《空间向量及其运算导学案- 高三数学一轮复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量及其运算导学案- 高三数学一轮复习.docx（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高2024级 高考 一轮复习数学导学案 姓名： 使用时间： 第八章 第六节空间向量及其运算一、学习目标【课标解读】1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.【衍生考点】1.空间向量的线性运算2.共线定理、共面定理的应用3.空间向量数量积及应用二、相关知识回顾名称定义空间向量在空间中,具有和的量,其大小叫作向量的长度或模相等向量方向且模的向量相反向量方向且模的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相或的向量共面
2、向量平行于的向量【微点拨】空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容类比进行学习,将达到事半功倍的效果.【微思考】“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?2.空间向量中的有关定理 定理名称语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,使a=b共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb
3、+zc【微点拨】(1)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.(2)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.【微思考】基向量和基底一样吗?3.空间向量的数量积及运算律(1)非零向量a,b的数量积ab=|a|b|cos. 变形式:abab=0;|a|2=a2(2)空间向量数量积的运算律:结合律:(a)b=(ab);交换律:ab=ba;分配律:a(b+c)=ab+ac.【微点拨】向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(ab)c=a(bc)不一定成立.4.空间向量的坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=a12
4、+a22+a32.a+b=.a-b=.a=.ab=.cos=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32(a0,b0).(2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=,|AB|=|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.【微思考】空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗? 【常用结论】1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:(1)PA=PB(R);(2)对空间任一点O,OP=OA+tAB(tR);(3)对空间任一点O,OP=xOA+yOB(x+y=1).2.证明空间四点共面的
5、方法对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明共面:对空间任一点O,若OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1),则P,M,A,B四点共面.MP=xMA+yMB,则P,M,A,B四点共面.对空间任一点O,OP=OM+xMA+yMB,则P,M,A,B四点共面.PMAB(或PAMB或PBAM),则P,M,A,B四点共面.三、考点精讲精练考点一 空间向量的线性运算典例突破例1.(1)(2021江西师大附中模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M 为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是()A.-12a+12b+cB.
6、12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c(2)(2021河北张家口高三检测)在三棱锥O-ABC中,M是OA的中点,P是ABC的重心.设a=OA,b=OB,c=OC,则MP=()A.12a-16b+13cB.13a-12b+cC.-16a+13b+13cD.-a+13b-12c突破技巧空间向量线性运算中的三个关键点 对点训练1(2021吉林白城一中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量运算不正确的是()A.B1M=-12a+12b+cB.B1D=-a+b+cC.A1C=a+b+cD.A1M
7、=-12a-12b+c考点二 共线定理、共面定理的应用典例突破例2.(1)(2021浙江舟山中学月考)若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=()A.0B.1C.2D.3(2)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM=13(OA+OB+OC).判断MA,MB,MC三个向量是否共面;判断点M是否在平面ABC内. 突破技巧证明三点共线和空间四点共面的方法 证明三点P,A,B共线证明空间四点M,P,A,B共面PA=PB(R)MP=xMA+yMB(x,yR)对空间任一点O,OP=OA+tAB(tR)对空间任一点O,OP
8、=OM+xMA+yMB(x,yR)对空间任一点O,OP=xOA+(1-x)OB(xR)对空间任一点O,OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB(x,yR)对点训练2(1)(2021福建厦门一中月考)已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为()A.-4B.1C.10D.11(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0k1).判断向量MN是否与向量AB,AA1共面.考点三 空间向量数量积及应用(多考向探究)考向1.求空间向量的数量积典例突破例3.(2021河北
9、石家庄一中月考)在空间四边形ABCD中,ABCD+ACDB+ADBC=()A.-1B.0C.1D.不确定突破技巧空间向量的数量积运算的两条途径 对点训练3已知O点为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QAQB取得最小值时,OQ的坐标是.考向2.空间向量数量积的应用典例突破例4.(1)(2021全国高二课时练习)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60,其模均为1,则|a-b+2c|=()A.5B.6C.5D.6(2)(2021河北曹妃甸一中模拟)空间向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),如果ab,则|b
10、|=.(3)(2021广东深圳高三质量评估)已知a=(1,2,3),b=(2,3,5),则以a,b所对应的有向线段为邻边的平形四边形的面积是.突破技巧空间向量数量积的3个应用 求夹角设向量a,b夹角为,则cos =ab|a|b|,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2=aa,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题对点训练4如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=120.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)求证:AA1BD. 5学科网（北京）股份有限公司