《第三章排列、组合与二项式定理知识点总结梳理- 高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章排列、组合与二项式定理知识点总结梳理- 高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、新教材人教B版2019版数学选择性必修第二册第三章知识点清单目录第三章排列、组合与二项式定理3. 1 排列与组合3. 1. 1 基本计数原理3. 1. 2排列与排列数3. 1. 3 组合与组合数3. 2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟3. 3 二项式定理与杨辉三角 11 / 11学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第三章排列、组合与二项式定理3. 1 排列与组合3. 1. 1 基本计数原理一、分
2、类加法计数原理与分步乘法计数原理计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理任务完成一件事步骤完成它有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法完成它需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法结果完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法二、对两个计数原理的理解计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事不同点1. 完成一件事有n类办法，这n类办法之间是彼此
3、独立的. 2. 每一类中的每一种方法都能独立完成这件事. 3. 把各类办法中的方法数相加就是完成这件事的所有方法数1. 完成一件事需要若干个步骤，完成每个步骤又有若干种方法. 2. 只有每个步骤都完成了才算完成这件事，每个步骤缺一不可. 3. 把完成每个步骤的方法数相乘就是完成这件事的所有方法数注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整有些实际问题的解决，并不一定是单一的分类或分步，而是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要分步完成；分步时，每步的方法可能会采取分类的思想解决. 另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定. 在解题过程中，要注意列举法、树状图法
4、、间接法等的灵活应用. 三、利用计数原理解决涂色(种植)问题1. 利用计数原理解决涂色(种植)问题的方法(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理进行分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，再在每一类的方法数中应用分步乘法计数原理，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色(种植)方法数求和，即得到最终的涂色(种植)方法数. 3. 1. 2排列与排列数一、排列与排列数1. 排列的概念一般地，从n个不同对象中，任取m(mn)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 特别地，m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. 2. 排列数(1)排
5、列数的概念：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Anm表示. (2)排列数公式： Anm=n(n-1)(n-m+1)= n!(nm)!. 一般地，在Anm中，当m=n时，排列数公式为Ann=n(n-1)21=n!. 规定：0!=1； An0=1. 3. 所谓排成一列，是指与顺序有关，例如，排列AB与排列BA是不同的排列，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对.4. 符号Anm中，总是要求n和m都是正整数，且mn. 二、与排列数有关的计算1. 排列数运算的方法与技巧(1)拆项技巧：nn!=(n+1)!-n!； n1n!= 1(n1)!
6、- 1n!. (2)化简技巧： Anm=n An1m1， Anm+m Anm1= An+1m. 2. 解与排列数有关的方程或不等式的步骤(1)转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式；(2)求解：解转化后的普通方程或不等式；(3)检验：将所求结果代入原方程或原不等式中检验. 三、有限制条件的排列问题1. “在”与“不在”问题解决此类问题，常用的方法是特殊位置(对象)分析法，遵循的原则是优先排特殊位置(对象)，即需先满足特殊位置(对象)的要求，再处理其他位置(对象). 如果有两个及以上的约束条件，那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；当直接求解困难时，可考虑用间接法解题. 2
7、. “相邻”与“不相邻”问题(1)当对象被要求相邻时，通常采用“捆绑法”，即把相邻对象看作一个整体并与其他对象进行排列，要注意捆绑对象本身的内部排列. (2)当对象被要求不相邻时，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的对象的排列，再将不相邻对象插在前面对象形成的空中. 3. “定序”问题在排列问题中，某些对象已排定了顺序，对这些对象进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个对象的全排列中有m(mn)个对象的顺序固定，则满足题意的排法有AnnAmm种. 3. 1. 3 组合与组合数一、组合与组合数1. 组合的概念一般地，从n个不同对象中取出m(mn)个对象并
8、成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 2. 组合数(1)组合数的概念：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Cnm表示. (2)组合数公式： Cnm=AnmAmm=n(n1)n(m1)m(m1)21=n!(nm)!m!. 特别地， Cn0=1， Cn1=n， Cnn=1. (3)组合数的性质： Cnm=Cnnm，Cnm+1+Cnm=Cn+1m+1. 3. 所谓并成一组是指与顺序无关，例如，组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合. 4. 在符号Cnm中，总是要求n和m都是正整数，且mn. 二、与组合数有
