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1、SARSSARS 传播的数学模型传播的数学模型摘要：摘要：我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型 SIR 模型入手，参考用 2003年 6 月以前的有关 SARS 的统计数据，对 SARS 病情的特殊性进行了分析，建立了描述 SARS 疫情传播的微分方程模型。还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。关键词：关键词：SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合SARSSARS 的简介：的简介：SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SAR
2、S 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。与以往的传染病不同，SARS 具有其自身的特征：除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。我们从经典的传染病模型SIR 模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用基本假设：基本假设：1.除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。2.易感者感病的机会
3、与他接触感病者的机会成正比。3.疾病的传染率为常数。4.不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入5.已感染者以固定的比率痊愈或死亡。6.对于一个 SARS 康复者我们可以假设他二度感染 SARS 的概率为 0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。符号说明：符号说明：S(t)为易感染者在总人口中所占的比例I(t)为已感染者在总人口中所占的比例R(t)为移出者在总人口中所占的比例N(t)为疑似者在总人口中所占的比例M(t)为不可控者在总人口中所占的比例k 为每个易感染者平均每天感染的有效人数h 为移出率（即 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和）为不可控者中转化为病人的日转化
4、率为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例对问题一的回答：对问题一的回答：某种函数的形式，引入一些参量因子进行考虑。对问题二的回答：对问题二的回答：模型的建立模型的建立模型模型 I I（SIR）如果假设 S(t)为易感染者在总人口中所占的比例，I(t)为已感染者在总人口中所占的比例，R(t)为移出者在总人口中所占的比例，k 为每个易感染者平均每天感染的有效人数，h 为移出率，则通过机理分析，这种情况可以用经典的传染病模型 SIR 模型来描述，其表达式为如下的微分方程组：dS kIS，S(0)=S0
5、dtdI kIS hI，I(0)=I0dtdR hI，R(0)=R0dt其中 S(t)+I(t)+R(t)=1。dIh1,IS0 I0,kdSS解为：（相对移出率）讨论讨论：当t 时，ISS0 I0S lnSS0无论初始条件S0、I0如何，感病者终将在系统中消失，即有I 0。事实上，dS/dt 0，而St 0.故S存在。由dR/dt hI 0且R(t)1故R存在。若I 0，则I/2。对于充分大的t有It/2。从而对充分大的t有dR/dt h/2。这将导致R。与R存在矛盾。可得I 0。设法提高模型中（改善卫生条件、减少传染期的接触数）的值，在模型中，参数是重要的，通常称之为相对移出率。我们可以用
6、 S 的极值来表示，因此因此可以由观测数据给出估计可以由观测数据给出估计。S1/lnSlnS0当传染病流行结束后得到S0和S，由上式就可给出的估计。模型模型（针对 SARS 特征建立的模型）SARS 的传播机理又与一般的传染病不尽相同。不仅有易感染者、已感染者和移出者，还有疑似者和不可控者（自由带菌者），同时疑似者和不可控者中都可能有一部分转化为易感染者，也有一部分转化为易感染者。所以，传统的传染病模型无法描述 SARS 的传播机理，必须对其进行修改。假设 S(t)为易感染者在总人口中所占的比例，I(t)为已感染者在总人口中所占的比例，R(t)为移出者在总人口中所占的比例，N(t)为疑似者在总
7、人口中所占的比例，M(t)为不可控者在总人口中所占的比例。又设 k 为每个不可控者发病后被收治前平均每天感染的有效人数，为不可控者中转化为病人的日转化率，h 为移出率（即 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和），为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率，y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例，y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例。于是，从经典的传染病模型 SIR 模型出发，通过机理分析动态地修正，得到描述 SARS 传播的微分方程模型如下：dS y1N kIS，S(0)=S0dtdIM hI y2N，I(0)=I0dtdR hI，R(0)=R0dtdN y1N y2N
