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1、2 0 2 1 年 湖 南 娄 底 中 考 数 学 试 题 及 答 案一、选 择 题（本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求的，请 把 你 认 为 符 合 题 目 要 求 的 选 项 填 涂 在 答 题 卡 上 相 应 题 号 下 的 方 框 里）1.2 0 2 1 的 倒 数 是（）A.2 0 2 1 B.2 0 2 1 C.12 0 2 1D.12021【答 案】C2.下 列 式 子 正 确 的 是（）A.3 2a a a B.32 6a a C.3 2 6a a a D.32 5a a【答 案】B3.
2、2 0 2 1 年 5 月 1 9 日，第 三 届 阿 里 数 学 竞 赛 预 选 赛 顺 利 结 束，本 届 大 赛 在 全 球 范 围 内 吸 引了 约 5 万 名 数 学 爱 好 者 参 加 阿 里 数 学 竞 赛 旨 在 全 球 范 围 内 引 领 开 启 关 注 数 学、理 解 数 学、欣 赏 数 学、助 力 数 学 的 科 学 风 尚 5 万 用 科 学 记 数 法 表 示 为（）A.50.5 1 0 B.45 1 0 C.45 0 1 0 D.55 1 0【答 案】B4.一 组 数 据 17,10,5,8,5,15 的 中 位 数 和 众 数 是（）A.5,5 B.8,5 C.9
3、,5 D.1 0,5【答 案】C5.如 图，点,E F 在 矩 形 A B C D 的 对 角 线 B D 所 在 的 直 线 上，B E D F，则 四 边 形 A E C F是（）A.平 行 四 边 形 B.矩 形 C.菱 形 D.正 方 形【答 案】A6.如 图，/A B C D，点,E F 在 A C 边 上，已 知 70,130 C E D B F C，则B D 的 度 数 为（）A.4 0 B.5 0 C.6 0 D.7 0【答 案】C7.从 背 面 朝 上 的 分 别 画 有 等 腰 三 角 形、平 行 四 边 形、矩 形、圆 的 四 张 形 状、大 小 相 同 的 卡片 中，随
4、 机 抽 取 一 张，则 所 抽 得 的 图 形 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为（）A.14B.12C.34D.1【答 案】B8.2,5,m 是 某 三 角 形 三 边 的 长，则2 2(3)(7)m m 等 于（）A.2 1 0 m B.1 0 2 m C.1 0 D.4【答 案】D9.如 图，直 线 y x b 和 4 y k x 与 x 轴 分 别 相 交 于 点(4,0)A，点(2,0)B，则04 0 x bk x 解 集 为（）A.4 2 x B.4 x C.2 x D.4 x 或 2 x【答 案】A1 0.如 图，直 角 坐 标 系 中，
5、以 5 为 半 径 的 动 圆 的 圆 心 A 沿 x 轴 移 动，当 A 与 直 线5:12l y x 只 有 一 个 公 共 点 时，点 A 的 坐 标 为（）A.(1 2,0)B.(13,0)C.(1 2,0)D.(1 3,0)【答 案】D1 1.根 据 反 比 例 函 数 的 性 质、联 系 化 学 学 科 中 的 溶 质 质 量 分 数 的 求 法 以 及 生 活 体 验 等，判 定下 列 有 关 函 数xya x（a 为 常 数 且 0,0 a x）的 性 质 表 述 中，正 确 的 是（）y 随 x 的 增 大 而 增 大；y 随 x 的 增 大 而 减 小；0 1 y；0 1
6、y A.B.C.D.【答 案】A1 2.用 数 形 结 合 等 思 想 方 法 确 定 二 次 函 数22 y x 的 图 象 与 反 比 例 函 数2yx 的 图 象 的交 点 的 横 坐 标0 x 所 在 的 范 围 是（）A.0104x B.01 14 2x C.01 32 4x D.0314x【答 案】D二、填 空 题（本 大 题 共 6 小 题）1 3.函 数 1 y x 中，自 变 量x的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】1 x1 4.如 图 所 示 的 扇 形 中，已 知2 0,3 0,4 0 O A A C A B，则C D _ _ _ _
7、_ _ _ _【答 案】1 0 0 1 5.如 图，A B C 中，2,A B A C P 是 B C 上 任 意 一 点，P E A B 于 点,E P F A C 于 点 F，若 1A B CS，则 P E P F _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】11 6.已 知23 1 0 t t，则1tt _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3 1 7.高 速 公 路 上 有 一 种 标 线 叫 纵 向 减 速 标 线，外 号 叫 鱼 骨 线，作 用 是 为 了 提 醒 驾 驶 员 在 开 车时 减 速 慢 行 如 图，用 平 行 四 边 形 A B C D 表 示 一 个“鱼 骨”，A
