论文SARS传播的数学模型.pdf

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1、SARS 的传播模型 摘要 传染病、战争、饥荒是影响世界人口的三大因素，其中尤其以传染病对人口的影响最为大。对于问题 1，本文结合附件一所给的模型，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点在于形式简单，模拟的精确度较高，K 值的改变体现出了其合理性，同时指出了它的主要缺点在于过分依赖数据和不具有长远的预测性。对于问题 2，我们以 2003 年 6 月以前的有关数据为资料，根据对 SARS 传播的分析，在传统的 SIR 传染病模型的基础上对人群作了合理的分类：健康者、患病者和移出者。其中，移出者指死亡及治愈组成的免疫类。考虑到 3 类人群均是关于时间的变量且患病者的数量和采取的

2、控制手段密切相关，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了病人的自由传播源平均每天造成的感染率81.3317 10和该病平均每天的治愈率0.0810，病人平均每天的死亡率0.0383，疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例10.2692，疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例20.2062，可控系数0.9384五个参数。关键词：SARS；微分方程；SIR 模型 一、问题重述 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SAR

3、S 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。（3）收集 S

4、ARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件 3 提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、模型的假设和符号说明 模型假设 1.人群分为健康者、患病者和移出者三类，称SIR 模型。2.假设 SARS 的传播方式为接触性传播，不与患病者接触就不会被感染。3.假设 SARS 患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人。4.SARS 治愈恢复的人和得病死亡的人退出传染体系。5.所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出，自然出生和自然死亡等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即

5、 N tN。6.SARS 患者康复后具有免疫能力，治愈后没有被感染的可能。符号说明 自由传播源平均每天造成的感染率 该病平均每天的治愈率 N t 第t天传染系统内的总人口数 S t 第t天健康者人数 I t 第t天患病者人数 R t 第t天移出者人数 患者平均每天的死亡率 M t 过了潜伏期，表现出症状，但还未隔离的患者数。CP t 第t天疑似病例的人数 DP t 第t天确诊病人的人数 1 疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例 2 疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例 被自由传染源有效感染的人中的可控系数 0t 控制起始时间 三、问题分析 对于问题二的分析。1、对于接触率的理解

6、一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设第t天的单位时间内，一个病人能传染的健康者数目与此环境内健康者总数 S t成正比，比例系数为，从而在第t天的单位时间内被所有病人传染的人数为 S t I t。2、对于治愈率的理解 第t天的单位时间内，从患病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为，单位时间内移出者的数量为 I t。四、模型建立与求解 模型的建立（一）对于问题一的模型的建立。附件 1 给出的模型为 01tN tNK。作变换，令 1ke，因为不同阶段k的值是不一样的，所以对于不同的阶段，的值也是不同的。故 XXX 老师所给出的模型可改写成 0tN tN e，其中，在不同阶段的值

7、是不一样的。即在假设病例人数是时间t的连续函数时，有 dNNdt。1）合理性 附件 1 所给出的模型为：01tN tNK。它是基于现实中的自然状态，描述出了 SARS 传染病最核心最本质的变化趋势。k的取值采用半模拟循环计算方法，发展趋势由k值的变化体现。该模型的优点在于简单，易行，方便对数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明了该模型所具有的合理性。2）实用性 任何具有传染性的疾病大致都是会经历“发展(快速蔓延)期一相对稳定期一逐渐消亡期”这样的一个过程，附件一模型准确地体现出了这点，因此它具有普遍实用性。3)模型的缺陷，此模型最大的缺陷即是把实际问题过于简单化了。(1)

8、模型中的k的取值只能根据已经有的数据拟合，因此模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。实际中，统计所给的数据本身就有一定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。我们以“北京日志”的数据进行验证，见下图 01020304050607000.20.40.60.811.21.41.61.82x 104 图 1 北京实际与预测感染者人数 直观的看出，模型只能给出接近的前期发展趋势，后期拟合与实际曲线有相当误差。(2)模型本身不具有预测性，它的k值是由数据拟合决定的。如果背离题目本意，我们让k按照某种规律变化，预测发展趋势，其产生的误差是很大的。(3)随着时间的推移，社会中存在

