《【精品】2019年北京卷文数高考试题文档_中学教育-试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精品】2019年北京卷文数高考试题文档_中学教育-试题.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文）（北京卷）本试卷共 5页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|1x1，则 A B=（A）（1，1）（B）（1，2）（C）（1，+）（D）（1，+）（2）已知复数z=2+i，则z z（A）3（B）5（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）12y x（B）y=2x（C）12log y
2、x（D）1yx（4）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线2221xya（a0）的离心率是 5，则 a=（A）6（B）4（C）2（D）12（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足 2 12152 lgEm mE，其中星等为 km的星的亮度为 kE（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是 1.45，则太阳与天狼星的亮度
3、的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10.110（8）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+2sin 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知向量a=（4，3），b=（6，m），且a b，则 m=_（10）若 x，y 满足2,1,4 3 1 0,xyx y则y x的最小值为 _，最大值为 _（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为
4、_（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为 _（13）已知l，m是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：l m；m；l 上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周
5、上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价 达到 120元，顾客就少付 x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%当 x=10 时，顾客一次
6、购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 _ 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在 ABC 中，a=3，2 b c，cosB=12（）求 b，c 的值；（）求sin（B+C）的值（16）（本小题 13 分）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记 an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主
7、要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于 2000 元 大于 2000 元仅使用A 27人3人仅使用B 24人1人（）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元结合（）
8、的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若 ABC=60，求证：平面 PAB 平面 PAE；上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮
9、度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是（）棱 PB上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由（19）（本小题 14 分）已知椭圆 2 22 2:1x yCa b的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A（）求椭圆 C的方程；（）设 O为原点，直线:(1)l y kx t t与椭圆 C交于两个不同点 P，Q，直线 AP与 x轴交于点 M，
10、直线 AQ与 x轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点（20）（本小题14分）已知函数3 21()4f x x x x（）求曲线()y f x的斜率为 1 的切线方程；（）当 2,4 x时，求证：6()x f x x；（）设()|()()|()F x f x x a a R，记()F x在区间 2,4上的最大值为 M（a），当 M（a）最小时，求 a 的值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调
11、递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.【答案】C【解析】根据并集的求法直
12、接求出结果.【详解】|1 2,|1 A x x B x，(1,)A B，故选 C.【点睛】考查并集 求法，属于基础题.2.【答案】D【解析】题先求得 z，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】z 2 i,z z(2 i)(2 i)5故选 D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.3.【答案】A【解析】根据函数图像性质可得出结果.【详解】函数 122,logxy y x，1yx在区间(0,)上单调递减，函数 12y x在区间(0,)上单调递增，故选 A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴 含数形结合思想，属于容易题.4.
13、【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，=1 k，22 123 1 2s，运行第二次，2 k，22 223 2 2s，运行第三次，3 k，22 223 2 2s，结束循环，输出=2 s，故选 B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.5.【答案】D【解析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.的上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也
14、不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是【详解】分析：详解：双曲线的离心率 5cea，21 c a，215aa，解得 12a，故选 D.【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.6.【答案】C【解析】根据定义域为 R的函数()f x 为偶函数等价于
15、()=()f x f x进行判断.【详解】0 b时，()cos sin cos f x x b x x,()f x为偶函数；()f x为偶函数时，()=()f x f x对任意的 x恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b xcos sin cos sin x b x x b x，得 0 bsinx对任意的 x恒成立，从而 0 b.从而“0 b”是“()f x为偶函 数”的充分必要条件，故选 C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【答案】D【解析】先求出 12lgEE，然后将对数式换 指数式求 12EE，再求 12EE.【详解】
16、两颗星的星等与亮度满足 12 125lg2Em mE,令 21.45 m，126.7 m，12 122 21g(1.45 26.7)10.15 5Em mE，10.1 10.11 22 110 10E EE E，故选 D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.8.【答案】B【解析】阴影部分的面积 S=S PAB+S1-S OAB.其中 S1、S OAB的值为定值.当且仅当 S PAB取最大值时阴影部分的面积 S 取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选
17、择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是此时 BOP=AOP=-,面积 S 最大值为 2+S P
18、OB+S POA=4+12|OP|OB|sin（-）+12|OP|OA|Sin（-）=4+2 Sin+2Sin=4+4 Sin，故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.【答案】8.【解析】利用a br r转化得到0 a b?r r加以计算，得到m.【详解】向量4,3 6,a b m a br r r r（），（），则?0 4 6 3 0 8 a b m mr r，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量
19、的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10.【答案】(1).3.(2).1.【解析】作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.【详解】作出可行域如图阴影部分所示.的上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的
20、定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是设 z=y-x,则y=x+z.当直线l0：y=x+z经过点A（2,-1）时,z取最小值-3，经过点B（2,3）时,z取最大值1.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.11.【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线 y2=4x
21、 中，2P=4，P=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.12.【答案】40.【解析】画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积 V=43-12（2+4）2 4=40【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.13.【答案】如果 l，m，则 l m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分
