.9分 又 由 当 F(x)=O得 到 的 2芯 一 这 2-。=0,消 去 考 可 得 尸(处 最 小 值=/(尤 2)=a(g-In/)/(%)=一;一 In)在(，+8)上 是 递 减 的，且/(1)=0人 a+a2+8a.,令=-=1,可 得 a=l又=a+随 着 的 增 大 而 增 大，且 x 0,F(x)0；x+oo,F(x)0.10 分 所 以，当 0。0,从 而 F(x)最 小 值 0,此 时 尸(x)无 零 点，当。=1 时，F(x2)=0,从 而 产(%)最 小 值=0,此 时 尸(龙)只 有 一 个 零 点，当。1时，F(X2)0,从 而 尸(工)
26、最 小 做 0,此 时 尸(x)恰 有 两 个 零 点.11分 综 上 所 述：当 0 或。=1时，尸。)只 有 一 个 零 点，当 0。v 1时，F(x)无 零 点，当。1时，/(%)恰 有 两 个 零 点.12分 22.解：(1)证 明：连 接 E。，BDV E E 是 圆。的 切 线 O E V E F在 A A B C 中 是 B C 边 的 中 点，。是 A 8 边 的 中 点：.O E/A C A A C L E F 在 圆。中 1分 C2分 3 分 A 3 为 直 径 Z.A C B D：.EF/BD在 凶 8 中 4 分；EF/BD,E 是 6 c 边 的 中 点,尸 是。边
27、的 中 点 CF=DF(II)设 3 c=2 r5 分,/AB=AC=2BC,EF=1,且 由(I)已 证 CF=-1,A)=4 2 j 1在 HzAABO中 AB2=AD2+DB2：.(4/)2=(4z-2dt2-1)2+22-初,且 4岳 解 得 t=“15，八 c 8715.AO=2t=-,15，BD=28 分 9 分 圆。的 面 积 为 S=%(殳 叵)21564万 10分 23.解：(I)设 M(x,y)是 曲 线 G 上 任 意 一 点，保 持 纵 坐 标 不 变，将 横 坐 标 x 伸 长 为 原 来 的 3 倍 后 得 到 点 那 么(r x一=正，即 正.1分*.*Cj:x2
28、+y2=1Y曲 线 c,的 方 程 为：+/=1-2-.2 分 参 数 方 程 为：卜 辰 山(以 参 数)y=sin 83 分由 I:pcosO 0)=4 可 得 直 线/的 直 角 坐 标 方 程 为 x+2 y=4 5 分(I I)设 直 线/的 平 行 直 线 小 x+2 y b结 合 图 像 可 知，当 4 曲 线 C?相 切 时 到 直 线/距 离 较 近 点 P,过 点 P 作 P Q J./于。，此 时 归。取 得 最 小 值，即 点 P 到 直 线/的 距 离 d 6 分 由 V2厂 2一+=2x+2 y=b1 消 去 x 整 理 得 6 y2-4 b y+h2-2=07 分
29、 令 A=(4份 2-4 x 6 x(-2)=0解 得 b=6 或 匕=-C遥(舍 去)8 分 TWT-.尸 堂,马 9 分 点 P 到 直 线/的 距 离 巫+2 x 巫 一 4=凡 3 3 4V5-V305 V l2+22ab当 且 仅 当。24.解：(I)：a,b,be t ad10分 5 分 6 分 值 为 6.(II)证 明：:(2ac+hd)(2ad+bc)=a1cd+h2cd+la b c2+2abd2=(4 2+b2)cd+2ab(c2+J2)(4/+b2)cd+2ab x 2cd=(4a2+4ab)cd=(2a+b)2 cd=cd7分.8分 9 分 当 且 仅 当。=。时，等 号 成 立，C2ac+bd)(2ad+be)cd 10分