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1、第三讲函数与不等式问题的解题技巧【命题趋向】全国高考数学科考试大纲为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向.考纲是考 试法典，是命题的依据，是备考的总纲.科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲. 对照2023年的考纲和高考函数试题有这样儿个特点：L通过选择题和填空题，全面考察函数的基本概念，性质和图象.2 .在解答题的考察中，与函数有关的试题经常是以综合题的形式出现.3 .从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考察.4 .一些省市对函数应用题的考察是与导数的应用结合起来考察的.5 .涌现了一些函数新题型.6 .函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，并且对于数列，不
2、等式，解析 几何等也需要用函数与方程思想作指导.函数类试题在试题中所占分值一般为22 35分.而202 3年的不等式试题则有这样几个特点：1 .在选择题中会继续考察比较大小，也许与函数、方程、三角等知识结合出题.2 .在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值 和最小值应用题.3 .解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想 和方法.分值在27一一. 3 2分之间，一般为2个选择题，1个填空题,1个解答题.可以预测在202 3年的高考试题中，会有一些简朴求函数的反函数,与导数结合的函数单 调性一函数极值函数最值问题;选择题与填空题中
3、会出现一些与函数、方程、三角等知识结 合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和 求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这 些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。AP = 4 而，即(X 1, y) = 2(-1,1),x = 1-A,y = A.：OP AB M而,.(羽 y)(1,1) (l-x,-y)(-x,l- y), r + y2 - y 2 0, (1 - A)2 + 分22 0,1/11 +.又点尸是线段A3上的一个动点，/.OZ /=2 + c,解得cv-1或c2.14 .与数列知识结合的不等式
4、 与数列知识结合的不等式，解题时往往以不等式和数列知识结合为工具，结合函数知识，通过 计算和推理来解决问题.例17.（2 0 2 3年湖北卷）设数列%的前n项和为，点2（ e N*）均在函数y = 3x-2的图像上.（I）求数列的通项公式；（II）设2是数列也的前几项和,求使得对所有力”都成立的最小正整 数团.命题意图：本小题重要是考察等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能, 考察分析问题能力和推理能力.解：（I ）依题意得g=3-2,即5=32_2.n当 nN 2 时，=s,St=（32_2）_3（_1）2_2（_1） = 6_5；n 1 时，4 = S - 3 x F -2x
5、 1 - 1 -6x 1 -5.(ID 由(I )得b = 3 =!= -n aa+i (6n - 5) 6(n + 1)-5 216 - 5 6/2 + 1因此，使得_L_L) 216/? + lJ所以。 =6 -5(n e, N*) 即m2 10,故满足规定的最“（叱）成立的111必须满足！_ , 20v 7220小整数m为10.15.不等式的实际应用 不等式的实际应用题，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识和函数的导数的应用, 通过建立不等式模型，运用计算和推理来解决问题.例18. (2023年重庆卷文)(本小题满分12分)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，规定长方体的长与宽
6、之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？命题意图:本小题重要考察运用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决 实际问题的能力.解:设长方体的宽为x (m),则长为2x(m)，高为,J8；2x = 4.5_3x(z) (0x|).故长方体的体积为V(x) = 2x2(4.5-3x) = 9x2 -6x3(/n3) (0x|).从而Vz(x) = 18x-18x2 = 18x(1-x)令 V(x) = 0,解得x = 0(舍去)或因此x=l.当 0x0;当lx时，V(x)0,则下列函数:y= 3-次x),y=l +，产(。 /(X)F二1-4商，
7、其中增函数的个数为()A. 1B. 2 C. 3D.4.关于x的方程9x+(a+4) - 3x+4=0有解,则实数a的取值范围是(A. (-8, -8 U0, +8)B、(-8, -4)-8, 4) D、(-oo,-8.若a0,b0,且2a + b = l,贝U S = 2荷-4 a之上？的最大值是(A. 6-oB、V2-1C、6 + 1oD、V2 + 1226 .已知不等式加2+(co$2。5) z+4s /后夕NO恒成立，则实数2的取值范围是()A.0WzW4 B.1根W4 C . m24 或 xW 0 D.mNl 或相WO二.填空题7,设 f ( x)=x2- 1 (x-2)，则 r(4
8、 ) =.8.已知 /(x)=3x-2,则 f1 (3x-2)=.9,已知/(x)是奇函数，当 x(0, 1 )时，f ( x) = lg 1 ，那么当 x (-1 ,0)时，f (x) 1 + x的表达式是.10 .记$=二+二一+ 一一十+一，则S与1的大小关系是.210 210 +1 210 +2211 -1.当x/O,g时，函数旷=上空学人的最小值是. 2 7sin2x.实数x, y满足二=工- y ,则x的取值范围是. y三.解答题.设函数f(x) =1 0 g2(x +1),当点(x, y)在y=f (x)的反函数图象上运动时，相应的点(日2)在y=g(x)的图象上.23(1)求g
