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1、 勾股定理课时练（1）1.在直角三角形 ABC中，斜边 AB=1，则 AB222ACBC的值是（）A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，AD BC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_ 4.一根旗杆于离地面 12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步 16m，旗杆在断裂之前高多少m？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4米处，那么这棵树折
2、断之前的高度是 米.6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶 5000 米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示，无盖玻璃容器，高 18cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底 1cm的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8.一个零件的形状如图所示，已知 AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求 CD 的长.9.如图，在四边形ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求 AB 的长.10.如图，一个牧童在小河的南
3、4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米 18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10：00，甲、乙二人相距多远？还能
4、保持联系吗？“路”4m3m第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图 第 9 题图 第8题图 5m 13m 第 11 题 第一课时答案：1.A，提示：根据勾股定理得122ACBC，所以AB222ACBC=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5m，而 3+4-5=2m，所以他们少走了 4 步.3.1360，提示：设斜边的高为x，根据勾股定理求斜边为1316951222，再利用面积法得，1360,132112521xx；4.解：依题意，AB=16m，AC=12m，在直角三角形 ABC中,由勾股定理,222222201216ACABBC,所以 BC=20m,20+12=32(m),故旗
5、杆在断裂之前有 32m高.5.8 6.解:如图,由题意得,AC=4000 米,C=90,AB=5000 米,由勾股定理得BC=30004000500022(米),所以飞机飞行的速度为5403600203(千米/小时)7.解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CEAB 于 E.在 R90,CEFCEFt，EF=18-1-1=16（cm），CE=)(3060.21cm，由勾股定理，得 CF=)(3416302222cmEFCE 8.解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得 254322222ABACBC 在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122
6、=169，所以 CD=13.9.解：延长 BC、AD 交于点 E.（如图所示）B=90，A=60，E=30又CD=3，CE=6，BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。得338,8)2(222xxx 10.如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则 AB 就是最短路线.在 RtADB 中，由勾股定理求得 AB=17km 11.解：根据勾股定理求得水平长为m1251322，地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 172=34（)2m，铺完这个楼道至少需要花为：3418=612（元）12.解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00
7、一共走了 2 小时，走了 12 千米，即 OA=12 乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB=5 在 RtOAB 中，AB2=122十 52169，AB=13，因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米 1513，甲、乙两人还能保持联系 A D P A M 第 10O A B 勾股定理的逆定理（2）一、选择题 1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为 121 B.三边之比为
8、 125 C.三边之比为325 D.三个内角比为 123 3.已知三角形两边长为2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对 4.五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D 二、填空题 5.ABC 的三边分别是 7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为 9、12、15 的三角形，其面积为 .7.已知三角形 ABC 的三边长为cba,满足18,10ab
9、ba，8c，则此三角形为 三角形.8.在三角形 ABC 中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则 BC 边上的高为 AD=cm.三、解答题 9.如图，已知四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积.10.如图，E、F 分别是正方形 ABCD中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，CE=41BC，F 为 CD 的中点，连接 AF、AE，问AEF 是什么三角形？请说明理由.11.如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉
10、在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB.12.如图，为修通铁路凿通隧道 AC，量出A=40B50，AB5 公里，BC4 公里，若每天凿隧道 0.3 公里，问几天才能把隧道 AB 凿通？第 9 题图 F E A C B D 第 10 题B A C D.第 11 题 18.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C；3.C，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=;1026222当 6 为斜边时，第三边为直角边=242622；4.C；二、5.90提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形
11、，所以最大的内角为 90.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为.54129217.直角，提示：2222222864182100,1002,100)(cbaabbaba得；8.1360，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得AD132151221；三、9.解：连接 AC，在 RtABC 中，AC2=AB2BC2=3242=25，AC=5.在ACD 中，AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169，AC2CD2=AB2，ACD=90 故 S四边形ABCD=SABCSACD=21AB BC 21AC CD=213421512=6
12、30=36.10.解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2=EF2+AF2，AEF 是直角三角形 11.设 AD=x米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得 x=2，10+x=12（米）12.解：第七组，.1131112,112)17(72,15172cba 第n组，1)1(2),1(2,12nncnnbna 勾股定理的逆定理（3）一、基础 巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为
13、345 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，AD BC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 18 图 1825 图 1826 3.如图 1825，以 RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.4.如图 1826，已知正方形 ABCD的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=41AD，试判断EFC 的形状.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD
14、=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827 6.已知ABC的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC是直角三角形.二、综合 应用 7.已知 a、b、c是 RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图 1828，在ABC中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC是直角三角形.图 1828 9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论 .图 18
15、29 10.已知：在ABC中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，AD BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图 18 210 参考答案 一、基础 巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条
16、边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、C 满足勾股定理的逆定理，所以 应选 D.答案：D 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD，AD BC，斜腰 DC 的长为 10 cm，D=120，则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）.图 1824 解：过 D 点作 DE AB 交 BC 于 E,则DEC 是直角三角形.四边形 ABED是矩形，AB=DE.D=120，CDE=30.又在直角三角形中，30 所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022 cm.AB=3551022 cm.3.如图 1825，以 RtABC的
17、三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为_.图 1825 图 1826 思路分析：因为ABC是 Rt，所以 BC2+AC2=AB2,即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB2,所以 AB=32123S.答案：32 4.如图 1826，已知正方形 ABCD的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF=41AD，试判断EFC 的形状.思路分析：分别计算 EF、CE、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：E 为 AB 中点，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=A
