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1、第三讲函数与不等式问题的解题技巧【命题趋向】全国高考数学科 考试大纲为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向.考纲是考试法典，是命题的依据，是备考的总纲.科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲.对照2023年的考纲和高考函数试题有这样几个特点：1.通过选择题和填空题，全面考察函数的基本概念，性质和图象.2.在解答题的考察中，与函数有关的试题经常是以综合题的形式出现.3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考察.4.一些省市对函数应用题的考察是与导数的应用结合起来考察的.5.涌现了一些函数新题型.6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，并且对于数列，不等式，解析
2、几何等也需要用函数与方程思想作指导.函数类试题在试题中所占分值一般为22 3 5 分.而 202 3 年的不等式试题则有这样几个特点：1.在选择题中会继续考察比较大小，也许与函数、方程、三角等知识结合出题.2.在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.3 .解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.分值在27一-3 2 分之间，一般为2 个选择题，1 个填空题,1 个解答题.可以预测在202 3 年的高考试题中，会有一些简朴求函数的反函数,与导数结合的函数单调性一函数极值-函数最值问题;选择题与填空题中会出现
3、一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解儿的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。【考点透视】1.了解映射的概念，理解函数的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简朴函数的单调性和奇偶性的方法，并能运用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简朴函数的反函数.4.理解分数指数的概念，掌握有理指数基的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性
4、质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.可以运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简朴的实际问题.7.在纯熟掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简朴不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.。8.掌握解不等式的基本思绪，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.9.通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）,使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题.10.通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函
5、数等基本数学思想方法证明不等式的能力.11.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题.1 2.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识.【例题解析】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考察的重点内参之一.这里重要帮助考生灵活掌握求定义城的各种方法，并会应用用函数的定义域斛决有关问题.例1.(2 0 23年广东卷理)已知函数/(x)=)=的 定 义 域 为M,g
6、(x)=l n(l +的定义域为N,则MCI N(A)x|x-1 (B)x|x 1 (C)x|-l x l (D)0命题意图：本题重要考察具有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数/(x)=-=的定义域 M=x|x-1 ,.MCI N =Jl-x x|-1 x 。=x 4.，故选D.(l o g2 x-2 02.求函数的反函教求法数的反函数，有助与培 养 人的逆.向思维能力和深化对函数的定义域.值域，以及南教概,念的理斛.例 3.(202 3 年安徽卷)函数 =2.2 0 的反函数是()-x2,x 0i,x-xyx 0yJ X,X 0命题意图：本题重要考察有关分段函数的反函数的求法.
7、解y=2x,/.x =.,.广(x)=泉(x 之 0);又.y =-X2,y 0,y-l =一 /Z ,(x 0.y=2 yJ X,X 0.故 选 c.例4.(2 0 2 3年湖北卷 理)已知函数y =2x 的反函数是y =Z z x+3，则。=:b-.命题意图：本题重要考察反函数的求法及待定系数法等知识.解：y=2x-a,.x=，(y+a),/.y=，(x+a)=1x+与 丁 =法+3 比较得=6力=不.2 2 2 2 L故填&，23.复合函数问题复合困教问题，是新课程、新高考的重 点.此类题目往往分为两类:一是结合函数斛析式的求法来求复合函教的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域，