22、别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果 l，m，则 l m.正确；（2）如果l，lm，则m不正确，有可能m在平面内；（3）如果 l m，m，则 l 不正确，有可能 l 与 斜交、l【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.14.【答案】(1).130.(2).15.【解析】（1）将购买的草莓和西瓜加钱与 120 进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据120 y、120 y分别探究.【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出
23、符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 y元，120 y 元时，李
24、明得到的金额为 y 80%，符合要求.120 y元时，有（y-x）80%y 70%成立，即8（y-x）y，x8y，即x（8y）min=15元.所以 x 的最大值为 15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15.【答案】（）75bc；（）3 314.【解析】()由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值；()由题意结合余弦定理、同角三角函数基本关系和诱导公式可得sin B C的值.【详解】（）由余弦定理可得2 2 21cos2 2a c bBac，因为3 a，所以2
25、23 9 0 c b c；因为2 b c，所以解得75bc.（）由（）知3,7,5 a b c，所以2 2 213cos2 14b c aAbc；因为 A 为ABC的内角，所以2co3 3sin1s 14A A.因为3 3sin()sin()sin14B C A A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系、诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.【答案】（）2 12na n；（）当5 n或者6 n时，nS取到最小值30.【解析】()由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得na的通项公式；()首先求得nS的表达式，然后结合二次函数的性质可
26、得其最小值.【详解】（）设等差数列na的公差为d，因为2 3 4+10+8+6 a a a，成等比数列，所以23 2 4(+8)(+10)(+6)a a a，上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最
27、大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是即 2(2 2)(3 4)d d d，解得 2 d，所以 10 2(1)2 12na n n.（）由（）知 2 12na n,所以 2 210 2 12 11 12111()2 2 4nnS n n n n；当 5 n或者 6 n时，nS取到最小值 30.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数 列的有关公式并能灵活运用.17.【答案】（）400人；（）125；（）见解析.【解
28、析】()由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；()利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于 2000 元的概率；()结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（）由图表可知仅使用 A的人数有 30人，仅使用 B的人数有 25人，由题意知 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，所以样本中两种支付方式都使用的有100 30 25 5 40，所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000 400100（人）.（）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率为125.（）由（）知支付金额大于2000元的概率为125，因
29、为从仅使用 B 的学生中随机调查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析.【解析】()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；()由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；()由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（
30、）证明：因为 PA 平面ABCD,所以 PA BD；因为底面ABCD是菱形，所以AC BD;因为PA AC A I,PA AC平面PAC,所以 BD 平面PAC.（）证明：因为底面ABCD是菱形且60 ABC，所以ACD为正三角形，所以 AE CD,上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等
31、是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是因为/AB CD,所以 AE AB；因为 PA平面 ABCD，AE 平面 ABCD,所以 AE PA；因为 PA AB A I所以 AE 平面 PAB，AE平面 PAE,所以平面 PAB平面 PAE.（）存在点 F 为 PB 中点时，满足/CF 平面 PAE；理由如下:分别取,PB PA的中点,F G，连接,CF FG EG,在三角形 P
32、AB 中，/FG AB 且 12FG AB；在菱形 ABCD中，E 为 CD中点，所以/CE AB且 12CE AB，所以/CE FG且 CE FG，即四边形 CEGF为平行四边形，所以/CF EG;又 CF 平面 PAE，EG 平面 PAE，所以/CF 平面 PAE【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力.19.【答案】（）2212xy；（）见解析.【解析】()由题意确定 a,b 的值即可确定椭圆方程；()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点
33、.【详解】（）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A,所以1 b，所以2 2 22 a b c，故椭圆的方程为2212xy.（）设1 1 2 2(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)xyy kx t t得2 2 2(1 2k)4 2 2 0 x ktx t，上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮
34、度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是21 2 1 22 24 2 20,1 2 1 2kt tx x x xk k，1 2 1 222()21 2ty y k x x tk，2 22 21 2 1 2 1 222()1 2t ky y k x x kt x x tk.直线 111:1yAP y xx，令 0 y得 11
35、1xxy，即 111xOMy；同理可得 221xONy.因为 2 OM ON,所以 1 2 1 21 2 1 2 1 221 1()1x x x xy y y y y y；22112 1tt t，解之得 0 t，所以直线方程为 y kx，所以直线 l恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题 20.【答案】（）0 x y和 27 27 64 0 x y.（）见解析；（）3 a.【解析】()首先求解
36、导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；()由题意分别证得 6 0 f x x和 0 f x x即可证得题中的结论；()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得 a的值.【详解】（）23()2 14f x x x，令 23()2 1 14f x x x得 0 x或者 83x.当 0 x时，(0)0 f，此时切线方程为 y x，即 0 x y；当 83x时，8 8()3 27f，此时切线方程为 6427y x，即 27 27 64 0 x y；综上可得所求切线方程为 0 x y和 27 27 64 0 x y.（）设 3 21()()4g x f x x x x，
37、23()24g x x x，令 23()2 04g x x x得 0 x或者 83x，所以当 2,0 x时，()0 g x，()g x为增函数；当 8(0,)3x时，()0 g x，()g x为减函数；当 8,43x时，()0 g x，()g x为增函数；而(0)(4)0 g g，所以()0 g x，即()f x x；上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两
38、颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是同理令 3 21()()6 64h x f x x x x，可求其最小值为(2)0 h，所以()0 h x，即()6 f x x，综上可得 6()x f x x.（）由（）知 6()0 f x x，所以()M a是,6 a a中的较大者，若 6 a a，即 3 a 时，
39、()3 M a a a；若 6 a a，即 3 a时，()6 6 3 M a a a；所以当()M a最小时，()3 M a，此时 3.【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学 思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.上作答无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回第一部分选择题共分一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项已知集合则已知复数则下列函数中在区间上单调递增的是执行如图所示的程序 充分条件既不充分也不必要条件在天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是天狼星的星等是则太阳与天狼星的亮度的比值为如图是半径为的圆周上的定点 分已知向量且则若满足则的最小值为最大值为设抛物线的焦点为准线为则以为圆心且与相切的圆的方程为某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为那么该几何体的体积为已知是