8、B 平 行 于 车 辆 前 行 方 向，,B E A B C B E，过 B 作 A D 的 垂 线，垂 足 为A（A 点 的 视 觉 错 觉 点），若s i n 0.05,300 m m A B，则 A A _ _ _ _ _ _ _ _m m【答 案】1 5 1 8.弧 度 是 表 示 角 度 大 小 的 一 种 单 位，圆 心 角 所 对 的 弧 长 和 半 径 相 等 时，这 个 角 就 是 1 弧 度角，记 作 1 r a d 已 知 1 r a d,6 0，则与 的 大 小 关 系 是_ _ _ _ _ _ _ _【答 案】三、解 答 题（本 大 题 共 2 小 题）1 9.计 算
9、：101 1(2021)2 c os 452 2 1【答 案】2【详 解】解：101 1(2021)2 c os 452 2 1 2 1 21 2 22(2 1)(2 1)1 2 1 2 2 2 2 0.先 化 简，再 求 值：23 2 1 011 9x xx x，其 中 x 是 1,2,3 中 的 一 个 合 适 的 数【答 案】13xx，15【详 解】解：23 2 1 011 9x xx x 23 9 2 101(3)(3)(3)(3)x x xx x x x x 23 2 11(3)(3)x x xx x x 23(1)1(3)(3)x xx x x 13xx，1 x，3 x，2 x，原
10、 式2 1 12 3 5 四、解 答 题（本 大 题 共 2 小 题）2 1.“读 书，点 亮 未 来”，广 泛 的 课 外 阅 读 是 同 学 们 搜 集 和 汲 取 知 识 的 一 条 重 要 途 径 学 校图 书 馆 计 划 购 进 一 批 学 生 喜 欢 的 图 书，为 了 了 解 学 生 们 对“A 文 史 类、B 科 普 类、C 生 活 类、D 其 它”的 喜 欢 程 度，随 机 抽 取 了 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查（每 个 学 生 只 选 其 中 一 类），将 所得 数 据 进 行 分 类 统 计 绘 制 了 如 下 不 完 整 的 统 计 图 表，请 根 据 图
11、中 的 信 息，解 答 下 列 问 题：统 计 表：频 数 频 率A 历 史 5 0 m类B 科 普类9 0 0 0.4 5C 生 活类n 0.2 0D 其 它 2 0 0.1 0合 计（1）本 次 调 查 的 学 生 共 _ _ _ _ _ _ _ 人；（2）m _ _ _ _ _ _ _，n _ _ _ _ _ _ _；（3）补 全 条 形 统 计 图【答 案】（1）2 0 0；（2）0.2 5，4 0；（3）见 解 析【详 解】解：（1）本 次 调 查 的 学 生 有：9 0 0.4 5=2 0 0（名），故 答 案 是：2 0 0；（2）m=5 0 2 0 0=0.2 5，n=2 0
12、0 0.2=4 0；（3）补 全 直 方 图 如 图 所 示：2 2.我 国 航 天 事 业 捷 报 频 传，天 舟 二 号 于 2 0 2 1 年 5 月 2 9 日 成 功 发 射，震 撼 人 心 当 天 舟 二号 从 地 面 到 达 点 A 处 时，在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 D P A 为 3 0 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6 千米，它 沿 铅 垂 线 上 升 7 5 秒 后 到 达 B 处，此 时 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 D P B 为 4 5，求 天 舟二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度（结 果 精 确 到 1 m/s，取
13、3 1.7 3 2,2 1.4 1 4）【答 案】2 9/m s【详 解】解：根 据 在 P 处 测 得 A 点 的 仰 角 D P A 为 3 0 且 A 与 P 两 点 的 距 离 为 6 千 米 知；在 R t A D P 中，6,30 A P D P A，132A D A P(千 米)，2 23 3 3 1.732 5.196 D P A P A D，又 由 在 P 处 测 得 B 点 的 仰 角 D P B 为 4 5，R t B D P 为 等 腰 直 角 三 角 形，B D D P，2.196 A B B D A D（千 米），天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均
