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1、2023年高一下数学必修二 柱体、锥体、台体的表面积与体积测试试卷一.选 择 题（共 21小题）1.一个圆锥的底面半径为1,高 为 则 圆 锥 的 侧 面 积 是（）A.B.IT C.2n D.4TT32.正四棱柱的侧棱长为5,它的对角线的长为屈，则这个棱柱的侧面积是（）A.1572 B.60 C.78 D.60723.如图所示，直三棱柱N 8 C-4 8 1 c l的各侧棱和底面的边长均为“，点 P,。分别在侧棱441和 C G 上，A P=C i Q,则四棱锥8-Z P Q C 的体积为（）4.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为（）A.B.V2 C.2血.D.返3
2、 3 35.已知长方体的对角线长为4,过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为60,则长方体的体积是（）A.16V3 B,8 73 C.队历 D.4736.如图，在矩形/B C D 中，AB=6,BC=4,E 是 8 的中点，沿 NE将/折起，使二面角O-4 E-8 为 60,则四棱锥。-4 8 C E 的体积是（）第 1 页 共 1 8 页A.当 仃 B.旧 c.D.7.己知一个正三棱柱的底面边长为行，且侧棱长为底面边长的2 倍，则该正三棱柱的体积为（）A.B.工 C.D.22 2 2 28.在 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥S-/8 C D 为阳马
3、，侧棱S4J_底面/8 C D,且 S/l=8 C=/8=2,则该阳马的表面积 为（）A.6+4&B.2+4&C.4+4&D.8+4近9.如图，一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4 m 则这个圆锥的体积为（）10.若圆锥的高扩大为原来的3 倍，底面半径缩短为原来的工，则圆锥的体积（2A.缩小为原来的34C.扩大为原来的2 倍B.缩小为原来的23D.不变11.某三棱柱的底面是边长为2 的正三角形，高为6,则该三棱柱的体积为（12.若圆锥的高等于底面直径，侧面积为遥兀，则该圆锥的体积为$（A.T T3B.全13.已知底面半径为1,体积为相兀的圆柱，内接于一个高为2行圆锥第 2 页 共 1 8 页
4、（如图）,线段Z8为圆锥底面的一条直径，则从点/绕圆锥的侧面到点8 的最短距离为（)A.8 B.4 7 3 C.4近 D.414.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm.假若点5 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线/C 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是（）15.已知一个圆柱的高是底面圆半径的2 倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（）A.1.B.1.C.2 D.A4 2 3 516.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高 为 愿，则该正四棱锥的全面积为（）A.8 B.12 C.16 D.2017.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4 和 1 6,侧棱长为1
5、 0,则该棱台的侧面积为（）A.80 B.240 C.320 D.64018.已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）A.36n B.27ii C.18K D.12IT19.已知圆锥的母线长为6,母线与轴的夹角为30,则此圆锥的体积为（）A.27TT B.9我IT C.9TT D.3我 兀20.已知长方体全部棱长的和为3 6,表面积为5 2,则其体对角线的长为（）A.4 B.V29 C.2723 D.4/17第3页 共1 8页2 1.棱长和底面边长均为1 的正四棱锥的体积为（)A.B.返 C.返 D.2 6 4二.填 空 题（共 2 小题）2 2 .若一个圆柱的母线长
6、为3,底面半径为2,则 此 圆 柱 的 轴 截 面 的 面 积 为.2 3 .一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长是0,则 它 的 表 面 积 是.三.解 答 题（共 2 小题）2 4 .如图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱C C i _L 8 C,C C i=3,有一虫子从/沿三个侧面爬到小，求虫子爬行的最短距离.2 5 .如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r=l,母线长/=4,M为母线S 4 上的一个点,且 SW=x,从点 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4 求：（1）设/（x）为绳子最短长度的平方，求/（X）表达式；（2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；（3）/（%）
7、的最大值.第4页 共1 8页2023年高一下数学必修二 柱体、锥体、台体的表面积与体积测试试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共 21小题）1.一个圆锥的底面半径为1,高 为 则 圆 锥 的 侧 面 积 是（）A.2.巧口 B.T T C.2 n D.4 n3【分析】利用勾股定理求出圆锥的母线长，再计算它的侧面积.【解答】解：圆锥的底面半径为1,高为旧，则圆链的母线长为/=/+（笠）2=2,圆锥的侧面积为S圜 推 恻=TU7=2IT.故选：C.【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题.2.正四棱柱的侧棱长为5,它的对角线的长为 泰，则这个棱柱的侧面积是（）A.1 5&B.6 0 C.
