《11.5 解三角形综合练习（提优）-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（苏教版2019必修第二册）试卷及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《11.5 解三角形综合练习（提优）-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（苏教版2019必修第二册）试卷及答案.docx（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、11.4 解三角形综合练习（提优）一选择题（共8小题）1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=23，b23，b2+c2a2=3bc若BAC的平分线与BC交于点E，则AE（）A6B7C22D32在ABC中，若sinA（sinB+cosB）sinC0，sinB+cos2C0，a4，则ABC的面积为（）A2+43B4+3C6+23D8+433在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，则下列结论正确的是（）AsinA：sinB：sinC4：5：8BABC的最大内角是最小内角的2倍CABC是钝角三角形D若c6，则ABC外接圆半径
2、为4774在ABC中，cosA+cosB=3，AB=23当sinA+sinB取最大值时，ABC内切圆的半径为（）A23-3B22-2C13D25菱形ABCD的边长为6，A60，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=23，则线段AP的长为（）A23B22C22或42D23或436已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，bsinC22ccosB，b=3，则当ABC的周长最大时，ABC的面积为（）A324B334C934D327已知ABC的内角为A，B，C满足sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且ABC的面积为2，则ABC外接圆面积等于（）A2B4C8D168在A
3、BC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac4，acosC+3ccosA0，则ABC面积的最大值为（）A1B3C2D4二多选题（共4小题）9在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r3，满足acosA+bcosB+ccosC=R3，ABC的面积SABC6，则（）Aa+b+c4BR6CsinA+sinB+sinC=16Dsin2A+sin2B+sin2C=1310在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c6记S为ABC的面积，下列命题正确的是（）A若C=3，则S有最大值93B若A=6，a=23，则S有最小值33C若a2b，则cosC有最小值
4、0D若a+b10，则sinC有最大值242511已知ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a6，4sinB5sinC，有以下四个命题其中正确命题有（）A满足条件的ABC可能是锐角三角形B满足条件的ABC不可能是直角三角形C当A2C时，ABC的周长为15D当A2C时，若O为ABC的内心，则AOB的面积为712已知对任意角，均有公式sin2+sin22sin（+）cos（）设ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）sin（CAB）+12，面积S满足1S2记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）AsinAsinBsinC=18B2asinA22C8
5、abc162Dbc（b+c）8三填空题（共4小题）13已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，ac5，且a2b2+bccosA=-725ac，G为ABC的重心，则|GA|14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB1-cosB=4asinB，a+c=41，ABC的面积为2，则b15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为1若acosA+bcosB+ccosC=13，则ABC的面积为16在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosAa（2-cosC），c2，D为AC上一点，AD：DC1：3，则ABC面积最大时
6、，BD四解答题（共8小题）17在2acosC+c2b，cos2B-C2-cosBcosC=34，（sinB+sinC）2sin2A+3sinBsinC，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_（1）求角A的大小；（2）若a=3，ABC的面积为32，求ABC的周长18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题2b-ca=cosCcosA；4cos（B+C）+2cos2A3；a3cosA=bsin(A+C)（1）求A；（2）若b+c=42，ABC的面积为332，求a19已知a，b，c分别是ABC的
7、内角A，B，C所对的边，且满足a(sinA-12sinB)=(sinC+sinB)(c-b)，c4（）求ABC的外接圆的半径；（）求ABC的面积的最大值20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3asinBbcosBcosCccos2B（1）求角B的值；（2）若A=6，且ABC的面积为73，求BC边上的中线AM的长21如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC=7（1）求cosCAD的值；（2）若cosBAD=-714，sinCBA=216，求BC的长22在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosBacosC+ccosA（1）求角B的大小；（2）若
