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1、高等数学试卷及答案 一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1.函数zyxu在球面1222zyx上点31,31,31处沿外法线方向的方向导数为 2.曲面3xyzez在0,1,2P处的切平面方程为 3.2202xydyedx 4.设 1,0,0,1,1,0,0,1DCBA，L是 以ABCD为 顶 点 的 正 方 形 正 向，则Lyxdydx 5.设222lnyxxz，则yxz2 6.微分方程xxeyyy365 的特解形式为y 二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.设yxf,在00,yxP点偏导数0000,yxfyxfyx都存在，则必有（）A yxf,在00,yxP点连续；B yxf,在
2、00,yxP点可微；B 0,lim0yxfxx与yxfyy,lim00存在；D yxfyyxx,lim00存在.2.设D是以a为半径，以原点为圆心圆域，则Ddxdyxy（）A 4a；B 24a；C 34a；D 44a.3.设0，且12nna收敛，则级数121nnnna（）A 条件收敛；B 绝对收敛；C 发散；D 敛散性与有关 4.设20,20,2xxxyyxD，则Ddxdyyxf,写成极坐标形式二次积分为（）A cos2020sin,cosrdrrrfd；B 1020sin,cosrdrrrfd；C 100sin,cosrdrrrfd；D cos200sin,cosrdrrrfd 5.022d
3、yxyxdxy的方程类型是（）A 齐次方程；B 线性方程；C 可分离变量方程；D 全微分方程 6.设0:2222aazyx的外侧，则dxdyzdzdxydydzx333（）A 0；B 54 a；C 5125a；D 345a 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）1 将2312xxxf展成x幂级数，并指出收敛域.2 求级数0221nnnnn的和.3 设 xxxf,是以2为周期的函数，将 xf展成傅立叶级数并求该级数在5x时收敛的数值.4 求xeyyyx2cos23 的通解.5 设0:2222aazyx的外侧，计算dxdyzz2 四、综合题（每小题 6 分，共 24 分）1 要造以容积为V的长方体无盖水池，设底面造价是侧面造价的一半，应如何选择水池的长宽高才能使水池的造价最低.2 求曲面22yxz与平面0 zx所围成的空间立体的体积.3 设幂级数为1!nnnxnn 1）求幂级数的收敛半径R；2）讨论幂级数在收敛区间端点的敛散性 4 设0 00 ,222222yxyxyxxyyxf，讨论yxf,1）在0,0点是否连续，2）在0,0点两个偏导数是否存在，2）在0,0点是否可微.五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）1 证明：若数列nna收敛，则级数12nna收敛 2 已知 lxydyxfydxexfcossin与路径无关，且 00 f，证明：xf为双曲函数.