8、例 5.(2023年北京卷文)对于函数/(x)=|x+2|，/(x)=(x-2)2,/(x)=cos(x-2),判断如下两个命题的真假：命题甲：/(x+2)是偶函数；命题乙：/(X)在(-oo,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数;能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A.。B.C.。D.命题意图：本题重要考察运用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解:/(x)=(X-2)2,./(X+2)=_?是偶函数，又函数/(x)=(X-2)2开口向上且在(-00,2)上是减函数,在(2,+8)上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有/(x)=(x-2)z.故选C例 6.(2 0 2
9、3 年 安 徽 卷)函 数“X)对于任意实数x 满 足 条 件/(x+2)=，若/(1)=-5,/(x)则 八 5)=-命 题 意 图：本题重要考察代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解：由 f(x +2)=得 x+4)=-八f(x)八；/(x +2)人.所 以 八 5)=/(1)=-5，则小4.舀数的单调性.奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内衮之一，考 察 内 衮 灵 活 多 样.这 里 重 要帮 助 读 者 深 刻 理 解 奇 偶 性、单 调 性 和 周 期 性 的 定 义，掌 握 鉴 定 方 决，对 的 结 识 单 调 的 数 与 奇 偶函数的图象.例7.(2 0
10、2 3年 全 国 卷)已知 函 数 x)=a _*,，若/(x)为 奇 函 数，则。=命 题 意 图：本题 重 要 考 察 函 数 的 解 析 式 的 求 解 以 及 函 数 的 奇偶性应用.常 规 解 法：由f (x)为 奇 函 数，所 以f(x)+f(-x)=0,即。_ _L +”_ _=()2*+1 2-*+1 .=U-+-L-=L=L 应填 L2(2 +1 2x+1)2 2、+1 2 2巧 妙 解 法：由 于f(x)为 奇 函 数，所 以f(0)=0,即_ _ 二=().=1应 填L2+1 2 2点 评：巧 妙 解 法 巧 在 运 用 了 f(x)为 奇 函 数，所 以f (0)=0,
11、这 一 重 要 结论.例8.(2 023年全国卷理I)/(x),g(x)是定义在R上的函数，/?(x)=/(x)+g(x)，则”/(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件“-B.充足而不必要的条件C.必要而不充足的条件。D.既不充足也不必要的条件命 题 意 图：本题重要考察两个函数的加法代数运算后的单调性以及充足条件和必要条件的相关知识.解 先证充足性：由于/(x)，g(x)均为偶函数，所以/(-X)=/(X),g(-x)=g(x)，有M-X)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所 以/z(x)为偶函数.反过来，若(x)为偶函数,/(X)g(x)
12、不一定是偶函数.如(x)=x2,f(x)=X,g(x)=X?-X,故选B.方法二:可以选取两个特殊函数进行验证.故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充足性，又要证必要性,二着缺一不可.同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证.5.函数的图象与性质困 教 的 图 象 与 性 质 是 高 考 考 察 的 重 点 内 家 之 一，它 是 研 究 和 记 忆 的 数 性 质 的 直 观 工 具,运 用 它 的 宜 观 性 斛 题，可 以 起 到 化 繁 为 简、化 唯 为 易 的 作 用.因 此，读 者 要 掌 握 绘 制 舀 教 图象 的 一 般 方 法，掌 提 函 教 图 象 变 化
13、 的 一 般 规 律，能 运 用 的 数 的 图 象 研 究 函 数 的 性 质.此 类 题 目还 很 好 的 考 察 了 数 形 结 合 的 努 题 思 想，例9.(2023年山东卷)函数y=1+(0 1)的 反 函 数 的 图 象 大 体 是()(A)(B)(C)(D)命题意图：本题重要考核对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：y 1+。(0a 1),；fT(x)=iog“(x-l),(0a1),此 函 数 图 象 是 由 函 数小)=10&,乂(0 1)向右平移一个单位得到的故 选A.6.函数综合问题函 教 综 合 问 题 是 历 年 嵩 考 的 热 点 和 重
14、 点 内 衣 之 一，一 般 唯 度 较 大，考 察 内 家 和 形 式 灵 活多 样.这 里 重 要 帮 助 考 生 在 掌 握 有 关 的 数 知 识 的 基 础 上 此 一 步 深 化 综 合 运.用 知 识 的 能 力，拿握 基 本 解 题 技 巧 和 方 法，并 培 恭 犊 者 的 思 维 和 创 新 能 力.例 10.(2 023 年浙江卷文)已知/(x)=|x2-l|+/+kx.()若&=2,求方程y(x)=()的解；(I I)若关于x的方程/(x)=o在(0,2)上有两个解XIK2,求k的取值范围，并证明_!_ +_ 1时,即x2 1或v M-1时，方程化为2/+2 x-1 =
15、0,解得x =土 且.因 为0 也叵 1,舍去，所以x =1巨.2 2 2当/-1附,即-1 X1,方程化为l+2 x =0,解得x =-L2由得，当k=2 f l寸,方程/(x)=0的解是(I I)解:不妨设0玉 l,/(x)=M+l,|x|1,所以/(幻在(0,1 是单调递函数，故fx=0在(0,1 上至多一个解，若玉,马(1,2),则中2=-(。，故不符合题意，因此，王e(O,i,x2 (1,2).由$)=0,得攵=,所以AW T王17由f(工2)二 ，得k-2X2,所以&_ 1.x2 27故当-/攵-1时,f(x)=0在(0,2)上有两个解.方法一：因为西e(0,1,所以占=-%而方程