9、各种控制的综合作用，用一个单纯笼统的k的变化已很难刻画出复杂因素的影响，因为各种因素对 SARS 的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能促进流行，致使模型的一致性在后期变差，误差越来越大。因此，至少应设为某种函数形式，引入一些参量因子进行考虑。(4)此模型单单刻画出了传染病的一般性，那么 SARS 和其它的传染病也就没什么本质上的区别了，缺乏对其 SARS 的特征进行具体深入分析。（二）对于问题二的模型的建立。模型 I 由假设 1 显然有 S tI tR tN 对于患病者而言应有 dISIIdt （4.2.1）对于病愈免疫和死亡的移出者而言应有 drIdt （4.2.2）在记初始时刻的健

10、康者和病人的总数分别是000SS 和000II（不妨设移出者的初始值00R），则由（2.1），（2.2）式，SIR 模型的方程可以写作 00,0,0dISIIIIdtdrISSdt （4.2.3）但是上述模型没有考虑到隔离人数，已被传染但未被隔离和死亡人数对模型的影响，因此，对模型I进行改进,得到下面的模型。模型 基于微分方程描述变化，并结合差分方程迭代的思想，把整个社会看成一个系统，重点考虑研究对象是否已退出系统。对于处于系统中的各种参量间的关系体现与模型中。据资料，SARS 潜伏期的患者不具有传染性，则：I tM t，模型为：12000010,0,0,0I tCP tDP tS tN td

11、 I tM t S tCP tCP tM tI tdtd S tDP tM t S tdtCP tCP tDP tR tR tCP tIISS CPCP DPDP 模型的求解 对于问题二的模型的求解。模型 I 由假设 1 显然有 S tI tR tN 对于患病者而言应有 dISIIdt （4.2.1）对于病愈免疫和死亡的移出者而言应有 drIdt （4.2.2）在记初始时刻的健康者和病人的总数分别是000SS 和000II（不妨设移出者的初始值00R），则由（2.1），（2.2）式，SIR 模型的方程可以写作 00,0,0dISIIIIdtdrISSdt （4.2.3）但是上述模型没有考虑到隔

12、离人数，已被传染但未被隔离和死亡人数对模型的影响，因此，对模型I进行改进,得到下面的模型。模型 基于微分方程描述变化，并结合差分方程迭代的思想，把整个社会看成一个系统，重点考虑研究对象是否已退出系统。对于处于系统中的各种参量间的关系体现与模型中。据资料，SARS 潜伏期的患者不具有传染性，则：I tM t，模型为：12000010,0,0,0I tCP tDP tS tN td I tM t S tCP tCP tM tI tdtd S tDP tM t S tdtCP tCP tDP tR tR tCP tIISS CPCP DPDP 在模型中，参数的确定：1=(每天新增的疑似排除人数)/D

13、P t；2=(每天新增的疑似转为确诊的人数)/DP t=(当天治愈人数)/CP t；=(当天病人死亡数)/CP t 对 题 中 的 数 据 去 除 偏 离 较 大 的 点，进 行 多 项 式 拟 合，得10.269220.2062及0.1203（程序见附录 2）,并通过前 12 天的实际数据，直接运用 MATLAB 中的计算，得到此时的81.3317 10，0.0810，10.2692，20.2062。原数据和拟合数据对比图见下图 010203040506070050010001500200025003000 原 始 数 据预 测 数 据 图 2 原数据和拟合数据对比图 通过上图可以发现，该模