8、78 D.60近【分析】根据题意求出正四棱柱的底面边长，再计算它的侧面积.【解答】解：如图所示，正四棱柱的侧棱长为4由=5,对角线长为在，（&AB）2+52=43,解得/8=3,.棱柱的侧面积为5 恻 而 积=4X 5 X 3=6 0.故选：B.【点评】本题考查了正四棱柱的结构特征与侧面积计算问题，是基础题.第5页 共1 8页3.如图所示，直三棱柱/5C-4181cl的各侧棱和底面的边长均为0,点P,。分别在侧棱441和C G上，A P C Q,则四棱锥8-4PQ C的体积为()【分析】连结/1 C,设四棱锥8-/P 0 C的高为，由题意知S梯形，从而加.。=S 梯 形 登 义/SAACC1
9、x h=VB-ACCr VC rA B C=,再由棱柱体积公式求解3 ABC-A/iC【解答】解：连结小C,设四棱锥B-NPQC的高为九由题意知S榜 彩4P0c=L(.AP+CQ)AC2(CiQ+CQ)AC k c C A C2_ SAACC1,故 VB-APQC=Lx S 稀彩APQcX h3=_1_X e Xh3 SAACC1-B-ACCJ一 VcA B C7 VABC-A,B,C,Q 1 1 1=y X y X aX 畲 aX a=-a3,故选：c.第6页 共1 8页【点评】本题考查多面体体积的求法，考查数学转化思想方法，考查等积法，是中档题.4.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角
10、形，则此棱锥的体积为（）A.小区 B.&C.2调.D.返3 3 3【分析】先求正三棱锥的底面边长，然后求解侧棱长，然后求出体积.【解答】解：由题意正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形，可知：侧棱长为加,三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为l x l x V2X V2X 4?3 2 3故选：D.【点评】本题考查棱锥的体积，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题.5.已知长方体的对角线长为4,过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为60,则长方体的体积是（）A.1673 B.8A/3 c.85/2 D.473【分析】由已知得过同一顶点的这两条棱的棱长为2,设
11、另一条棱的棱长为4,则/+22+22=4 2,由此能求出长方体的体积.【解答】解：.长方体的对角线长为4,过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为60,二过同一顶点的这两条棱的棱长为2,设另一条棱的棱长为。，第7页 共1 8页则/+22+22=42,解得=2&,，长方体的体积K=2X 2X 27历=8&.故选：C.【点评】本题考查长方体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.6.如图，在矩形中，AB=6,8 c=4,E是 的 中 点，沿NE将/Z）E折起，使二面角。-/E-8为60,则四棱锥。-/8 C E的体积是（）D【分析】作出四棱锥的高，在 侧 面 上 的 斜 高，
12、从而构造了二面角O-/E-8,计算出高和底的面积，再用棱锥的体积公式化求解.【解答】解：如图，DFA.AE,。0 1.平 面/8 8,连结。尸，根据题意，N D F O=60：在中，f=AD-DE=12,AE V16+9 5在DF。中，DO=DFsin605s 四边形 ABCE9（AB+CE）BC=18，.四棱锥。-/8 C E的体积：=1诉=3/可$四边形ABCEDO y X 1 8 X-故选：B.臼 为CAA B A B I【点评】本题考查四棱锥O-N 8C E的体积的求法，考查平面图形和空间图形的转化，要第8页 共18页注意前后的不变量和改变量.7.已知一个正三棱柱的底面边长为畲，且侧棱
13、长为底面边长的2 倍，则该正三棱柱的体积为（）A.a B.工 C.D.12 2 2 2【分析】与已知求得正三棱柱的底面积与高，再由体积公式求解.【解 答】解：I 正 三 棱 柱 的 底 面 边 长 为 遥，.底 面 面 积 为 5=y X73 xV 3xsin60 高与侧棱长相等为2如,该正三棱柱的体积为忆=3&x 2、优上.故选：D.【点评】本题考查棱柱体积的求法，是基础的计算题.8.在 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥S-/8 C。为阳马，侧 棱 底 面 N 8C D,且 S/=5 C=4 8=2,则该阳马的表面积 为（）A.6+4&B.2+4&
