高中数学经典题目版.pdf

《高中数学经典题目版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学经典题目版.pdf（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、高中数学经典题目高中数学经典题目-2-例 1 判定以下关系是否正确(1)aa(2)1，2，33，2，1(3)0(4)00(5)0(6)0 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的 说明：含元素 0 的集合非空 例 2 列举集合1，2，3的所有子集 分析 子集中分别含 1，2，3 三个元素中的 0 个，1 个，2 个或者 3个 解 含有 个元素的子集有：；0 含有 1 个元素的子集有1，2，3；含有 2 个元素的子集有1，2，1，3，2，3；含有 3 个元素的子集有1，2，3共有子集 8 个 说明：对于集合，我们把和

2、叫做它的平凡子集AA 例已知，则满足条件集合的个数为3 abAabcdA _ 分析 A 中必含有元素 a，b，又 A 是a，b，c，d真子集，所以满足条件的 A 有：a，b，a，b，ca，b，d 答 共 3 个 说明：必须考虑 A 中元素受到的所有约束 例设 为全集，集合、，且，则4 UMNUNM 分析 作出 4 图形 答 选 C 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便-3-点击思维 例 5 设集合 Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 AAB BABCAB DAB 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x54aa2(2a)211，y4

3、b24b2(2b1)211，所以它们的值域是相同的，因此 AB 答 选 A 说明：要注意集合中谁是元素 M 与 P 的关系是 AMUP BMP CMP DMP 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：MUNU(UP)P；三是利用画图的方法 答 选 B 说明：一题多解可以锻炼发散思维 例 7 下列命题中正确的是-4-AU(UA)A BABBABCA122A若 ，则若，则 DA123Bx|xAAB若，则 分析 D 选择项中 AB似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支 选择支中，中的元素，即 是集合 的子集，而 的子DBxAxAA 集有，而123121323

4、123B 是由这所有子集组成的集合，集合 A是其中的一个元素 AB 答 选 D 说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意 例 8 已知集合 A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合 C 是这样一个集合：其各元素都加 2后，就变为 A的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B的一个子集，求集合 C 分析 逆向操作：A中元素减 2 得 0，2，4，6，7，则 C 中元素必在其中；B中元素加 2 得 3，4，5，7，10，则 C 中元素必在其中；所以 C中元素只能是 4 或 7 答 C4或7或4，7 说明：逆向思维能力在解题中起重要作用 例 9 设 S1，2，3，4

5、，且 MxS|x25xp0，若SM1，4，则 p_-5-分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于SM1，4，且，MS M2，3则由韦达定理可解 答 p236 说明：集合问题常常与方程问题相结合 例 10 已知集合 S2，3，a22a3，A|a1|，2，SAa3，求 a的值 S 这个集合是集合A与集合SA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用 解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足()1a33|a1|a2a3 a2a32 a2a33 222 或 (2)a3a2a3|a1|3 a2a32 a2a33 222 在(1)中，由得 a0

6、 依次代入检验，不合，故舍去 在(2)中，由得 a3，a2，分别代入检验，a3不合，故舍去，a2 能满足故 a2 符合题意 说明：分类要做到不重不漏-6-例年北京高考题 集合，11 (1993)Mx|xkZNk24 x|xkZ，则k42 AMN BMNCMN DM 与 N没有相同元素 分析 分别令 k，1，0，1，2，3，得 MNMN，易见，44345474423454 答 选 C 说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性 -7-典型例题一 例 1 下列图形中，满足唯一性的是（）A过直线外一点作与该直线垂直的直线 B过直线外一点与该直线平行的平面 C过平面外一点与平面平行的直

7、线 D过一点作已知平面的垂线 分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键要注意空间垂直并非一定相关 解：A过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面 B过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行 C过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条 D过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条假设空间点A、平面，过点A有两条直线AB、AC都垂直于，由于AB、AC为相交直线，不妨设AB