14、型对原数据的拟合效果很好，因此可以用来预测患病人数的趋势。五、模型稳定性分析 在原来稳定的系统下，我们认为的改变某一常量，如改变该传染系统中的患病者的数值，经过若干天后，仍会趋于一个稳定的平衡。基于上面的理论分析，将 I t在原始数据的基础上，设变化范围为-20,20，即跨度为40。改变 I t的值，具体数值见附录 4。在第二题的础上，运用 MATLAB 计算得到此时的拟合数据与原始数据的图像为 010203040506070050010001500200025003000 修 改 后 的 数 据根 据 修 改 后 数 据 所 预 测 的 数 据 图 3 拟合数据与原始数据图 通过观察上图，可

15、认为该模型的稳定性很强。六、模型的评价 模型的优点 1、考虑的因素较为全面，更能体现疫情发展的本来面貌；并且只要给定初始值就可进行长期预测，不需要大量的数据支持。2、计算出的被自由传染源有效感染的人中的可控系数的值为 0.9384，说明了政府对传染病的控制效果很明显。模型的不足 模型对疫情发展的预测不是很准确。本论文的模型因查到的统计数据不完善、对非典的传播规律了解不够，预测结果有较大偏差。相信随着人们对 SARS的进一步认识，随着社会各界的深入研究，从数学角度看，模型将更加完善，预测结果将更准确，从医学角度看，SARS 将有更好的治疗方案和防控措施，疫期将进步缩短。参考文献 1 姜启源,谢金

16、星,叶俊.数学模型M.北京.高等教育出版社.2003 年 8 月 2 马莉.MATLAB 数学实验与建模M.北京.清华大学出版社.2010 年 1 月 3 肖红江、吴彤、李名科.SARS 传播的研究J.工程数学学报.2003 年 12 月.第 20 卷第 7 期 4 北京统计局.北京 50 年M.北京.中国统计出版社.1999 附录 附录 1 x=dlmread(data.txt);k=1:65;plot(k,x(k,1),r);hold on k=1:30;plot(k,399.*(1+0.13913).k,o);k=31:65;plot(k,399.*(1+0.042).k.,o);附录

17、2 u x=dlmread(rt.txt);y=dlmread(cpt.txt);f=inline(a.*y,a,y);z,r=lsqcurvefit(f,0.2,y,x);2 x=dlmread(rt.txt);x1=dlmread(rt1.txt);%y=dlmread(cpt.txt);z=dlmread(dpt1.txt);y1=dlmread(chongzushuju.txt);y2=dlmread(cpt2.txt);%k=0:14;f=inline(b.*z,b,z);m,r=lsqcurvefit(f,0.2,z,y1);,1 function y=li4_16fun(beta

18、,x)b1=beta(1);b2=beta(2);x1=x(:,1);x2=x(:,2);y=(b1.*x1-b2.*x2);end x=dlmread(dptstmt.txt);y=dlmread(dstdt.txt);beta0=1,100;beta,r,j=nlinfit(x,y,li4_16fun,beta0);beta du,x=dlmread(mti2t.txt);y=dlmread(rr.txt);beta0=0 0;beta,r,j=nlinfit(x,y,li4_17fun,beta0);function y=li4_17fun(beta,x)b1=beta(1);b2=be

19、ta(2);x1=x(:,1);x2=x(:,2);y=(b1.*x1-b2.*x2);end 附录 3 做稳定性时 确诊人数的修改 4 月 20 日 339 4 月 21 日 475 4 月 22 日 593 4 月 23 日 703 4 月 24 日 764 4 月 25 日 887 4 月 26 日 978 4 月 27 日 1124 4 月 28 日 1179 4 月 29 日 1352 4 月 30 日 1452 5 月 1 日 1562 5 月 2 日 1639 5 月 3 日 1747 5 月 4 日 1796 5 月 5 日 1902 5 月 6 日 1967 5 月 7 日