14、C.4+4&D.8+4近【分析】由题意知该几何体是四棱锥，结合图形求出它的表面积.【解答】解：由题意知几何体的表面积为：s 叫梭镌=2SAS48+2S/、SBC+S 正方形*BCD=2 X SAAB+2X L BCSB+4B。BC2 2=2X X 2X 2+2X 1.X 2X 2V 2+2X 2=8+4 近故选：D.【点评】本题考查了四棱锥的结构特征与表面积计算问题，是基础题.第9页 共18页9.如图，一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4 e 则这个圆锥的体积为（)A隼B.孚C.冬3 兀 D.挛3兀【分析】利用圆锥的侧面展开图，扇形的面积，然后转化求解圆锥的体积.【解答】解：圆锥的展开图为扇
15、形，半径夫=4,侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积S i=a R 2=q 兀，解得所以弧长/=。&=2 n,所以底面周长为 如，由此可知底面半径厂=1,所以底面面积为S=ir,圆锥体的高为=任，故圆锥的体积V=L s h=S 兀，3 3故选：C.【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查转化思想以及计算能力.1 0.若圆锥的高扩大为原来的3 倍，底面半径缩短为原来的工，则圆锥的体积（）2A.缩小为原来的W B.缩小为原来的24 3C.扩大为原来的2 倍 D.不变【分析】设圆锥的高为人 底面半径为小 则圆锥的体积为忆=上又兀=2*卜 当圆锥3的 高 扩 大 为 原 来 的 3 倍，底 面 半 径
16、缩 短 为 原 来 的 工 时，圆 锥 的 体 积 为 夕 =2|x 7 T（|r）2x 3 b由此能求出结果.3 2【解答】解：设圆锥的高为人底面半径为八则圆锥的体积为V X 71 r2 x h-3当圆锥的高扩大为原来的3 倍，底面半径缩短为原来的1寸，2圆锥的体积为片=-i-X K 4-r）2 x 3h=-x （-X T lr2 X h）-J 4 5 1 O第1 0页 共1 8页.圆锥的体积缩小为原来的3.4故选：A.【点评】本题考查命题真假的判断，考查圆锥的体积等基础知识，考查运用求解能力，是中档题.1 1 .某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6,则该三棱柱的体积为（）A.2M B
17、.4 M C.6 M D.8A/3【分析】根据棱柱的体积公式计算即可.【解答】解：三棱柱的底面积为S=x 2 X 2 Xs in6 0。，三棱柱的体积V=S h=M X 6=6我.故选：C.【点评】本题考查了棱柱的体积计算，属于基础题.1 2 .若圆锥的高等于底面直径，侧面积为遥兀，则该圆锥的体积为$（）A.n B.Tt C.2 n D.A LT T3 3 3【分析】设底面半径为r,则高h=2 r,母线长Z=r2+4r2=V-再由s=7 T X r X j m r=通 兀，解得r=1，由此能求出该圆锥的体积.【解答】解：圆锥的高等于底面直径，侧面积为遥兀，设底面半径为八 则高刀=2厂，.母线长
18、/=,/r2+4 r 2=；.s=兀 X r X J r=兀，解得厂=1,该圆锥的体积为y=K x I2 X 2=2兀.3 3故选：B.【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1 3.已知底面半径为1,体积为相兀的圆柱，内接于一个高为2畲 圆 锥（如图），线段为圆锥底面的一条直径，则从点/绕圆锥的侧面到点8的最短距离为（）第1 1页 共1 8页A.8 B.4A/3 C.4&D.4【分析】由题意画出图形，求出圆锥的母线长及侧面展开图为半圆，则答案可求.【解答】解：如图，,：S 0=20 ：.CD 为/SOB 的中位线，：.O B=2,则 氏 )2+