9、 (x)的表达式；(2)当 g (x) 一 f 1 (x) 100时.其中x为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A元，但每生产出一件次品就要损失4元. 3(1)将该厂的日赢利额T (元)表达为日产量x(个)的函数，并指出这个函数的定义域;为了获得最大赚钱，该厂的日产量应定为多少?12 .已知 % (x w -1).X+1(1)求/(x)的单调区间;(2 ) 右。/?0,c =!，求证：/() + /(c) .(。一 b)b4.某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时(4WVW2 0 )从A港出发前往5 0千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时(30WWW100)自B港向300千米处的C市驶去，
10、在同一天的16时至21时到达C市，设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费p = 100 + 3(5-x) + 2(8-y)元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.【参考答案】 一.1.A 提醒：x2+2x-30JIiJx1u0,所以其-纨幻,27u)，和都是增函数.4.D5.A 6.C.7.-75 .8. X.9.提醒:当(-1,0)时,-x(0/)，g)=-/(-x) =-lgJ_=lg (1 -x).1 + x10. 5y0,有/(x+ y) ) =+= x + l y + 1 xy + x+y + 1 xy + x+y + l=f(xy + x
11、+ y)而+ x + y x + y, 由知/(肛 + x + y) 于(x + y0/(x) + /(y)/(x+y)114 c =-=0,(a -b)ba-b + b 2 a22).tz + c- + - + 3./() + /(c) f(a + c) /(3) =；2 2 a2416.解：题中已知了字母，只需要建立不等式和函数模型进行求解.由于 y 哼及4WVW100,，2.5WyW12.5,同理3co又 9-1 (B) xxl(C) x| 1 x 1(D)0命题意图：本题重要考察具有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数 /(x) = /一 的定义域 M= |x|x-1, A
12、MAN = Vl-xx| -1 x=x4.，故选D.log? x-2 0求函数的反舀教求必数的反法教，有助与垓养人的逆向思维能力和深化对身教的定义城、值域，以及函 教概念的理斛.例3. (202 3年安徽卷)函数 12/2的反函数是()|-x2,x0(A)二 9/-x,x 0V-x,x0(C)y=-a/x, x 0-x, x 0)； 22又 y = -x2,y0,.(x) =0二. y = 2一1x, x 0.故选C.例4. (2 0 23年湖北卷理)已知函数y = 2x 的反函数是y = x + 3，则。=b =.命题意图：本题重要考察反函数的求法及待定系数法等知识.解:y = 2%一, x
13、+ ),. y =+ =11f 1x+ q.与 y = x+3 比较得。6,b .222故填6.， 2.复合法教问题复合函数问题，是新课程、新高考的重点、此类题目往往分为两类:一是结合舀数斛折式的求法来求复合国数的值.二是应用已知舀教定义域求复合国数的定义域、 例5,(2023年北京卷文)对于函数/(x) = |x+2|，/(x) = (x 2)2,/(x) = cos(x 2),判断如下两个命题的真假：命题甲：/(x + 2)是偶函数；命题乙：/(%)在(-00,2)上是减函数，在(2, + 8)上是增函数;能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A.。B .A.。B .C。D.命题意图：
14、本题重要考察运用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解:/(%) = (% 2)2,./(x+2) = 1是偶函数，又函数/(X)= 5 2)2开口向上且在(00,2)上是减函数, 在(2,+ 8)上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有f(x) = (x-2)2.故选C例6.(2 0 2 3年安徽卷)函数“X)对于任意实数X满足条件x + 2)= L，若/=-5, fx)命题意图： 本题重要考察代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解：由“工+ 2)=，得工+ 4)=/(幻，所以/(5)=八1) = -5,则 )/(x)八)4+2)1 _ 1/(-1 + 2)=-54函数的单调性、
15、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内态之一，考察内家灵活多样.这里重要那助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握鉴定方法，对的结识单调及数与奇偶例7.(2 02 3年全国卷)%数的图象.已知函数,若/(x)为奇函数，则= z +1命题意图：本题重要考察函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.常规解法：由f (x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=0,即_L + a_!_ = 02、+12-x +1 . , =+= l 应填L2(2+1 Tx +1) 2 2V+1 22巧妙解法：由于f(x)为奇函数，所以f(O) =0,即Q_L = o.q =，应填L 2+1-22
16、点评：巧妙解法巧在运用了 f(x)为奇函数，所以f (0) =0,这一重要结论.例8. ( 2 0 23年全国卷理I )/(%).(%)是定义在R上的函数，%(%) = /(%)+ g0),则“/(x),g(x)均为偶函数”是“ hx)为偶函数”的( )A.充要条件。“B.充足而不必要的条件C.必要而不充足的条件。D.既不充足也不必要的条件命题意图：本题重要考察两个函数的加法代数运算后的单调性以及充足条件和必要条件的相关知识.解先证充足性：由于/(幻，g(x)均为偶函数，所以 /(-X)= /(x), g(X)= g(x)，有以一 X)= /(-X)+ g(-x) = /(X)+ g(x) =