16、2/+h-1 =0的两根是-y+8.因为占 e(l,2),所以X 2 =-*+8,则-!+-!-=_ ：+,4 _ =_ 1(2+8-&),士工2 2+8 2 2而y =-2+8-攵 在(一1,T)上是减函数,则4 2+8 _%+8+2 =8,2 V 2 2因此 +-4.X 方法二：由于修(0,4所以0+1=0；，由于 (1,2),所以Z为一 1 =0,由消去人得2 X X,X j x2=0,即I-=2%.又因为 w (1,2),所以I-4.7.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式，以考察不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的，解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合，准确
17、解题.例 1 1.(202 3 年北京卷文)记关于X的不等式m o的解集为P，不等式|x-l|W 1 的解集为Q.(I)若a =3,求 P;(I I)若Q aP，求正数。的取值范围.命题意图：本题重要考察集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.解：由土口 o,得尸=何-1 0,得 P=x|-1 x 2,即。的取值范围是(2,+8).8.以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式，重在考察数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形，分析求解.例 12.(2023年辽宁卷)双曲线=4 的两条渐近线与直线x =3围成一个三角形区域，表达该区域的不等式
18、组是x-y 0 x-y 0 x-y 0 x-y 0(A)00(B).上 八(D)x+y00 x 30 x30 x30 x 0解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足x+)，2 0()x 0,:上 0,EPp:x5,x-4.1 _ v2q:-0,B P -1 x 1,或x 2.x-2故选(A)10.与 函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识，通过推理来解决问题.例 14.(2023年山东卷)设/(衿=卜1,：2.(A)0。(B)l。(C)2。(口)3命题意图:本题重要考察运用不等式和函数知识解决问题的能力.解：/(/(2)7f(log33)=/(I)=
19、2e=2.故选(C)1 2.与 平面向量知识结合的不等式与平面向量知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合平面向量知识和坐标运算，通过和坐标运算和推理来解决问题.例 1 5.(202 3 年辽宁卷)设0(0,0),A(l,0),8(M),点P 是线段A8上的一个动点,Ap=/i4g,若丽 丽2 两厢,则实数X的取值范围是(A)-2 1 0 0(B)J_2 2 而 丽,.(x,y)(-lj)(l-x9-y)(-xj-y),二.f+)3 y 2 0,.(1 幻 +4-2/1 0,.1-4 4 4 1 H-.2 2又点P是线段48上的一个动点，.-.0 /1 1.e.1 4 2 Vl.2故
20、选(B)13.与函数的导数知识结合的不等式.与函数的导数知识结合的不等式，解题时往往以不等式和函数的导数为工具，结合函数知识，通过推理来解决问题.例1 6.(20 2 3年江西卷)已知函数/(x)=x 3+x 2+f e x +c在x =-2与x =l时都取得极值.3(1)求。、匕的值及函数/a)的单调区间；(2)若对 _1,2卜不等式f(x)c 2恒成立，求C的取值范围.命题意图：本小题考察函数的导数,函数，函数极值的鉴定,给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考察就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.解:/(x)=V +ax2+c J (x)=3 x2+2ax+b,2 1
21、2 4由/(_)=_+力=0,尸(1)=3 +2 +6 =0,fx)=3 x2-x -2 =(3 x +2)(x -1),函数f (x)的单调区间如下表:X/2、一 8 一 3_2 31(1,+8)fx)+00+f(x)极大值极小值所以函数/(X)的递增区间为(_8,_|)与(1,物)；递减区间为(_:),1 ,(2)f(,x)=x3-x-2 x+c7 77x e-1,2,当x=_ 时,f(x)=药+c为极大值，阿 =2+c,则/=2+c为最大 值.要使f(x)/(2)=2+c,解得c c-l或c2.14.与数列知识结合的不等式与数列知识结合的不等式，解题时往往以不等式和数列知识结合为工具，结
22、合函数知识，通过计算和推理来解决问题.例 17.(2 0 2 3年湖北卷)设数列 4 的前项和为S,，点卜，鼠)W N)均在函数y=3 x-2 的图像上.(I)求数列 ,的通项公式；(II)设 =_ J _,7；是数列也 的前n 项和,求使得T n 对所有n e N*都成立的最小正整20数，.命题意图：本小题重要是考察等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考察分析问题能力和推理能力.解:(I)依题意得，区=3”-2,即S“=3,j-2 .n当 n 2 2 时，an=S-5_,=(32-2)-3(n-1 )2-2(n-1)=6n-5；当 n=l 时，a,=S,-3xi2-2xl-
23、1-6x1-5.所以 a“=6-5(e V)(i i)由(i)得匕=3=_!_=-_(6n 5)6(M+1)-5 2(6-5 6 +l因此，使得U l_ _!1 成立的m 必须满足L w .,即m 2 10,故满足规定的最6”+口 20V 2 20小整数m 为 10.1 5.不等式的实际应用不等式的实际应用题，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型，运用计算和推理来解决问题.例 1 8.(2 0 2 3 年重庆卷文)(本小题满分1 2 分)用 长 为 1 8 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，规定长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少