8、、AC所确定的平面为，与的交线为l，则必有lAB，lAC，又由于AB、AC、l都在平面内，这样在内经过A点就有两条直线和直线l垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾 故选 D-8-说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到 典型例题二 例 2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若

9、平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直 上述命题正确的是（）A（1）、（2）B（2）、（3）C（3）、（4）D（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形 解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；-9-（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线

10、定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性 故选 D 说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直如在正方体1111DCBAABCD 中，FE、分别为棱1AA和1BB上的点，G为棱BC上的点，且1BBEF，EGFC 1，求FGD1 典型例题三 例 3 如图，在正方体1111DCBAABCD 中，E是1BB的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面1ACD 分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面1ACD，只要在平面1

11、ACD内找两条相交直线与OE垂直 证明：连结DB1、DA1、BD，在BDB1中，OE、分别是BB1和DB的中点，DBEO1/11AB面DDAA11，1DA为1DB在面DDAA11内的射影 又DAAD11，-10-11DBAD 同理可证，CDDB11 又111DCDAD，1AD、CD1面1ACD，DB1平面1ACD EODB/1，EO平面1ACD 另证：连结CEAE、，OD1，设正方体1DB的棱长为a，易证CEAE 又OCAO，ACOE 在正方体1DB中易求出：aaaDODDOD2622222211，aaaOBBEOE232222222，aaaEBBDED232222212111 21221ED

12、OEOD，OEOD1 OACOD1，OD1、AC平面1ACD，OE平面1ACD 说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用 -11-典型例题四 例 4 如图，在ABC中，90B，SA平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为NM、，求证：SCMN 分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想欲证MNSC，可证SC面AMN，为此须证ANSC，进而可转化为证明AN平面SBC，而已知SBAN，所以只要证BCAN 即可由于图

13、中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直 证明：SA面ABC，BC平面ABC，BCSA 90B，即BCAB，ASABA，BC平面SAB AN平面SAB ANBC 又SBAN，BBCSB，AN平面SBC SC平面SBC，SCAN，又SCAM，AANAM，-12-SC平面AMN MN平面AMN MNSC 另证：由上面可证AN平面SBC MN为AM在平面SBC内的射影 SCAM，SCMN 说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的本题若改为下题，想想

14、如何证：已知SAO所在平面，AB为O的直径，C为O上任意一点（C与BA、不重合）过点A作SB的垂面交SB、SC于点NM、，求证：SCAN 典型例题五 例 5 如图，AB为平面的斜线，B为斜足，AH垂直平面于H点，BC为平面内的直线，ABH，HBC，ABC，求证：coscoscos 分析：本题考查的是线面角的定义和计算要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理 证明：过H点作HD垂直BC于D点，连AD-13-AH，AD在平面内射影为HD HDBC，BC，ADBC 在RtABH中有：BABHcos

15、 在RtBHD中有：BHBDcos 在RtABD中有：BABDcos 由、可得：coscoscos 说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为2，典型例题六 例 6 如图，已知正方形ABCD边长为 4，CG平面ABCD，2CG，FE、分别是ADAB、中点，求点B到平面GEF的距离 分析：此题是 1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离为此要寻找过点B与平

16、面GEF平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等-14-证明：连结ACBD、，EF和BD分别交AC于OH、，连GH，作GHOK 于K ABCD为正方形，FE、分别为ADAB、的中点，BDEF/，H为AO中点 EFBD/，BD平面GFE，/BD平面GFE BD与平面GFE的距离就是O点到平面EFG的距离 ACBD，ACEF GC面ABCD，EFGC CACGC，EF平面GCH OK平面GCH，OKEF 又GHOK，HEFGH，OK平面GEF 即OK长就是点B到平面GEF的距离 正方形边长为 4，2CG，24AC，2HO，23HC 在RtHCG中，2222CGHCHG 在RtGCH