17、 (x),所以/z(x)为偶函数.反过来，若/z(x)为偶函数,/(尤)g(x)不一定是偶函数.如/z(x) = x2, f(x) = x, g(x) = x2 -x,故选B.方法二可以选取两个特殊函数进行验证.故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充足性，又要证必要性,一看缺一不可.同时，对于抽象函数，有时候可以 选取特殊函数进行验证.5 .舀教的图象与性质函数的图象与性质是高考考察的重点内态之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,运用它的直观性斛题，可以起到化繁为简、化难为易的作用、因此，揍者要掌握绘制法数图 象的一般方法，掌握困教图象变化的一般规律,能运用身教的图象研究身数的性质此类题
18、目 还很好的考察了教形结合的斛题思想.例9. (2023年山东卷)函数y=l+*OVl)的反函数的图象大体是()(A)(B )(C)(D)命题意图：本题重要考核对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知 识.解：V y = 1+a x (0a V 1 广=嘿(%-1),(01).此函数图象是由函数 /a)= log,x,(0al)向右平移一个单位得到的故选A.6.函数综合问题法救综合问题是历年高考的热点和重点内叁之一，一般雄度较大，考察内家和形式灵活 多样.这里重要帮助考生在掌握有关的教知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，拿 握基本斛题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力
19、、例10. ( 2 023年浙江卷文)已知/(x) =| / -11 +/ +丘(I )若Z=2,求方程/(x) = 0的解；(II)若关于x的方程/(x) = 0在(0, 2)上有两个解幻,应求攵的取值范围，并证明_1 + _14.x2命题意图：本题重要考察函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨 论等思想方法分析和解决问题的能力。满分15分。(D解:当 k = 2 时,/(x) =| 11 +/ +=0.分两种情况讨论:当了2 一1时，即XN1或44一1时，方程化为21 +2X-1 =0,解得二1主叵.因为0土叵1,舍去，所以x = zl叵. 222当/-1
20、0时即-1x1，方程化为l+2x=0,解得x = _L2由得，当k = 2时，方程/Xx) = 0的解是-1-V3 T 1X =，或X =22(II)解：不妨设0 / 马 1, kx+1,| x 1,所以/(X)在(0,1是单调递函数,故/(x) =。在(0,1上至多一个解，若再,工2 (1,2),则中2=-；。，故不符合题意，因此0 e(O,l,x2 g(1,2).由/(%) = 0,得八-L所以ZK-1; 不I 一 7 由f(%)= ，得k -2x2，所以 k 1.x2 *27故当-5 女 + 8 - Z)2 + 8 4 = 8,因此 L + -!-4. 内 马方法二：由于X (0,11所
21、以其+1 = 0；。由于(12),所以+女一1 = 0,。由消去，得2Mx； -x1-x2= 0,B|J + = 2/.又因为w (1,2),所以 +- 4.X x2 % x27 .以集合为背景的不等式 以集合为背景的不等式，以考察不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的，解题时应注 意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合，准确解题.例1 1.(202 3年北京卷文)记关于x的不等式二HX+ 1记关于x的不等式二HX+ 10的解集为P,不等式忖-的解集为。.(I)若。=3,求P;(II)若QqP，求正数4的取值范围.命题意图：本题重要考察集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式
22、的解法.解：由土二2 0,得 P = x1尢2, 即a的取值范围是(2,+ 8).8 .以线性规划形式出现的不等式 以线性规划形式出现的不等式，重在考察数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形，分析求解.例12.(2023年辽宁卷)双曲线Yy2=4的两条渐近线与直线尢=3围成一个三角形区域，表达该区域的不等式组是x-yQ(A), 冗+y 20x-y0MB) x+)”o。0 x 30 x 3v.x-y0 x+ y W00x3x-y0(D), x+ y 2 0 0x0解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足1+,之。0x3故选(A)9 .以简易逻辑为背景的不等式 以简易逻辑
23、为背景的不等式，解题时往往以不等式为工具，来拟定命题，用简易逻辑知识解决问题.例13.( 2 023年山东卷)设：/7_200国:匕匚 0, B|Jp: x 5, x -4.1 _ 2 0,即一 1 x 1,或 2.|x|-2故选(A)10.与函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合函数知识，通过推理来解决问题.例14.(2023年山东卷)设则/(/(2)的值为 log3(x2-l), x2.(A)0。(B)C? (C) 2MD)3命题意图:本题重要考察运用不等式和函数知识解决问题的能力.解：/(/(2)=T(log33) = /(1) = 2e。= 2.故选(C)12.与平面向量知识结合的不等式与平面向量知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具，结合平面向量知识和坐标运算，通过和坐标运算和推理来解决问题.例1 5.(20 2 3 年辽宁卷)设0(0,0), A(l,0), 3(0,1)，点尸是线段A3上的一个动点，而=AAB ,若丽丽2 M方，则实数的取值范围是(A)121。66(B) 1- -2122(C)+。(D) 1一交 工也1+ 走2222命题意图：本题重要考察运用不等式和平面向量知识解决问题的能力.解:设P (x, y ),则由丽=几而得,