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1、名师总结 优秀知识点 一元二次方程 1.一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。注意：三个要点，只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是 2；是整式方程。2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b 的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b 或者x a b，x a b。注意：若 b0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：将方程右边得各项
2、移到方程左边，使方程右边为 0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。（3）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a 的一般步骤 名师总结 优秀知识点 二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n 的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：当0 n 时，方程无解（4）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a 根的判别式：24 b ac 0 方程有两个不
3、相等的实根:242b b acxa（24 0 b ac）()f x的图像与x轴有两个交点 0 方程有两个相等的实根()f x的图像与x轴有一个交点 0 方程无实根()f x的图像与x轴没有交点 3.韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式 ax2+bx+c 0 之后，设它的两个根是1x和2x，则1x和2x与方程的系数 a，b，c 之间有如下关系：1x+2xba；1x 2xca 4.一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；未知数的最高次数式二次
4、的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点只含有一个未知数所含未知数的最高次数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没名师总结 优
5、秀知识点“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。五典型例题 1、下列方程中，是一元二次方程的是：（）A、2x+3x+y=0；B、x+y+1=0；C、2131 22 x x；D、0 512 xx 2、关于 x 的方程（2a+a 2）2x+ax+b=0 是一元二次方程的条件是（）A、a 0；B、a 2；C、a 2 且 a 1；D、a 1 3、一元二次方程2x 3x=4 的一般形式是，一次项系数为。4、方
6、程2x=225 的根是。未知数的最高次数式二次的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点只含有一个未知数所含未知数的最高次数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与
7、轴有一个交点方程无实根的图像与轴没名师总结 优秀知识点 5、方程 32x 5 x=0 的根是。6、（2x 24x+）=（x）2。7、一元二次方程 a2x+bx+c=0（a 0）有一个根为 1，则 a+b+c=。8、关于 x 的一元二次方程 m2x 2x+1=0 有两个相等实数根，则 m=。9、已 知1x,2x是 方 程 22x+3x 4=0 的 两 个 根，那 么1x+2x=,1x 2x=。10、若三角形其中一边为 5cm，另两边长是 0 12 72 x x 两根，则三角形面积为。未知数的最高次数式二次的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点
8、只含有一个未知数所含未知数的最高次数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没名师总结 优秀知识点 11、用适当的方法接下列方程。（1）、（x+3）（x 1）=5（2）、（3x 2）
9、2=（2x 3）（3)、（2x 1）2=3（2x+1）未知数的最高次数式二次的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点只含有一个未知数所含未知数的最高次数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交
10、点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没名师总结 优秀知识点(4)、32x 10 x+6=0 12、若两个连续偶数的积是 288，求这两个偶数。未知数的最高次数式二次的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点只含有一个未知数所含未知数的最高次数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形
11、式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没名师总结 优秀知识点 13、从一块长 80cm，宽 60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？14、已知关于 x 的方程0 3 5 22 p x x的一个根是 4，求方程的另一个根和 p 的值 未知数的最高次数式二次的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点只含有一个未知数所含未知数的最高次
12、数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没名师总结 优秀知识点 未知数的最高次数式二次的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式其中为二次项系数为一次项系数为常数项注意三个要点只含有一个未知数所含未知数的最高次数是是整式方程一元二次方程的解法直接开平方法形如的方程 程左边使方程右边为将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式令每个因式分别为零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程他们的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤名师总结优秀知识点二次项系数 一般的平方把方程化为的形式用直接开平方法解变形后的方程注意当时方程无解公式法一元二次方程根的判别式方程有两个不相等的实根的图像与轴有两个交点方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点方程无实根的图像与轴没