18、E2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2,EFC 是以CEF 为直角的直角三角形.5.一个零件的形状如图 1827，按规定这个零件中A 与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？图 1827 思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断 ADB和DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD为直角三角形，A=90.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+14
19、4=169=132=BC2.所以BDC是直角三角形，CDB=90.因此这个零件符合要求.6.已知ABC的三边分别为 k21，2k，k2+1（k1），求证：ABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：k2+1k21,k2+12k=(k1)20,即 k2+12k，k2+1 是最长边.(k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC是直角三角形.二、综合 应用 7.已知 a、b、c是 RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角
20、三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证）.解：略 8.已知：如图 1828，在ABC中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD.求证：ABC是直角三角形.图 1828 思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC是直角三角形.9.如图 1829 所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为 A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 1
21、829 思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA、AB、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB是否是直角三角形即可.解：OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+AB2=O B2.OAB是以 OB 为斜边的等腰直角三角形.10.阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC是直角三角形.问：上述解题过
22、程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了 a有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时ABC是等腰三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形.11.已知：在ABC中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为 0，则都为 0；(3)已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形
23、状为直角三角形.解：由已知可得 a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b12)2+(c13)2=0.(a 5)20,(b12)20,(c13)20.a5=0,b12=0,c 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC是直角三角形.12.已知：如图 18210，四边形 ABCD，AD BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形 ABCD的面积.图 18210 思路分析：（1）作 DE AB，连结 BD，则可以证明ABD EDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(
24、3)在DEC 中，3、4、5 为勾股数，DEC 为直角三角形，DE BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DE AB，连结 BD，则可以证明ABD EDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC 为直角三角形.又EC=EB=3,DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在BDA中 AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA是直角三角形.它们的面积分别为 SBDA=21 3 4=6;SDBC=21 6 4=12.S四边形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.CBAD勾股定理的应用（4）1
25、.三个半圆的面积分别为 S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地 ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要 200 天，问学校需要投入多少资金买草皮？3.（12 分）如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长。4.如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他
26、的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5.（8 分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25 92=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132=+（2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。6.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD AB，BC=6，AC=8，求 AB、CD 的长 DCBA 7.在数轴上画出表示17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）8.已知如图，四边形 ABCD中，B=90，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积 9.如图，
27、每个小方格的边长都为 1求图中格点四边形 ABCD的面积。勾股定理复习题（5）DCBA A B 小东 北 牧小 _ A _ B _ C _ D 一、填空、选择题题：3.有一个边长为 5 米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）米。4、一旗杆离地面 6 米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 米处，则旗杆折断之前的高度是 （）米。6、在ABC 中，C=90,AB=10。(1)若A=30,则 BC=，AC=。(2)若A=45,则 BC=，AC=。8、在ABC 中，C=90，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD=m 11、三角形的三边 a b c，满足22()2
28、abcab，则此三角形是 三角形。12、小明向东走 80 米后，沿另一方向又走了 60 米，再沿第三个方向走 100 米回到原地。小明向东走 80 米后又向 方向走的。13、ABC中，AB=13cm,BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm 则 AC 的长为 cm 14、两人从同一地点同时出发，一人以 3 米/秒的速度向北直行，一人以 4 米/秒的速度向东直行，5 秒钟后他们相距 米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等。（）如果两个实数相等，那么它们的平方相等。（）若22ab，则 a=b （）全等三角形的对应角相等。（）角的内部到角的两边距离相等
29、的点在角的平分线上。（）16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（）(A)a=15 b=8 c=17 (B)a:b:c=1:3:2(C)a=2 b=65 c=85 (D)a=13 b=14 c=15 17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的 x 的值是().A.8 B.10 C.28 D.10 或28 18、下列各命题的逆命题不成立的是()A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等 C.对顶角相等 D.如果 a=b 或 a+b=0,那么22ab 二、解答题：19、有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇
30、，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？20、一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处.折断处离地面的高度是多少?(其中丈、尺是长度单位,1 丈=10 尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里。它们离开港口一个半小时后相距 30 海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？23、一根 70cm 的木棒,要放在长、宽、高分别是 50cm,40c
31、m,30cm 的长方体木箱中,能放进去吗?(提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)22、请在数轴上标出表示5的点 C A B D CBADEFEFDCBA勾股定理复习题（6）1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地 ABCD,若 AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?2、如图，已知在ABC 中，CDAB 于 D，AC20，BC15，DB9。(1)求 DC 的长。(2)求 AB 的长。3、如图 9，在海上观察所 A,我边防海警发现正北 6km 的 B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的 C处行驶.我边防海警即刻派船前往 C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为 4
32、0km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在 C 处将可疑船只截住？4、如图，小明在广场上先向东走 10 米，又向南走 40 米，再向西走 20 米，又向南走 40 米，再向东走 70 米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.5、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm，长 BC为 10cm 当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE）想一想，此时 EC 有多长？6.如图，从电线杆离地 6 米处向地面拉一条长 10 米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？7、如图，一架长 2.5 m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这
33、时，梯底距墙底端 0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？（8 分）8、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边形ABCD的面积.（8 分）9.如图，在ABC 中，AB=AC（12 分）（1）P 为 BC 上的中点，求证：AB2AP2=PBPC；（2）若 P 为 BC 上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若 P 为 BC 延长线上一点，说明 AB、AP、PB、PC 之间的数量关系.8km C A B 6km 10 40 20 40 出发点 70 终止点 ABCDOA B C D