8、线段BC上存在一点D，使得AD2，且AC=6，CD=3-1，求SABC23在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosAccosB+bcosC（1）若a4，ABC的面积为15，求b，c的值；（2）若sinBksinC（k0），且ABC为钝角三角形，求k的取值范围24在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A(3-1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜（1）求线段BC的长度；（2）求ACB的大小；（参考数值：sin15=6-
9、24，cos15=6+24）（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？11.4 解三角形综合练习（提优）一选择题（共8小题）1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=23，b23，b2+c2a2=3bc若BAC的平分线与BC交于点E，则AE（）A6B7C22D3【分析】由已知利用余弦定理可得cosA，结合A的范围及三角形内角和定理可求C，由正弦定理可得ac2，利用角平分线的性质求得BE的值，再在ABE中由余弦定理可得AE的值【解答】解：因为b2+c2a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，因为A（0，），所以A=6，因为B=23，b23，
10、所以CAB=6，由正弦定理，可得asin6=csin6=23sin23，解得ac2，因为BAC的平分线与BC交于点E，所以BECE=ABAC=223，即CE=3BE，所以由BE+CEBE+3BE2，可得BE=23+1=3-1，在ABE中，由余弦定理可得AE=AB2+BE2-2ABBEcosB=22+(3-1)2-22(3-1)cos23=6故选：A【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题2在ABC中，若sinA（sinB+cosB）sinC0，sinB+cos2C0，a4，则ABC的面积为（）A2+4
11、3B4+3C6+23D8+43【分析】由题意整理已知等式可得sinB（sinAcosA）0，进而判断出cosAsinA，求得A，进而求得B+C，进而根据sinB+cos2C0，利用两角和的公式求得cosB的值，求得B和C，利用正弦定理可求b，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：由sinA（sinB+cosB）sinC0，sinAsinB+sinAcosBsin（A+B）0sinAsinB+sinAcosBsinAcosBcosAsinB0sinB（sinAcosA）0B（0，），sinB0，从而cosAsinA由A（0，），知A=4，从而B+C=34由sinB+cos2C0，得sinB
12、+cos2（34-B）0即sinBsin2B0可得sinB2sinBcosB0由此得cosB=12，B=3，C=512，a4，由正弦定理可得422=b32，可得b26，SABC=12absinC=12426sin512=46sin（6+4）6+23故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，则下列结论正确的是（）AsinA：sinB：sinC4：5：8BABC的最大内角是最小内角的2倍CABC是钝角三角
13、形D若c6，则ABC外接圆半径为477【分析】不妨设a+b9m，a+c10m，b+c11m，解出a、b、c，确定最大角和最小角由正弦定理可判断选项A；由余弦定理求出cosA和cosC，再结合余弦的二倍角公式可判断选项B；由cosC0，可判断选项C；由csinC=2R，可计算出ABC外接圆半径R，从而判断选项D【解答】解：不妨设a+b9m，a+c10m，b+c11m，解得a4m，b5m，c6m，由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，sinA：sinB：sinCa：b：c4：5：6，即选项A错误；cba，最大的内角为C，最小的内角为A，由余弦定理知，cosA=b2+c2-a22bc=2
14、5m2+36m2-16m225m6m=34，cosC=a2+b2-c22ab=16m2+25m2-36m224m5m=180，若C2A，则cosCcos2A2cos2A12(34)2-1=18，符合题意，即选项B正确；cosC0，C为锐角，即选项C错误；cosC=18，sinC=378，csinC=2R，ABC外接圆半径R=126378=877，即选项D错误故选：B【点评】本题考查解三角形和三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题4在ABC中，cosA+cosB=3，AB=23当sinA+sinB取最大值时，A
15、BC内切圆的半径为（）A23-3B22-2C13D2【分析】设sinA+sinBz，把正、余弦的和两个式子平方相加可转化成三角函数，当AB时，sinA+sinB取最大值，进而由已知cosA+cosB=3求出AB=6，再根据边AB23可求ABC的另两边由ABC内切圆的半径r满足S=12r（a+b+c）求出r【解答】解：设sinA+sinBz，cosA+cosB=3把两式平方相加得：z2+31+1+2（cosAcosB+sinAsinB）2+2cos（AB），即z=2cos(A-B)-1，则AB时，sinA+sinB取最大值，所以有cosA+cosB=3=2cosA得cosA=32，A（0，），则
16、AB=6，又AB23，所以CACB2，由S=12r（a+b+c），所以r=2Sa+b+c=21222sin232+2+23=23-3故选：A【点评】本题首先整体对两个三角式子化简求值，再利用三角形的内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过解三角形求出半径，有一定的综合性5菱形ABCD的边长为6，A60，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=23，则线段AP的长为（）A23B22C22或42D23或43【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，ADAB，DPBP，APBD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角A
17、BM中，BAM30，AMABcos3033，BMABsin303，PM=PB2-BM2=3，APAM+PM43；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点APAMPM23；当P与M重合时，PDPB3，与PBPD23矛盾，舍去AP的长为43或23故选：D【点评】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系APBD，这是解决本题的关键，属于中档题6已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，bsinC22ccosB，b=3，则当ABC的周长最大时，ABC的面积为（）A324B334C934D32【分析】利用正弦定理将bsinC22ccosB中的边化角，可得tanB，sinB