8、 kMS，N(0)=N0dtdM kMS(1)M，M(0)=M0dt参数的确定参数的确定上述的 SARS 传播模型中，共有 6 个参数。根据政府发布的统计数据信息，每天的 y1、y2和 h 可以使用如下的公式进行估计：一一y1=每天新增的疑似排除人数当天疑似病例累计人数初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图所示：图 1y1 的值主要分布 2%4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程中，就取 3.51%为 y1 的概率平均值。二y2=每天新增的疑似转化为确诊的人数当天疑似累计人数初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图 2 所示：疑似转化为病例日转化率0.40.201713
9、19253137434955-0.2-0.461三h=每天新增的治愈和死亡的人数当天病人累计人数初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图 3 所示：移出率（周期）0.20.150.10.050123456789 10 11 12 13将每天估计的参数数据作为原始数据集，用曲线进行拟合（图 1 为对 13 天中 h数据的拟合），求出相应的近似概率分布，从而可以求得三个参数的估计值。四从数据可推算出其值在 12%30%之间我们在这里令 20%五与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可
10、估计 70%90%模型的求解模型的求解从建立的模型来看很难直接得到 S，I，R，和M 的解析解，这里采用三阶龙格库塔方法，通过 Matlab 进行数据拟合来求出它们的数值解。通过采集到的实际数据计算出每一天的 S，I，R，N 和 M，画出它们作为时间的函数的图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图形。对比这两组图形曲线，可以发现实际和理论存在着一定的差异。这一方面是因为在疫情发展过程中的偶然因素造成的，另一方面也是因为我们的参数估计不精确造成的。所以，我们必须通过不断的动态的调整那些非计算得到的参数（k，）来使实际图象和理论图象趋于一致。例如，初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2
11、 所示。经过不断调试，找到适当的 k，使实际图象和理论图象有最好的符合，从而得到非计算的三个参数，进而求得模型的数值解。初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图 4 所示：图 4经过多次调试,我们发现，当 K=0.71 人,=0.2,=0.8 时,实际图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是比较合理的。对政府措施的评价：对政府措施的评价：如果提前 5 天采取严格的隔离措施，那么在我们建立的模型中参数 K 将大大减小，也就是可控人数 N 中感染 sars 的人对易感人群的感染率将大大降低。反之，若延后 5 天采取严格的隔离措施，可控人数 N 中感染 s
12、ars 的人对易感人dM群的感染率将大大升高。由式 kMS(1)M可得出，可控制比例将增dt大，不可控人群变化率将降低。由于所建模型中，常微分方程涉及到的参数特别多，所以对参数的确定有一定的困难，我们仅仅通过图形法对数据进行拟合，显然其拟合的结果可靠性、准确性受到一定限制，数值解也有相对的不确定性。对问题三的回答：对问题三的回答：旅游业经济模型由于 SARS 的原因，我国经济受到了很大的影响，我们通过对北京对海外旅游业的统计数据，建立了如下模型。符号说明DKn表示 n 年 k 月份北京接待海外旅游人数。方程各年同月增率GKDKn1 DKnDKn1DKnDKnk 1,212如图 5 所示1.51
13、0.5002年增长率01年增长率00年增长率99年增长率98年增长率13579-0.511图 4112平均年增长率G GK12K1如图 5 所示年平均增长率0.30.20.10-0.112345年平均增长率图 5由于 8 月非典得到有效抑制，全国非典病人也实现了零增长，故经济开始慢慢恢复，如图，在 5，6 月份，经济增长与去年同期相比，增长率快达到负 1，之后，由于非典得到控制，开始回升，估计在11 月，可达到正常水平。从图中，我们算得 9 月份，海外旅游人数 22.35 万人，10 月份，海外旅游人数 22.35 万人，11，12 月份，如果说非典不反弹，有望达到正常水平。03 年海外旅游数据统计如图 6 所示03年增长率0.501-0.5-12345678图 6