14、速 度 为：2 1 9 62 9/7 5sv m st，答：天 舟 二 号 从 A 处 到 B 处 的 平 均 速 度 为 2 9/m s 五、解 答 题（本 大 题 共 2 小 题）2 3.为 了 庆 祝 中 国 共 产 党 建 党 一 百 周 年，某 校 举 行“礼 赞 百 年，奋 斗 有 我”演 讲 比 赛，准 备购 买 甲、乙 两 种 纪 念 品 奖 励 在 活 动 中 表 现 优 秀 的 学 生 已 知 购 买 1 个 甲 种 纪 念 品 和 2 个 乙 种纪 念 品 共 需 2 0 元，购 买 2 个 甲 种 纪 念 品 和 5 个 乙 种 纪 念 品 共 需 4 5 元（1）求
15、购 买 一 个 甲 种 纪 念 品 和 一 个 乙 种 纪 念 品 各 需 多 少 元；（2）若 要 购 买 这 两 种 纪 念 品 共 1 0 0 个，投 入 资 金 不 少 于 7 6 6 元 又 不 多 于 8 0 0 元，问 有 多 少种 购 买 方 案？并 求 出 所 花 资 金 的 最 小 值【答 案】（1）购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 1 0 元，乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元；（2）共 有 7 种 进货 方 案；所 花 资 金 的 最 小 值 为 7 7 0 元【详 解】解：（1）设 购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 x 元，乙 种 纪 念
16、品 每 个 需 要 y 元，根 据 题 意 得：2 202 5 45x yx y，解 得：105xy；答：购 进 甲 种 纪 念 品 每 个 需 要 1 0 元，乙 种 纪 念 品 每 个 需 要 5 元；（2）设 购 进 甲 种 纪 念 品 m 个，则 购 进 乙 种 纪 念 品（1 0 0-m）个，所 花 资 金 为w元，1 0 5 1 0 0 5 5 0 0 w m m m，根 据 题 意 得：5 500 7665 500 800mm，解 得：5 3.2 m 6 0 m 为 整 数，m=5 4、5 5、5 6、5 7、5 8、5 9 或 6 0 共 有 7 种 进 货 方 案；5 0，w
17、随 m 的 增 大 而 增 大，m=5 4 时，w有 最 小 值，最 小 值 为 7 7 0 元 2 4.如 图，点 A 在 以 B C 为 直 径 的 O 上，A B C 的 角 平 分 线 与 A C 相 交 于 点 E，与 O 相交 于 点 D，延 长 C A 至 M，连 结 B M，使 得 M B M E，过 点 A 作 B M 的 平 行 线 与 C D 的 延长 线 交 于 点 N（1）求 证：B M 与 O 相 切；（2）试 给 出,A C A D C N 之 间 的 数 量 关 系，并 予 以 证 明【答 案】（1）见 详 解；（2）2A C A D N C【详 解】（1）如
18、图 所 示，M B M E,B D 是 A B C 的 角 平 分 线，M B E M E B，A B E E B C，又 B C 为 直 径，9 0 B A C，90 A B E M E B,90 E B C M B E，即 B M 与 O 相 切（2）A B E E B C，A D C D，A D C D,D A C D C A，A D C 为 等 腰 三 角 形，又=9 0 B D C，9 0 B D N，90 N+N G D，又 N G D B G F，且 由（1）可 得 90 M B C=，N F B M，90 N F B=，即 N E B C=A B E=D C A，N A C 为
19、 等 腰 三 角 形，在 A D C 和 N A C 中，N D A C=D C A，A D C N A C，A D D C A CN A A C N C，2A C D C N C，又 A D C D，故：2A C A D N C 六、综 合 题（本 大 题 共 2 小 题）2 5.如 图，E F、是 等 腰 R t A B C 的 斜 边 B C 上 的 两 动 点，4 5,E A F C D B C 且C D B E（1）求 证：A B E A C D；（2）求 证：2 2 2E F B E C F；（3）如 图，作 A H B C，垂 足 为 H，设,E A H F A H，不 妨 设2
20、 A B，请 利 用（2）的 结 论 证 明：当 4 5 时，t a n t a nt a n()1 t a n t a n 成 立【答 案】（1）证 明 见 详 解；（2）证 明 见 详 解；（3）证 明 见 详 解【详 解】（1）证 明：A B C 是 等 腰 直 角 三 角 形，A B=A C，B A C=9 0，A B C=A C B=4 5，C D B C，D C B=9 0，D C A=9 0-A C B=9 0-4 5=4 5=A B E，在 A B E 和 A C D 中，A B A CA B E A C DB E C D，A B E A C D（S A S），（2）证 明 A
