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1、浙江省2019 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。不能答在试卷上。选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在
2、试题卷上。一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。61. 设limx= a 则说法不正确的是（）n n（A） 对于正数 2，一定存在正整数 N，使得当 nN 时，都有 X - a N 时，不等式 Xn成立- a N 时，所有的点x 都落在(a - e, a + e )内，而只有有限个（至多只有 N 个）在这个区间外n（D） 可以存在某个小的正数e0，使得有无穷多个点e0落在这个区间(a - e0, a + e )外02. 设在点 x0的某领域内有定义，则在点 x0处可导的一个充分条件是（）f (x + 2h) - f (
3、x )f (x ) - f (x -h)（A） lim0h0h0 存在（B） lim00存在h0-hf (x +h) - f (x -h)1（C） lim00存在h0h（D） limh f (x +) - f (x ) 存在h+ 00 1+sinpn2p1+sinn1 n3. lim+x+.+1+sinnpnh等于（）（A） 10sinpxdx（B） 101 + sinpxdx（C） 101 + sin xdx（D）p 101 + sin xdx4. 下列级数或广义积分发散的是（）.（A）（ - 1）n -1n + 100n =1（B）n =1cos2 n（C） 2114 - x2dx（D）
4、+1dx1 （1 + x2）25. 微分方程 y-4y+4y =0的通解是（）（A） y( x) = c x + ce-2 x（B） y( x) = (c+ c x)e-2 x1（C） y( x) = (c2+ c x)e2 x1（D） y( x) = (c2+ c x)xe-2 x1212非选择题部分二、填空题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。6. 极限lim1 + sin 1 n= .n n 7. 设一堆雪的高度h 与时间t 的关系为h(t )= 100 - t2 ，则雪堆的高度在时刻t = 5 时的变化率等于 .8. 当a = 时，极限lim1-cosx(a -ex
5、)存在且不等于 0x0 ln(1+ x3) x = sin td 2 y9. 设，则 y = costdx2= .10. 设 g( x) = x sin t2dt ，且当 x 0 时， g( x) 与 xn是同阶无穷小，则n= .011. 定积分 101- x2 dx = .12. 设函数 y = y(x)由方程ex +y - xy = 0 确定，则 dy = .dx13. 曲线y( x) = x3 + 3x2 的拐点是 .14. 由曲线 y =x , x = 1, x = 2 及 x 轴所围成曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于 .15. 设 y = 32 x ，则 y(n) =.
6、三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。ln(1 + x) - x16. 极限limx0x217. 设 y( x) = ln(2 + cosp x) + x x ，求函数 y( x) 在 x = 1处的微分.18. 求不定积分sinxdx .cos x, x 0, p )f ( x) = 2= x19.设p，求 p( x)f (t)dt 在0,p上的表达式.x, x ,p 0 2t + 120. 一物体由静止开始以速度v(t) = 体运动到 8 秒时离开出发点的距离.3t
7、（米/秒）作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物x2 + a, x 021. 问是否存在常数a 使得函数 f ( x) = 在 x = 0 处可导？若存在，求出常数a,若不存1 - eax , x 0在，请说明原因.22. 求过点A(1,0,2)且与两平面p1: x - y + z + 1 = 0,p2: x - z = 0 都平行的直线方程.23. 求幂级数n =11 xn -1 的收敛区间及和函数，并计算级数nn =11 ( 1 )n -1 .n2四、综合题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分。24. 设 y = f ( x) 是连续象限内连续点 M(0,4)，N(2,0
8、)的第一段连续线段，P(x,y)为该曲线上任意一点，点 B 为 P 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形 OBPM 的面积与曲边三角形 BPM 的面积之和等于另一曲线 y =x4 + x 在点(x, x4 + x ) 处的切线斜率，求该曲线 y = f ( x) 的方程(注：曲边三243243角形 BPM 是指直线段 BP， x 轴以及直线段 PN 所围成的封闭图形).25. 假设某公司生产某产品 x 千件的总成本是c( x) = 2x3 - 12x2 + 30x + 21(万元)，售出该产品 x 千件的收入是r( x) = 60x (万元)，为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少千件
9、产品？（注： 利润等于收入减总成本）26. 设 f (x)在-1,1上具有二阶连续导数，且 f (0) = 0写出 f (x)的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.设 M , m 分别为 f (x)在-1,1上的最大值和最小值，证明： m 1f ( x)dx M证明：在-1,1上至少存在一点h使得 f (h ) =3 1 f (x)dx-13-132019 年浙江省专升本高等数学参考答案一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1、D解析：极限精确定义，若limx= a ，则对于a 0, $N ，当nN 时， X- a e2、A解析：B 改为h 0n nnC 反推D 改为h