17、中，11112HGGCHOOK 说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如本题可用下-15-列证法：延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作MEBP 于P，作CGBN/交MG于N，连结PN，再作PNBH 于H，可得BH平面GFE，BH长即为B点到平面EFG的距离二是转移法将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离三是体积法已知棱锥的体积和底面的面积求顶点到底面的距离，可逆用体积公式 典型例题七 例 7 如图所示，直角ABC所在平面外一点S，且SCSBSA(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD面ABC；(2)若直角边B

18、CBA，求证：BD 面SAC 分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直 证明：(1)在等腰SAC中，D为AC中点，ACSD 取AB中点E，连DE、SE BCED/，ABBC，ABDE 又ABSE，AB 面SED，SDAB SD面ABC（AB、AC是面ABC内两相交直线）(2)BCBA，ACBD 又SD面ABC，BDSD -16-DACSD，BD 面SAC 说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等 典型例题八 例 8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一

19、条也垂直于这个平面 已知：ba/，a求证：b 分析：由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与b垂直即可 证明：如图所示，在平面内作两条相交直线m、n a，ma，na 又ab/，从而有mb，nb 由作图知m、n为内两条相交直线 b 说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直 典型例题九-17-例 9 如图所示，已知平面平面=EF，A为、外一点，AB于B，AC于C，CD于D证明：EFBD 分析：先证A、B、C、D四点共面，再证明EF 平面ABCD，从而得到EFBD 证明：AB，CD，CDAB/A

20、、B、C、D四点共面 AB，AC，EF，EFAB，EFAC 又AACAB，EF 平面ABCD BDEF 说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直本题证明“A、B、C、D四点共面”非常重要，仅由EF 平面ABC，就断定BDEF，则证明是无效的 典型例题十 例 10 平面内有一半圆，直径AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影(1)求证：SBNH；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？-18-(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互

21、垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断 (1)证明：连AM、BM如上图所示，AB为已知圆的直径，BMAM SA平面，BM，MBSA ASAAM，BM 平面SAM AN平面SAM，ANBM SMAN 于N，MSMBM，AN平面SMB SBAH 于H，且NH是AH在平面SMB的射影，SBNH 解(2)：由(1)知，SA平面AMB，BM 平面SAM，AN平面SMB AHSB 且HNSB，SB平面ANH，图中共有 4 个线面垂直关系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均为直角三角形 BM 平面SAM，BAM、BMS均为直角三角形 AN平面SMB，ANS、ANM、ANH均

22、为直角三角形 SB平面ANH，SHA、BHA、SHN、BHN均为直角三角形 综上，图中共有 11 个直角三角形(4)由SA平面AMB知，AMSA，ABSA，BMSA-19-由BM 平面SAM知，AMBM，SMBM，ANBM 由AN平面SMB知，SMAN，SBAN，NHAN 由SB平面ANH知，AHSB，HNSB 综上，图中共有 11 对互相垂直的直线 说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线面”可得到“线面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线 典型例题十一 例 11 如图所示，90BAC在平面内

23、，PA是的斜线，60PACPAB求PA与平面所成的角 分析：求PA与平面所成角，关键是确定PA在平面上射影AO的位置由PACPAB，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO位置，构造直角三角形则需用三垂线定理 解：如图所示，过P作PO于O连结AO，则AO为AP在面上的射影，PAO为PA与平面所成的角 作ACOM，由三重线定理可得ACPM 作ABON，同理可得ABPN 由PACPAB，90PNAPMA，PAPA，可得PMAPNA，PNPM -20-OM、ON分别为PM、PN在内射影，ONOM 所以点O在BAC的平分线上 设aPA，又60PAM，aAM21，45OAM，aAMAO222

24、在POA中，22cosPAAOPAO，45PAO，即PA与所成角为45 说明：(1)本题在得出PA在面上的射影为BAC的平分线后，可由公式coscoscos来计算PA与平面所成的角，此时60PAC，PAO，45CAO(2)由PA与平面上射影为BAC平分线还可推出下面结论：四面体ABCP中，若PACPAB，PBCPBA，则点A在面ABC上的射影为ABC的内心 典型例题十二 例 12 如图所示，在平面内有ABC，在平面外有点S，斜线ACSA，BCSB，且斜线SA、SB分别与平面所成的角相等，设点S与平面的距离为cm4，BCAC，且cmAB6求点S与直线AB的距离 -21-分析：由点S向平面引垂线，