21、 B E A C D，B A E=C A D，A E=A D，E A F=4 5，B A E+F A C=9 0-E A F=9 0-4 5=4 5，F A D=F A C+C A D=F A C+B A E=4 5=E A F，在 A E F 和 A D F 中，A E A DE A F D A FA F A F，A E F A D F（S A S），E F=D F，在 R t C D F 中，根 据 勾 股 定 理，2 2 2D F C D C F，即2 2 2E F B E C F；（3）证 明：将 A B E 逆 时 针 绕 点 A 旋 转 9 0 到 A C D，连 结 F D，B
22、A E=C A D，B E=C D，A E=A D，A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形，A C B=B=A C D=4 5，D C F=D C A+A C F=4 5+4 5=9 0，2 A B，A C=2 A B，在 R t A B C 中 由 勾 股 定 理 2 22 2+2+2 2 B C A B A C A H B C，B H=C H=A H=112B C，E F=E H+F H=A H t a n+A H t a n=t a n+t a n,B E=B H-E H=1-t a n,C F=C H-H F=1-t a n，E A F=4 5，B A E+C A F=9 0-E
23、A F=4 5，D A F=D A C+C A F=B A E+C A F=4 5=E A F，在 A E F 和 A D F 中，A E A DE A F D A FA F A F，A E F A D F（S A S），E F=D F，在 R t C D F 中，2 2 2D F C D C F 即2 2 2E F B E C F，2 2 2t a n t a n 1 t a n+1 t a n，整 理 得 2 t a n t a n 1 2 t a n+1 2 t a n，即 t a n t a n 1 t a n t a n，t a n+t a n 1 t a n t a n，t a n
24、+t a n1=t a n 45=t a n+1 t a n t a n，t a n+t a nt a n+=1 t a n t a n 2 6.如 图，在 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数2y x bx c 的 图 象 与 x 轴 相 交 于 点(1,0)A 和 点(3,0)B，与 y 轴 交 于 点 C（1）求 b c、的 值；（2）点(,)P m n 为 抛 物 线 上 的 动 点，过 P 作 x 轴 的 垂 线 交 直 线:l y x 于 点 Q 当 0 3 m 时，求 当 P 点 到 直 线:l y x 的 距 离 最 大 时 m 的 值；是 否 存 在 m，使 得 以 点 O
25、 C P Q、为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形，若 不 存 在，请 说 明 理 由；若 存 在，请 求 出 m 的 值【答 案】（1）b=2，c=3；（2）32m；不 存 在，理 由 见 解 析【详 解】解：（1）抛 物 线 y=-x2+b x+c 与 x 轴 交 于 点 A（-1，0），B（3，0），1 09 3 0b cb c，解 得：23bc，b=2，c=3；（2）由（1）得，抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为：y=x22 3 x，设 点 P（m，m2-2 m-3），则 点 Q（m，m），0 m 3，P Q=m-(m2-2 m-3)=-m2+3 m+3=-232m+2 14，-
26、1 0，当32m 时，P Q 有 最 大 值，最 大 值 为2 14；抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为：y=x2-2 x-3，C（0，-3），O B=O C=3，由 题 意，点 P（m，m2-2 m-3），则 点 Q（m，m），P Q O C，当 O C 为 菱 形 的 边，则 P Q=O C=3，当 点 Q 在 点 P 上 方 时，P Q=23 3 3 m m，即23 0 m m，3 0 m m，解 得 0 m 或 3 m，当 0 m 时，点 P 与 点 O 重 合，菱 形 不 存 在，当 3 m 时，点 P 与 点 B 重 合，此 时 B C=2 3 2 O C O C，菱 形 也 不 存 在；当 点 Q 在 点 P 下 方 时，若 点 Q 在 第 三 象 限，如 图，C O Q=4 5，根 据 菱 形 的 性 质 C O Q=P O Q=4 5，则 点 P 与 点 A 重 合，此 时 O A=1 O C=3，菱 形 不 存 在，若 点 Q 在 第 一 象 限，如 图，同 理，菱 形 不 存 在，综 上，不 存 在 以 点 O、C、P、Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形