18、和cosB的值，再结合余弦定理和基本不等式求得ac=94，而S=12acsinB，进而得解【解答】解：由正弦定理，知bsinB=csinC，bsinC22ccosB，sinBsinC22sinCcosB，sinC0，sinB22cosB，即tanB22，sinB=223，cosB=13，由余弦定理知，b23a2+c22accosB（a+c）2-83ac（a+c）2-83(a+c2)2=13（a+c）2，当且仅当ac=32时，等号成立，a+c3，此时ac=94，ABC的面积S=12acsinB=1294223=324故选：A【点评】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合运用，涉及边化角的思想
19、，还运用了基本不等式求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题7已知ABC的内角为A，B，C满足sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且ABC的面积为2，则ABC外接圆面积等于（）A2B4C8D16【分析】据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinAsinBsinC=18，利用正弦定理，三角形的面积公式，可得S2R2=18，求得R，即可计算得解外接圆的面积【解答】解：sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且A+B+C，sin2A+sin2B+sin2C=12，2sinAcosA+2sin（B+C）cos（BC）=12，2sin
20、A（cos（BC）cos（B+C）=12，化为2sinA2sinBsin（C）=12，sinAsinBsinC=18设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC=2R，由S=12absinC，及正弦定理得：sinAsinBsinC=S2R2=18，由于S2，可得：R24S8，可得R22，ABC外接圆面积SR28故选：C【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用、正弦定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题8在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac4，acosC+3ccosA0，则ABC面积的最大值为（）A1
21、B3C2D4【分析】ABC中，acosC+3ccosA0，利用余弦定理可得：2b2a2c2结合ac4，a，b都用c表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得cosB的最小值，可得sinB的最大值，即可得出三角形面积的最大值【解答】解：ABC中，acosC+3ccosA0，aa2+b2-c22ab+3cb2+c2-a22bc=0，化为：2b2a2c2ac4，a=4c，b2=16c2-c22=8c2-c22cosB=a2+c2-b22ac=16c2+c2-(8c2-c22)8=8c2+3c22828c23c228=32，当且仅当c2=433，b2=433，a243时取等号B(0，6sinB12则A
22、BC面积的最大值=12acsinB12412=1故选：A【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题二多选题（共4小题）9在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r3，满足acosA+bcosB+ccosC=R3，ABC的面积SABC6，则（）Aa+b+c4BR6CsinA+sinB+sinC=16Dsin2A+sin2B+sin2C=13【分析】由已知利用三角形的面积公式即可判断A；利用正弦定理化简已知等式即可判断D；利用三角形的面积公式即可判断B；利用正弦定理即可判断C【解答】解：因为SABC=12(a+
23、b+c)r=32（a+b+c）6，解得：a+b+c4，故A正确；因为acosA+bcosB+ccosC=R3，所以2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC=R3，即sin2A+sin2B+sin2C=13，D正确；若ABC为锐角三角形，SABC=12R2sin2A+12R2sin2B+12R2sin2C=12R213=6，所以R6，若ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，故B正确；因为a+b+csinA+sinB+sinC=2R12，所以sinA+sinB+sinC=13，故C错故选：ABD【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理的综合应用，考查了数形结合
24、思想和分类讨论思想，属于中档题10在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c6记S为ABC的面积，下列命题正确的是（）A若C=3，则S有最大值93B若A=6，a=23，则S有最小值33C若a2b，则cosC有最小值0D若a+b10，则sinC有最大值2425【分析】对于A，由题意利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解；对于B，由已知利用余弦定理可得b263b+240，解得b的值，利用三角形的面积公式即可求；对于C，由余弦定理可得cosC=54-9b2，又由三角形的性质可得2b6，可得当2b6655时，cosC0，即可得解；对于D，由余弦定理可求cos
25、C=32ab-1，进而利用基本不等式即可求解【解答】解：对于A，当C=3，则由余弦定理可得36a2+b22abcos3，可得a2+b236ab2ab，则ab36，可得S=12absinC93，当且仅当ab6时取得最大值，故A正确；对于B，当A=6，a=23，由余弦定理1236+b226bcos6，即b263b+240，解得b23，或43，则Smin=1262312=33，故B正确；对于C，当a2b，cosC=a2+b2-362ab=5b2-364b2=54-9b2，又由三角形的性质可得2b6，所以当2b6655时，cosC0，故C错误；对于D，当a+b10，则由余弦定理可知，cosC=a2+b