25、考查垂足D的位置，连DB、DA，推得ACDA，BCDB，又90ACB，故A、B、C、D为矩形的四个顶点 解：作SD平面，垂足为D，连DA、DB ACSA，BCDB，由三垂线定理的逆定理，有：ACDA，BCDB，又BCAC，ACBD为矩形 又SBSA，DBDA，ACBD为正方形，AB、CD互相垂直平分 设O为AB、CD的交点，连结SO，根据三垂线定理，有ABSO，则SO为S到AB的距离 在SODRt中，cmSD4，cmABDO321，cmSO5 因此，点S到AB的距离为cm5 说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求(2

26、)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离 (3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算 典型例题十三 -22-例 13 如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E、F、G，求证：SBAE，SDAG 分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可欲证SBAE，可证AE平面SBC，为此须证BCAE、SCAE

27、，进而转化证明BC平面SAB、SC平面AEFG 证明：SA平面ABCD，BC平面ABCD，BCSA 又ABCD为正方形，ABBC BC平面ASB AE平面ASB，AEBC 又SC平面AEFG，AESC AE平面SBC 又SB平面SBC，SBAE，同理可证SDAG -23-说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性 典型例题十四 例 14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那

28、么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知：BAC在平面内，点P，ABPE，ACPF，PO，垂足分别是E、F、O，PFPE 求证：CAOBAO 证明：PO，OE为PE在内的射影 PEAB，平面AB，OEAB 同理可证：OFAC 又PO，PFPE，OFOE，CAOBAO 说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线由此结论和上一个例题很容易-24-求解下面这道题：已知90ACB，S为平面ACB外一点，60SCBSCA，求SC与平面ACB所成角 典型例题十五 例

29、 15 判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打“”号(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行（）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直（）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（）(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于的平面内（）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面（）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行 异面，因此应打“”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“”，正是因为这两种情况

30、可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“”号(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“”(4)前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线-25-a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，该命题应打“”号(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，ba，ca，0cb，且b，c确定一平面，设为，则a，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由了确定

31、的平面，该命题应打“”号 说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用 典型例题十六 例 16 如图，已知空间四边形ABCD的边ACBC，BDAD，引CDBE，E为垂足，作BEAH 于H，求证：BCDAH平面 分析：若证BCDAH平面，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可 证明：取AB中点F，连CF、DF，BCAC，ABCF 又BDAD，ABDF，CDFAB平面，又CDFCD平面，ABCD -26-又BECD，ABECD平面，AHCD，又BEAH，BCDAH平面 典型例题十七

32、 例 17 如果平面与外一条直线a都垂直b，那么/a 已知：直线a，ba直线，b求证：/a 分析：若证线面平行，只须设法在平面内找到一条直线a，使得/aa，由线面平行判定定理得证 证明：(1)如图，若a与b相交，则由a、b确定平面，设a /,aaaaaabaababab又(2)如图，若a与b不相交，则在a上任取一点A，过A作bb/，a、b确定平面，设a /,/aaaaaaabababbbababbbb又又又-27-典型例题十八 例 18 如图，已知在ABC中，60BAC，线段ABCAD平面，DBCAH平面，H为垂足 求证：H不可能是DBC的垂心 分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明 证

33、明：如图所示，假设H是DBC的垂心，则DCBH DBCAH平面，AHDC，ABHDC平面，DCAB 又ABCDA平面，DAAB，DACAB平面，ACAB，这与已知60BAC矛盾，假设不成立，故H不可能是DBC的垂心 说明：本题只要满足90BAC，此题的结论总成立不妨给予证明 典型例题十九 例 19 在空间，下列哪些命题是正确的（）平行于同一条直线的两条直线互相平行 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 平行于同一个平面的两条直线互相平行-28-垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A仅不正确 B仅、正确 C仅正确 D四个命题都正确 分析：该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的；