24、时，其体积最大？最大体积是多少？命题意图:本小题重要考察运用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力.解:设长方体的宽为x (m),则长为2 x(m)，高为.1 8 _ 1 2 x ._/3、h-=4.5 -3 x(0 x ).4 2故长方体的体积为 v(x)=2/(4.5 -3 x)=9 x2-6 x3(w3)(0 x|).从而 V V)=18JC-18X2=18X(1-JC)令 V(x)=0,解得x =0(舍 去)或 x=l,因此x=l.当 0 x 0;当时，M(x)0,则下列函数:y=3-x),y=l+_2 _,)=f 2,/(x)y 6 灰,其中增函数的个数
25、为()A.1 B.2 C.3 D.44 .关于x 的方程9x+(a+4)-3s+4=0 有解,则实数a 的取值范围是()A.(-8,-8 U 0,+8)B、(-8,.4)-8,4)D、(-,-8 5.若 a0,b0,且 2 a+b=l,贝 I S=2 a-4 a b?的最大值是()A.6-1 上、V 2-1 C、6 +1 D V 2 +12 26 .已知不等式加2+(c oy2 0 5)%+4 s j 2 f o 恒成立，则实数，”的取值范围是()A.0 Wn?W4 B.l Ww W4 C .m，4 或 x W 0 或 m W O二.填空题7 .设 f(x)=x2-1 (xW-2),则 尸(4
26、 )=.8 .已知/(x)=3 x-2,则尸 1(3 r 2)=.9 .已知犬x)是奇函数，当 xG(0 ,1 )时，/(x)=l g _,那么当x e(-1 ,0)时，f(x)+x的 表 达 式 是.1 0 .记+一 +2 ,则 S与 1 的大小关系是_.21 0 21 0+1 21 0+2 2 -11 1 .当x e(0,3 时，函数y=cos等 啊 J的最小值是_ 2;sin 2%1 2 .实数x,)，满 足:=x-y,则x的取值范围是.三.解答题13.设函数f(x)=1 0 g2(x+1),当点(x,y)在 y=f (x)的反函数图象上运动时，相应的点(/)在 y=g(x)的图象上.求
27、 g (x)的表达式；(2)当 g (x)f (x)1 0 0 时.其中x 为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A元，但每生产出一件次品就要损失4元.3(1)将该厂的日赢利额T(元)表达为日产量x(个)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了获得最大赚钱，该厂的日产量应定为多少？1 5.已知/(x)=(xR _l).x+1(I)求/1(x)的单调区间；(2 )若.0,c =5，求证:f(a)+f(c).(a-b)b 41 6.某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时(4 W V W 2 0 )从A港出发前往5 0千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千 米/小 时(3 0 W W W 1 0 0)自B
28、港向3 0 0千米处的C市驶去，在同一天的1 6时至2 1时到达C市，设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费p =100+3(5-x)+2(8-y)元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.【参考答案】一.1.A 提醒：x2+2 x-3 0j i Jx l g U 0,所以其-2/W，和f M都是增函数.4 .D 5.A 6.C二.7.-石.8.X.9.提醒:当 x d (-1,0)时,-x G(0,l),=-l g J _=l g (1-x).+x10.s 一；即 x=log,|,心心=_ i -14.(1)易知丁二不.。-p)+,必=4 4 1-_-
29、,Xe(0,100),AS?/*(2)求T的最大值是个难点.须变换:T =A“x-4-x-1 =A”x404 41 4.、404”易 知 当 且 仅 当-+=A101+(101-x)+-勿 二 旦 区 二3(101-x)3(101-x)3 3 3(101-x)X=1()1 _ 之8 9.4时,T最大.但是x e N*,/(89)J(9 0)两者的最大值一定是T的最大值吗？这是本题的第二个难点.因此，必须证明函数7(刈在(0，101_理)上 是 增 函 数，而在(10 榨，1 0 0)上是减函数.15.解：对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形，得/(幻=1_ _X+1f(x)在区间
30、和(T+00)上分别单调递增.(2)一方面证明任意x y 0,有/。+丫).x+1 y+1 xy+x+y+xy+x+y+1=/(肛+x+y)而肛+x +y x+y,由矢叶(孙+x+y)f(x+y),。A/(x)+/(y)/(jr+y)/1 、1 4 cc=-：_：-=r 0，(a-h)h a-b +b 2 aI 2).a +c+4 3./()+/(c)f(a +c)/(3)=12 2 a-41 6.解：题中己知了字母，只需要建立不等式和函数模型进行求解.由于 y 哼 及4VVV100,r.2.5VyV12.5,同S 3V X V I0又 9 V x+y V14P=100+3(5-x)+2(8-y)=131-(3 x +2y),令z=3x+2y.则Z最大时P最小.作出可行域，可知过点(10,4)时,z有最大值38,.P 有最小值 93,这时 V=12.5,W=30.视z=3x+2 y这是整体思维的具体体现，当中的换元法是数学解题的常用方法