26、2-362ab=(a+b)2-2ab-362ab=32ab-1，由a+b102ab，则ab25，cosC725，sinC2425，当且仅当ab5时取得最大值，故D正确故选：ABD【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题11已知ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a6，4sinB5sinC，有以下四个命题其中正确命题有（）A满足条件的ABC可能是锐角三角形B满足条件的ABC不可能是直角三角形C当A2C时，ABC的周长为15D当A2C时，若O为ABC的内心，则AOB的面积为7【分析】对于A，由已知利用正弦定
27、理可得4b5c，设b5t，c4t，由16t2+25t2360，可得t64141，即可判断；对于B，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C，运用正弦定理可得4b5c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积【解答】解：对于A，由于a6，4sinB5sinC，利用正弦定理可得4b5c，设b5t，c4t，由16t2+25t2360，可得t64141，所以满足条件的ABC可能是锐角三角形，故A正确；对于B，由于a6，4sinB5sinC，利用正弦定理可得4b5c，设b5t，c4t，由36+16t225t2，可得t=4
28、3，满足条件的ABC可能是直角三角形，故B错误；对于C，a6，4sinB5sinC，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b=5c4，由bsinB=csinC，可得5c4sin(-3C)=csinC=5c4sinC(4cos2C-1)，由sinC0，可得：4cos2C1=54，解得：cosC=34，或-34（舍去），sinC=1-cos2C=74，可得sinA2sinCcosC23474=378，可得6378=c74，可得：c4，b5，则a+b+c15，故C正确；对于D，a6，4sinB5sinC，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b=5c4，由bsinB=csinC，
29、可得5c4sin(-3C)=csinC=5c4sinC(4cos2C-1)，由sinC0，可得：4cos2C1=54，解得：cosC=34，或-34（舍去），sinC=1-cos2C=74，可得sinA2sinCcosC23474=378，可得6378=c74，可得：c4，b5，可得SABC=12bcsinA=1254378=1574设ABC的内切圆半径为R，则R=2Sa+b+c=215744+5+6=72，SABO=12cR=12472=7故D正确故选：ACD【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题12已知对任意角，均有公式
30、sin2+sin22sin（+）cos（）设ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）sin（CAB）+12，面积S满足1S2记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）AsinAsinBsinC=18B2asinA22C8abc162Dbc（b+c）8【分析】根据三角函数诱导公式、和差化积公式、两角和与差的的余弦公式、正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明逐一即可得到结论【解答】解：因为ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）sin（CAB）+12，所以sin2A+sin2B=-sin2C+12，所以sin2A+sin2B+s
31、in2C=12，所以sin（A+B）+（AB）+sin（A+B）（AB）+sin2C=12，所以2sin(A+B)cos(A-B)+sin2C=12，从而得：2sinC(cos(A-B)-cos(A+B)=12，所以有sinAsinBsinC=18，故A正确；设外接圆的半径为R，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2R，所以S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=R241，2，所以R2，22，所以asinA=2R4，42，故B错误；abc=8R2sinAsinBsinC8，162，故C正确；bc（b+c）abc8，故D正确故选：ACD【点评】本题考查了两角和差化积公
32、式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题三填空题（共4小题）13已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，ac5，且a2b2+bccosA=-725ac，G为ABC的重心，则|GA|17【分析】由已知利用余弦定理化简已知等式可得cosB的值，根据三角形重心的性质，余弦定理可求AD的值，进而即可求解AG的值【解答】解：因为ac5，且a2b2+bccosA=-725ac，由余弦定理可得：b2+c2a22bccosA，a2b2+b2+c2-a22=-14，可得a2+c2b214，可得：cosB=a2+c2-b22ac=-1
33、4255=-725，G为ABC的重心，如图，E，F，D分别为中点，可得BD=52，在ABD中，由余弦定理可得AD=AB2+BD2-2ABBDcosB=52+(52)2-2552(-725)=3172，AG=23AD=233172=17故答案为：17【点评】本题考查了余弦定理、三角形重心性质在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB1-cosB=4asinB，a+c=41，ABC的面积为2，则b3【分析】利用三角形的内角和定理与正弦定理化边为角，可推出sinB4（1cosB），再由sin2B+cos2B1，可
34、求出cosB和sinB的值，然后根据S=12acsinB，求得ac的值，最后由余弦定理，即可得解【解答】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，bcosC+ccosB1-cosB=4asinB，sinBcosC+sinCcosB1-cosB=4sinAsinB，即sin(B+C)1-cosB=4sinAsinB，A+B+C，sin（B+C）sinA，又sinA0，sinB4（1cosB），将其左右两边平方，得sin2B16（12cosB+cos2B），sin2B+cos2B1，17cos2B32cosB+150，解得cosB=1517或1（舍），sinB=1-cos2B=817，