34、如图，直线a平面，b，c，且Acb，则ba，ca，即平面内两条直交直线b，c都垂直于同一条直线a，但b，c的位置关系并不是平行另外，b，c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面外，此时与a的位置关系仍是垂直，但此时，b，c的位置关系是异面 如图，在正方体1111DCBAABCD 中，易知ABCDBA平面/11，ABCDDA平面/11，但11111ADABA，因此该命题是错误的 该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的 综上可知、正确 应选 B 典型例题二十 例 20 设a，b为异面直线，AB为它们的公垂线(1)若a，b都平行于平面，则AB；(2)若a，b分别垂直于平面、，且c，则cAB

35、/-29-分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明AB；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明cAB/图 图 证明：(1)如图 1，在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b/a，/b，/aa，/bb 又aAB，bAB，aAB，bAB，AB(2)如图 2，过B作BB，则aBB/，则BBAB 又bAB，AB垂直于由b和BB确定的平面 b，cb，BB，cBB c也垂直于由BB和b确定的平面 故ABc/说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面

36、垂直如题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面然后借助于题目中的其他垂直关系证得 -30-典型例题二十一 例 21 如图，在正方体1111DCBAABCD 中，EF为异面直线DA1与AC的公垂线，求证：1/BDEF 分析：证明1/BDEF，构造与EF、1BD都垂直的平面是关键由于EF是AC和DA1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用 证明：连结11CA，由于11/CAAC，ACEF，11CAEF 又DAEF1，1111ACADA，DCAEF11平面 11111DCBABB平面，111111DCBACA平面，111CABB 四边形1111DCBA为正方形，1111

37、DBCA，1111BBBDB，DDBBCA1111平面，而DDBBBD111平面，111BDCA 同理11BDDC，1111CCADC，DCABD111平面 由、可知：1/BDEF 典型例题二十二-31-例 22 如图，已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，aPCPBPA，求P点到平面ABC的距离 分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长 解：过P作ABCPO平面于O点，连AO、BO、CO，AOPO，BOPO，COPO aPCPBPA，PAOPBOPCO，OCOBOA，O为ABC的外心 PA、PB、PC两两垂直，aCABCAB2，ABC为正三角形，aABA

38、O3633，aAOPAPO3322 因此点P到平面ABC的距离a33 说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离-32-(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结 典型例题二十三 例 23 如图，已知在长方体1111DCBAABCD 中，棱51AA，12AB，求直线

39、11CB和平面11BCDA的距离 分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解 解：如图，BCCB/11，且1111BCDACB平面，11BCDABC平面，1111/BCDACB平面 从而点1B到平面11BCDA的距离即为所求 过点1B作BAEB11于E，11ABBABC平面，且BBAAEB111平面，EBBC1 又BBABC1，111BCDAEB平面 即线段EB1的长即为所求，-33-在BBARt11中，13601251252211111BABBBAEB，直线11CB到平面11BCDA的距离为1360 说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等

40、基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解 典型例题二十四 例 24 AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为30，cmAD8，BCAB，BCDC 求线段BC的长 分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD、BC所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC之长 解：如图，在平面内，过A作BCAE/，过C作ABCE/，两线交于E BCAE/，DAE就是AD、BC

41、所成的角，30DAE BCAB，四边形ABCE是矩形连DE，CDBC，CEBC，且CCECD，-34-CDEBC平面 BCAE/，CDEAE平面CDEDE平面，DEAE 在AEDRt中，得34AE，)(34cmAEBC 说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段 35 典型例题一 例 1 解不等式：（1）015223xxx；（2）0)2()5)(4(32xxx 分析：如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式0)(xf（或0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况