20、2041 5 月 8 日 2152 5 月 9 日 2177 5 月 10 日 2268 5 月 11 日 2269 5 月 12 日 2302 5 月 13 日 2337 5 月 14 日 2365 5 月 15 日 2398 5 月 16 日 2435 5 月 17 日 2422 5 月 18 日 2438 5 月 19 日 2440 5 月 20 日 2444 5 月 21 日 2444 5 月 22 日 2456 5 月 23 日 2465 5 月 24 日 2490 5 月 25 日 2499 5 月 26 日 2504 5 月 27 日 2512 5 月 28 日 2514 5 月

21、 29 日 2517 5 月 30 日 2520 5 月 31 日 2521 6 月 1 日 2522 6 月 2 日 2522 6 月 3 日 2522 6 月 4 日 2522 6 月 5 日 2522 6 月 6 日 2522 6 月 7 日 2523 6 月 8 日 2523 6 月 9 日 2523 6 月 10 日 2523 6 月 11 日 2523 6 月 12 日 2523 6 月 13 日 2523 6 月 14 日 2523 6 月 15 日 2523 6 月 16 日 2523 6 月 17 日 2523 6 月 18 日 2523 6 月 19 日 2523 6 月

22、20 日 2523 6 月 21 日 2523 6 月 22 日 2523 6 月 23 日 2523 附录 4 稳定性分析时 x=dlmread(data2.txt);k=1:65;plot(k,x(k,1),r);hold on mm=dlmread(datam.txt);x1=mm(:,1);x2=mm(:,2);x3=mm(:,3);x4=mm(:,4);y=(1.3317e-8).*x1-0.1203.*x2+0.0810.*x3-0*x4+0.9384*x4;k=2:65;plot(k,y,o);附录 5 比较预测数据和实际数据时 x=dlmread(data.txt);k=1:6

23、5;plot(k,x(k,1),r);hold on mm=dlmread(dataz.txt);x1=mm(:,1);x2=mm(:,2);x3=mm(:,3);x4=mm(:,4);y=(1.3317e-8).*x1-0.1203.*x2+0.0810.*x3+0.9384*x4;k=2:65;plot(k,y,o);grid on legend(原始数据,预测数据);毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布

24、过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名：日 期：指导教师签名：日 期：使用授权说明 本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名：日 期：学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导

25、下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年 月 日 导师

26、签名：日期：年 月 日 指导教师评阅书 指导教师评价：一、撰写（设计）过程 1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格 2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格 3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格 4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格 5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？优 良 中 及格 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？优 良

27、 中 及格 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？优 良 中 及格 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格 建议成绩：优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）指导教师：（签名）单位：（盖章）年 月 日 评阅教师评阅书 评阅教师评价：一、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？优 良 中 及格 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？优 良 中 及格 不及格 二、论文（设计）水平 1、论文（设计）

28、的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？优 良 中 及格 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格 建议成绩：优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）评阅教师：（签名）单位：（盖章）年 月 日 2 教研室（或答辩小组）及教学系意见 教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程 1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格 2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格 3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格 二、论文（设计）质量 1、

29、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？优 良 中 及格 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？优 良 中 及格 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？优 良 中 及格 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格 评定成绩：优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）教研室主任（或答辩小组组长）：（签名）年 月 日 3 教学系意见：系主任：（签名）年 月 日 4 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在

30、导师的指导下进行的研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经特别注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者（本人签名）：年 月 日 学位论文出版授权书 本人及导师完全同意中国博士学位论文全文数据库出版章程、中国优秀硕士学位论文全文数据库出版章程(以下简称“章程”)，愿意将本人的学位论文提交“中国学术期刊（光盘版）电子杂志社”在中国博士学位论文全文数据库、中国优秀硕士学位论文全文数据库中全文发表和以电子、网络形式公开出版，并同意编入CNKI中国知识资源总库，在中国博硕士学位论文评价数据库中使用和在互联网上传播，同意按“章程”规定享受相关权益。论文密级：公开 保密（_年_月至_年_月）(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)