35、ABC的面积为2，S=12acsinB=417ac2，ac=172，由余弦定理知，b2a2+c22accosB，b2（a+c）22ac2accosB412172-21721517=9，b3故答案为：3【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式、余弦定理与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为1若acosA+bcosB+ccosC=13，则ABC的面积为16【分析】设ABC的外接圆的半径为R，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsi
36、nBsinC=112，进而根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：设ABC的外接圆的半径为R，因为acosA+bcosB+ccosC=R3，所以2acosA+2bcosB+2ccosC2R=13，所以2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC=13，即sin2A+sin2B+sin2C=13，所以sin（A+B）+（AB）+sin（A+B）（AB）+sin2C=13，则2sin（A+B）cos（AB）+2sinCcosC=13，因为A+B+C，所以sin（A+B）sinC，cos（A+B）cosC，所以2sinCcos（AB）2sinCcos（A+B）=13，所以2sinCco
37、s（AB）cos（A+B）=13，所以4sinAsinBsinC=13，即sinAsinBsinC=112，设ABC的面积为S，则S=12absinC2sinAsinBsinC2112=16故答案为：16【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosAa（2-cosC），c2，D为AC上一点，AD：DC1：3，则ABC面积最大时，BD62【分析】由2c，结合三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，可得b=2a，再由三角形的海伦面积公式，化简整理，结
38、合二次函数的最值求法，可得三角形的面积取得最大值时a的值，再由余弦定理计算可得所求值【解答】解：2cosAa（2-cosC），c2，ccosA=2a-acosC，由正弦定理可得sinCcosA+sinAcosC=2sinA，sin（A+C）sinB=2sinA，b=2a，由p=2+a+2a2，pa=2-a+2a2，pc=a+2a-22，pb=2+a-2a2，由三角形的海伦面积公式可得SABC=p(p-a)(p-b)(p-c)=2+a+2a22+a-2a22-a+2a22a-2+a2=14(2+a)2-2a22a2-(2-a)2=144a+(4-a2)4a-(4-a2)=1416a2-(4-a2
39、)2=14-a4+24a2-16=14-(a2-12)2+128，当a212，即a23时，b26，ABC的面积取得最大值，D为AC上一点，AD：DC1：3，AD=62，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=24+4-122262=4+64-BD22262，解得BD=62故答案为：62【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查二次函数的最值求法，化简运算能力，属于难题四解答题（共8小题）17在2acosC+c2b，cos2B-C2-cosBcosC=34，（sinB+sinC）2sin2A+3sinBsinC，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在A
40、BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_（1）求角A的大小；（2）若a=3，ABC的面积为32，求ABC的周长【分析】（1）选，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinC0，可得cosA=12，结合A（0，），可求A的值选，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA的值，结合A(0，2)，可得A的值选，利用平方和公式，正弦定理，余弦定理化简已知可得cosA的值，结合A（0，），可得A的值（2）由余弦定理可得b2+c2bc3，进而根据三角形的面积公式可求bc的值，从而可求b+c3，即可得解ABC的周长的值【解答】解：（1）选，由正弦定理得2sinAcosC+sinC
41、2sinB2sin（A+C）2（sinAcosC+cosAsinC），即sinC（2cosA1）0因为C（0，），所以sinC0，所以cosA=12又A（0，），从而得A=3选，因为cos2B-C2-cosBcosC=1+cos(B-C)2-cosBcosC=1-cosBcosC+sinBsinC2=1-cos(B+C)2=34，所以cos(B+C)=-12，cosA=-cos(B+C)=12又因为A(0，2)，可得A=3选，因为（sinB+sinC）2sin2A+3sinBsinC，所以sin2B+sin2C+2sinBsinCsin2A+3sinBsinC，即sin2B+sin2Csin2
42、AsinBsinC，所以b2+c2a2bc，cosA=b2+c2-a22bc=12因为A（0，），可得A=3，（2）由余弦定理a2b2+c22bccosA，得b2+c2bc3，由SABC=12bcsinA=12bc32=32，得bc2，所以b+c3，故a+b+c=3+3【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，完全平方公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题2b-ca=cosCcosA；4cos（B+C）+2cos2A3；a3cosA=bsin(A+C)（1）求A；（2）若b+c=42，ABC的面积为332，求a【分析】（1）若选，根据正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA=12，结合A（0，），可求A；若选，利用三角函数恒等变换的应用可求cosA=12，结合A（0，），可得A的值；若选，由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=3，结合A（0，），可得A的值（2）由题意利用三角形的面积公式可求bc的值，进而由余弦定理可求a的值【解答】解：（1）若选，根据正弦定理及题意，得2b-ca=2sinB-sinCsinA