10、 3、B解析：1+sinpxdxi11limn1+sin p =4、Bnnn0i=1解析：A.条件收敛B. limcos2n 0发散nC. x = 2 为瑕点 21dx = arcsin x 2= limarcsinx1ppp- arcsin=-=14 - x22x222263p1D. +1dxx = tan t p1dt =20 （1 + x2）20 sec2 t45、C解析：由 y-4y+4y =0,特征方程为r2 -4r +4 =0，即(r - 2)2二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）= 0 ，所以 y = (c1+ c x)e2 x21 n1 1 sin
11、1 n1nlimsin 1 n6、：lim1+ sinn = lim1+ sinsin nn = e xnn= e1 = e解析nn7、解析： h(t) = -2th(5) = -108、 解析：1-cosx1 x22a-ex 极限存在且不等于 0，且 lim2x = 0 原极限存在，lim(a -ex ) =lim(a-ex ) =limx0x0 lim(1+ x3)x0x3x02x则lim a - exx0= 0 ， a = 1dy9、解析：= -sint ， dy= cos t ， dy =- sint= - tantdtdtdtcostd 2 y(- tant)- sec2 t= -s
12、ec3 tdx2costcostg(x) x sint2dtsinx2x210、解析： lim= lim 0x0xnx0xn= limx0 nxn-1= limx0 nxn-1= C( 0, )n -1= 2 n = 311pR111、解析： 1- x2 dx =p 12=（定积分几何意义R 2 - x2 dx =pR 2 ）0440412、解析： 方程ex + y - xy = 0 两边同时求导，得： ex + y (x + y) - (xy) = 0 ex + y (1 + y) - (y + xy) = 0ex + y y - xy = y - ex + y y =y - ex + ye
13、x + y - xy = 3x2 + 6x13、解析：y = 6x + 6 = 6(x +1)令 y = 0 得 x = -1 ，当 x -1 时， y -1 时， y 0在 x = -1处取得拐点，拐点为(-1,2)2212v= p 2 (x ) dx = p xdx = p (x2 )= 3 p1x14、解析：121215、解析： (ax )(n)= ax (lna)n所以(32 x )(n)= 32 x (ln3)n 2n三、计算题（本大题共 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分）lim ln(1 +x) - x1- 1= lim
14、1 + x= lim1 -(1 + x)= lim- 1= - 116、解析： x0x2x02xx0 2x(1 + x)x0 2(1 + x)2y = ln(2 + cospx) + xx17、解析：= ln(2 + cospx) + ex ln x11y =2 + cospx (2 + cospx) + ex ln x ( x ln x) = 2 + cospx (-p sinpx) + x x (ln x + 1)y= 1dyx =1x18、解析：令t = dxx =1，则 x = t 2 , dx = 2tdt原式= sint 2tdt = 2 tsintdt = -2 tdcost=
15、-2(tcost - costdt) = -2(tcost - sint) + Cx= -2(cos- sinx ) + Cxpp( x) = xf (t)dt = x costdt = sin tx = sin x19、解析：当0 x 2 时，000p20px2p11p 2pp( x) = 2 costdt + x tdt = sin t+t 2= 1 +x 2 - x p0p当 2时，2p22822sinx,0 x 0f (x) - f (0)x2f(0) = lim-x0-x - 0= lim= 0x0+xf (0) = lim+x0+f (x) - f (0) x - 0= lim 0
16、 = 0x0- x故 f ( x) 在 x = 0 可导a = 0prr122、解析：设直线的方向量为 S ，平面1 的法向量为n= (1,-1,1) ，平面pr= (1,0,-1)的法向量n22rrrrrrr故由题意，有 s n , s n ,s = n n= (1,2,1)1212x - 1 = y - 0 = z - 2直线方程为121u( x)u ( x)nn +1xn n + 1n xn -1lim= lim= x 123、解析：nn，所以收敛区间为(-1,1)S( x) = 1nxn -1S( x) =1 1 xn ( x 0)令n =1，当 x 0 时，xnn =1 S (x)
17、=1 1 xn= 1 (x t n-1dt) =1 (x1dt) =1 - x1d (1- t)xn=1nx0n=1x0 1- tx 0 1- t= 1 - x1d (1- t) =1 (-ln1- x ) = - 1 ln1- x , x 0 当 x = 0 时， S(0) = 1x 0 1- txx- 1 ln(1- x), x (-1,0) (0,1) S (x) = x1, x = 0x = 1()= -2 ln(1-) = 2 ln 2 1 11n-1令2 ，则 n=1 n 22+四、综合题（本题共有 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1 ( f (x) + 4) x + 2
18、f (t)dt = 1 x3124、解析：由题意知： 2x63111两边同时对 x 求导： 2(4 + f ( x) +xf ( x) - f ( x) =x222f ( x) - 1 f ( x) = x - 4即xx 1 dx 4 - 1 dx4 f ( x) = e x ( x -)exdx + C = x( x + C) = x2 + Cx + 4xx由于 f (2) = 0，C = -4, f ( x) = x2- 4x + 425、解析：设利润为 f ( x) ，则f ( x) = r( x) - c( x) = 60x - (2x3 - 12x2 + 30x + 21)( x 0
19、)12则 f (x) = -6x2 + 24x + 30 ，令 f ( x) = 0 得 x= -1 (舍去)， x= 5当0 x 0 ；当 x 5 时， f ( x) 0当 x = 5 时， f ( x) 取极大值且为最大值f ( x) = f (0) + f (0)x +f (x )x2f (x )x= f (0)x +x2 (0 x)26、解析：221 f ( x)dx = 1 f (0)x +f (x)x2 dx =f (x ) -1-123 x m 1f ( x)dx =f (x ) M由于 m f() M3-133m 1f ( x)dx Mm 3 1f ( x)dx M由于 3-13 ，故-1$h -1,1由介值定理得：，使f (h ) =3 1 f (x)dx-1