9、关的计算与组合数有关的计算问题常用到组合数公式和组合数的性质，涉及具体数字的可以直接用公式Cnm=AnmAmm=n(n1)n(m1)m(m1)21计算，涉及字母的可以用Cnm=n!(nm)!m!计算，计算时应注意利用组合数的性质Cnm=Cnnm，Cnm+1+Cnm=Cn+1m+1. 另外要注意Cnm中m，n的范围. 三、分组与分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要对象个数相同，就是不可区分的，而后者即使两组对象个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的. 1. 分组问题的求解策略(1)非均匀不编号分组：将n个不同对象分成m(mn)组，每组对象数目均不相等，依次记为m1，m2，mm
10、，不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数N=Cnm1Cnm1m2Cn(m1+m2)m3Cn(m1+m2+mm1)mm. (2)均匀不编号分组：将n个不同对象分成不编号的m(mn)组，假定其中r组对象个数相等，不管是否分尽，其分法种数为NArr (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数). 若再有k组均匀分组，则应再除以Akk. (3)非均匀编号分组：将n个不同对象分成m(mn)组，各组对象数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为NAmm (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).(4)均匀编号分组：将n个不同对象分成m(mn)组，其中r组对象个数相等且考虑各组间的顺序，其分法种数为NA
11、rrAmm (其中N为非均匀不编号分组中的分法种数). 2. 相同对象分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，那么可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”. 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称为隔板法. 隔板法专门用于解决相同对象的分配问题. (2)将n个相同的物品分给m个不同的对象(nm)，有Cn1m1种方法. 可理解为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板. 四、排列、组合的综合应用解决排列、组合问题要遵循两个原则：按对象(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解决排列、组合问题常以对
12、象(或位置)为主体，即先满足特殊对象(或位置)，再考虑其他对象(或位置). 3. 2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟3. 3 二项式定理与杨辉三角一、二项式定理一般地，当n是正整数时，有(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn. 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a+b)n的展开式，它共有n+1项，其中Cnkan-kbk是展开式中的第k+1项(通常用Tk+1表示)，称为第k+1项的二项式系数，我们将Tk+1=Cnkan-kbk称为二项展开式的通项公式. 二、二项式系数的性质1. 对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
13、Cnr=Cnnr. 2. 单调性与最大值二项式系数从两端向中间逐渐增大，当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cnn2最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cnn12，Cnn+12相等，且最大. 3. 各二项式系数的和(1) Cn0+Cn1+Cnn=2n；(2) Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1. 三、杨辉三角的性质1. 每一行都是对称的，且两端的数都是1. 2. 从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和. 四、求二项展开式中的特定项(项的系数)1. 对于常数项，隐含的条件是字母的指数为0. 2. 对于有理项，一般先写出展开式的通项，然后
14、令其所有的字母的指数都等于整数. 求解时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解. 3. 对于整式项，其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 五、三项展开式问题1. 求三项展开式中特定项的方法(1)因式分解法：先通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法：先将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的展开. (3)利用组合知识：把三项式(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后把各个同类项合并. 六、利用二项式定理解决整除问题或求余问题1. 利用二
15、项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除. 因此，一般先将被整除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理. 2. 求余数时，要注意余数的取值范围，余数大于零且小于除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转换. 六、赋值法求展开式中的系数和赋值法是解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法. 要根据所求，灵活地对字母赋值，通常赋的值为0，-1或1. (1)对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，
16、b，cR，m，nN+)的式子，常令x=1；对形如(ax+by)n(a，bR，nN+)的式子，常令x=y=1. (2)一般地，令f(x)=(ax+b)n，即f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1)；奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(1)2；偶数项系数之和为a1+a3+a5+= f(1)f(1)2. 七、二项式系数的性质及应用1. 求展开式中二项式系数最大的项时，可直接根据性质(当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间项的二项式系数最大)求解. 2. 求二项展开式中系数的最大(小)值的思路(1)看成关于n的函数，结合函数的单调性判断系数的增减性，从而求出系数的最值(2)在系数均为正值的前提下，求它们的最大值只需比较相邻两个系数的大小，根据其展开式的通项列出不等式(组)即可. 八、杨辉三角问题解决与杨辉三角有关问题的一般思路