19、22=全即圆锥的底面半径为1,母线长为4,则展开后所得扇形的弧长为4 m 圆 心 角 为 二 兀.4从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为42.故选：C.【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题.1 4.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2 c%假若点8 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线/C 的中点尸处的食物，那么它爬行的最短路程是()第1 2页 共1 8页【分析】由题意画出图形，得到展开后扇形为半圆，再由勾股定理求解.【解答】解：由题意，圆锥底面半径为2,母线长为4,则展开后所得扇形的半径为4,弧长为4m 则
20、展开后所得扇形的圆心角为m*8=4,4尸=2，=4 2 +2 2=2我.故 选:B.【点评】本题考查旋转体表面上最短距离的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.1 5.已知一个圆柱的高是底面圆半径的2 倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（）A.J-B.1.C.Z D.A4 2 3 5【分析】设圆柱底面半径为厂，则高=2 厂，分别求出圆柱的侧面积与表面积，作比得答案.【解答】解：设圆柱底面半径为八 则高刀=2 厂，该圆柱的侧面积为2 m-h4 w2,表面积为 4 ii7-2+2 n7-2=b ir r2.故该圆柱的侧面积与表面积的比值为生6 7 Tr2 3故选：C.【点评】本题考查圆柱的侧面积
21、与表面积的求法，是基础的计算题.1 6.已知一个正四棱锥的底面边长为2,高 为 如,则该正四棱锥的全面积为（）第1 3页 共1 8页A.8B.1 2C.1 6D.2 0【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再由正方形及三角形面积公式求解.【解答】解：如图，四棱锥P-1 8。为正四棱锥，高 O P=M，底面边长/8 =2.过。作。G，8 C,垂足为G,连接尸G,则斜高P G=J T iM=2.,.正四棱锥的全面积是S=2X2+4XX2X 2=12-故选：B.【点评】本题考查四棱锥侧面积的求法，考查计算能力，是基础题.1 7.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和1 6,侧棱长为1 0,
22、则该棱台的侧面积为（）A.8 0 B.2 4 0 C.3 2 0 D.6 4 0【分析】由已知求得正棱台的斜高，然后结合公式可求出此棱台的侧面积.【解答】解：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，则由等腰梯形的性质，可得斜高一=J 0 2 _（11）2=/再用棱台侧面积公式，得棱台的侧面积为5恻=工（3 X4+3 X1 6）X8 =2 4 0.【点评】本题给出正三棱台棱台上下底面边长和侧棱长，求三棱台的侧面积，着重考查了正棱台的侧面积公式，属于基础题.1 8.已知一个圆柱的轴截面是面积为3 6的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）第 1 4 页 共 1 8 页A.36n B.27n C.18n
23、 D.12n【分析】设出底面半径，求出底面半径与高，即可求解圆柱的侧面积.【解答】解：设底面圆的半径为，则高为2厂，由2r2厂=3 6,得 户=9,所以S侧=2兀r2r=4兀2=36兀-故 选:A.【点评】本题考查圆柱体的侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.19.已知圆锥的母线长为6,母线与轴的夹角为30,则此圆锥的体积为（）A.27n B.C.9n D.3娟 兀【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算.【解答】解：圆锥的母线长为6,母线与轴的夹角为30,圆锥的底面半径为3,高为：诉.圆锥的体积为：L x n X9 X3/1.3故选：B.【点评】本题考查了圆锥的结构
24、特征，圆锥的体积的计算，属于基础题.20.已知长方体全部棱长的和为3 6,表面积为5 2,则其体对角线的长为（）A.4 B.A/2 9 C.2A/2 3 D.45/17【分析】首先转化为数学表达式，设出长方体的三条棱的长分别为x,y,z,根据题意列出关系式，通过配方法即可求出对角线的长.【解答】解：设长方体的三条棱的长分别为：X,力 Z,n ilf2（xy+yz+zx）=52 14（x+jH-z）=36 可得对角线的长为+y 2+z 2=Y（x+y+z）2-2（xy+yz+zx）=j9 2-5 2=V 故选：B.【点评】本题主要考查了长方体的特征，考查了配方法的应用，属于中档题.21.棱长和底