42、解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(xxx 把方程0)3)(52(xxx的三个根3,25,0321xxx顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分 原不等式解集为3025xxx或（2）原不等式等价于 2450)2)(4(050)2()5)(4(32xxxxxxxxx或 原不等式解集为2455xxxx或或 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图 典型例题二 例 2 解下列分式不等式：36（1）22123xx；（2）12731422xxxx 分析

43、：当分式不等式化为)0(0)()(或xgxf时，要注意它的等价变形 0)()(0)()(xgxfxgxf 0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(xgxfxfxgxfxgxgxfxgxf或或 （1）解：原不等式等价于 0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 用“穿根法”原不等式解集为,62,1)2,(。（2）解法一：原不等式等价于 027313222xxxx 21213102730132027301320)273)(132(222222xxxx

44、xxxxxxxxxxx或或或 原不等式解集为),2()1,21()31,(。解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(xxxx 37 0)2()13)(1)(12(xxxx 用“穿根法”原不等式解集为),2()1,21()31,(典型例题三 例 3 解不等式242xx 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(aaaaa 二是根据绝对值的性质：axaxaxaax.,或ax，因此本题有如下两种解法 解法一：原不等式240424042222xxxxxx或 即1222222xxxxxxx或或或 32 x或21 x 故原不等式的解集为31 x

45、x 解法二：原不等式等价于 24)2(2xxx 即)2(42422xxxx 312132xxxx故或 典型例题四 例 4 解不等式04125622xxxx 38 分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：041205622xxxx或041205622xxxx 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：0412,05622xxxx或0412,05622xxxx;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx或;0)6)(2(,0)5)(1(xxxx；62,51xx或6,2,5

46、,1xxxx或或,51x或2x或6x 原不等式解集是6512xxxx，或，或 解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(xxxx 画数轴，找因式根，分区间，定符号 )6)(2()5)(1(xxxx符号 原不等式解集是6512xxxx，或，或 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解 39 解法二中，“定符号”是关键当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用 典型例题五 例 5 解不等式xxxxx222322 分析：不等式左右两边都是含有x的

47、代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解 解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2xxxxx 由012 xx恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(xxx 解之，得原不等式的解集为321xxx或 说明：此题易出现去分母得)23(2222xxxxx的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理 典型例题六 例 6 设Rm，解关于x的不等式03222 mxxm 分析：进行分类讨论求解 解：当0m时，因03一定成立，故原不等式的解集为R 当0m时，原不等式化为0)1)(3(

48、mxmx；40 当0m时，解得mxm13；当0m时，解得mxm31 当0m时，原不等式的解集为mxmx13；当0m时，原不等式的解集为mxmx31 说明：解不等式时，由于Rm，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当0m时，原不等式化为03，此时不等式的解集为R，所以解题时应分0m与0m两种情况来讨论 在解出03222 mxxm的两根为mx31，mx12后，认为mm13，这也是易出现的错误之处这时也应分情况来讨论：当0m时，mm13；当0m时，mm13 典型例题七 例 7 解关于x的不等式)0(122axaax 分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解 解：原不等式;)

49、1(2,01,02)1(222xaaxxaax或.01,02)2(2xax 由0a，得：;01)1(2,1,2)1(22axaxxax.1,2)2(xax 由判别式08)1(4)1(422aaa，故不等式01)1(222axax的解是aaxaa2121 当20a时，1212aaa，121aa，不等式组(1)的解是121xaa，不等式组(2)的解是1x 41 当2a时，不等式组(1)无解，(2)的解是2ax 综上可知，当20 a时，原不等式的解集是,21aa；当2a时，原不等式的解集是,2a 说明：本题分类讨论标准“20a，2a”是依据“已知0a及(1)中2ax，1x，(2)中2ax，1x”确定

50、的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定 本题易误把原不等式等价于不等式)1(22xaax纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法 典型例题八 例 8 解不等式331042xx 分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可 解答：去掉绝对值号得3310432xx，原不等式等价于不等式组 06104010433104310432222xxxxxxxx.321,2500)12)(3(20)52(2xxxxxxx或 原不等式的解集为325021