25、面边长均为1 的正四棱锥的体积为（）A.V3 B.返 C.返 D.2 6 4【分析】根据顶点在底面的射影为底面中心的特点，求出棱锥的高，再计算棱锥的体积.【解答】解：设正四棱锥为S-N 8C。，S 在底面Z 8 8 上的射影为。，则。为正方形A B C D的中心，第1 5页 共1 8页连接0/,o s,则。/=券，so=7SA2-OA2=会 正 方 形 码 呸=界/x =等【点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题.二.填 空 题（共 2 小题）22.若一个圆柱的母线长为3,底面半径为2,则此圆柱的轴截面的面积为12.【分析】根据圆柱的轴截面为矩形，计算矩形的面积即可.【解答】解：
26、圆柱的母线长为3,底面半径为2,则此圆柱的轴截面为矩形，其面积为3X2X2=12.故答案为：12.【点评】本题考查了圆柱的轴截面面积计算问题，是基础题.23.一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长是,则它的表面积是世氏2.4【分析】设出正三棱锥的侧棱长为6,则由题意求出6 与。的关系，再计算三棱锥的表面积.【解答】解：设正三棱锥的侧棱长为人则由题意知2房=2,:.S 表面积=J_X 2ZL/2+3 X 1.X h2=l&a2+-X La2=3+y a2.2 2 2 4 2 2 4故答案为：色 逅/2.4【点评】本题考查了正三棱锥的表面积计算问题，是基础题.三.解 答 题（共 2 小题）2
27、4.如图，一个三棱柱的底面是边长为2 的正三角形，侧棱CCiLBC,C C i=3,有一虫子从/沿三个侧面爬到小，求虫子爬行的最短距离.第1 6页 共1 8页81G【分析】将棱柱的侧面展开，可将问题转化为平面两点之间线段最短问题，根据棱柱的.三棱柱的底面是边长为2 的正三角形，侧棱CCi=3,:A(小)=V(2X 3)2+32=【点评】本题考查的知识点是多面体表面上的最短距离，将侧面展开，将问题转化为平面两点之间线段最短问题，是解答的关键.2 5.如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r=1,母线长/=4,为母线S4上的一个点,且 S W=x,从点/拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点力,求：(1)设
28、/G)为绳子最短长度的平方，求/(x)表达式；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值.A第1 7页 共1 8页【分析】(1)算出侧面展开扇形圆心角a=9 0 ,因此将圆锥侧面展开，可得绳子的最短长度为中斜边的长，由 此 利 用 勾 股 定 理 即 可 算 出 的 表 达 式；(2)由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于R t Z X N S M的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式；(3)由于/(x)=，+1 6在区间 0,4 上是一个增函数，可得当x=4时，/(x)的最大值等于3 2【解答】解：(1)：底面半径,。=1,母
29、线长/=4,二侧面展开扇形的圆心角a=H _ X 3 6 0 =9 0 1因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点4最短距离为R t Z v l S A/中，斜边4 A 7的长度,:SM=x,S Z=4.f(x)=AM2=X2+42=X2+6(2)由(1)可得：绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于R t Z X/S W的斜边上的高,设这个距离等于d,则 叔；M VX2+1 6(3)f(x)=X2+1 6,其中 0 WXW4.当x=4时，/(x)的最大值等于3 2.【点评】本题在圆锥的表面拉一根绳子，求绳子长度的最小值.着重考查了圆锥的侧面展开、勾股定理与三角形面积公式等知识，属于基础题第1 8页 共1 8页