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1、.v.2021 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 06 数列 一、选择题 1 2021 文、理“十二平均律是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 假设第一个单音的频率 f，那么第八个单音频率为 A3 2 f B3 22 f C12 52 f D12 72 f 1【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为12 2，1212 2n na a n n N，又1a f，那么 712 7 7 128 12
2、2 a a q f f，应选 D 2 20211 2 3 4,a a a a 成等比数列，且1 2 3 4 1 2 3ln()a a a a a a a 假设11 a，那么 A1 3 2 4,a a a a B1 3 2 4,a a a a C1 3 2 4,a a a a D1 3 2 4,a a a a 2.答案：B 解答：ln 1 x x，1 2 3 4 1 2 3 1 2 3ln()1 a a a a a a a a a a，得41 a，即311 a q，0 q.假设1 q，那么21 2 3 4 1(1)(1)0 a a a a a q q，21 2 3 1 1(1)1 a a a a
3、 q q a，矛盾.1 0 q，那么21 3 1(1)0 a a a q，22 4 1(1)0 a a a q q.1 3a a，2 4a a.3 2021 全国新课标理 记nS为等差数列 na的前n项和.假设3 2 43S S S，12 a，那么5a A12 B 10 C 10 D 12 3.答案：B 解答：1 1 1 1 1 13 2 4 33(3)2 4 9 9 6 7 3 2 02 2a d a d a d a d a d a d 6 2 0 3 d d，5 14 2 4(3)10 a a d.二、填空 1 2021 理 设 na是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，那么 na的
4、通项公式为 _ 1【答案】6 3na n【解析】13 a，3 3 4 36 d d，6 d，3 6 1 6 3na n n 2 2021 集合*|2 1,A x x n n N，*|2,nB x x n N 将 A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 na 记nS 为数列 na 的前 n项和，那么使得112n nS a 成立的 n 的最小值为 2【答案】27【解析】设=2kna，那么 1 22 1 1+2 2 1+2 2 1+2 2 2k knS 1 12 2 12 1 2 2 1 2 1 22 2 22 1 2k k kk k，由112n nS a 得 22 2 1 1 12 2 2
5、 12 2 1 2 20 2 14 0k k k k k，1 52 2k，6 k，所.v.以只需研究5 62 2na 是否有满足条件的解，此时 2 5 2 5 12 1 1+2 2 1+2 1+2 2 2 2 2nS m m，+12 1na m，m 为等差数列项数，且 16 m 由 2 5 12 2 12 2 1 m m，224 50 0 m m，22 m，5 27 n m，得满足条件的 n 最小值为 27 3 2021记等差数列 na的前几项和为 Sn，假设8 70 14 a a a，那么 S7=。4.2021设等比数列 的通项公式为an=q+1n N*，前n项和为Sn。假设1Sn 1lim
6、2nna，那么 q=_ 5 2021 全国新课标理 记nS 为数列 na 的前 n 项和.假设 2 1n nS a，那么6S _ 5.答案：63 解答：依题意，1 12 1,2 1,n nn nS aS a 作差得12n na a，所以 na为公比为2的等比数列，又因为1 1 12 1 a S a，所以11 a，所以12nna，所以661(1 2)631 2S.三、解答题 1 2021 文 设 na是等差数列，且1ln 2 a，2 35ln 2 a a 1求 na的通项公式；2求1 2e e ena a a 1【答案】1ln2 n；212 2n【解析】1设等差数列 na的公差为d，2 35ln
7、 2 a a，12 3 5ln 2 a d，又1ln2 a，ln 2 d，11 ln 2na a n d n 2由 1知ln 2na n，ln 2 ln 2e e e 2nna n n，ena是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，21 2ln 2 ln 2 ln 2 2 1e e e e e e=2 2 2=2 2nna a a n n，1 21e e e=2 2na a a n 2.2021 给定无穷数列 an，假设无穷数列 bn 满足：对任意*n N，都有 1|n nb a，那么称 n nb a 与“接近。1 设 an 是首项为 1，公比为 的等比数列，11n nb a，*n N，判断数
8、列 nb 是否与 na 接近，并说明理由；2设数列 an 的前四项为：a=1，a=2，a=4，=8，bn 是一个与 an 接近的数列，记集合 M=x|x=bi，i=1,2,3,4,求 M 中元素的个数 m；3 an 是公差为 d 的等差数列，假设存在数列 bn 满足：bn 与 an 接近，且在b-b，b-b，b201-b200中至少有 100 个为正数，求 d 的取值围。3 2021 设 na 是首项为1a，公差为 d 的等差数列，nb 是首项为1b，公比为 q 的等比数列 1设1 10,1,2 a b q，假设1|n na b b 对 1,2,3,4 n 均成立，求 d 的取值围；2假设*1
9、 10,(1,2 m a b m q N，证明：存在 d R，使得1|n na b b 对 2,3,1 n m 均成立，并求 d 的取值围用1,b m q表示 数学方法计算出半音比例为这个理论的开展做出了重要奉献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次得到十三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率那么第八个单音 么得假设全国新课理记为等差数列的前项和假设那么答案解答二填空理设是等差数列且答案解析集合将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列的前项和那么使得成立的的最小值为记为数列那么的通项公式为答案解析设那么由得 比数列的通项公式为假设那么假设那
10、么前项和为全国新课标理记为数列的前项和假设那么答案解答依题意作差得所以为公比为的等比数列又因为所以所以所以三解答题文设是等差数列且求的通项公式求答案解析设等差数列的公差为.v.3【答案】1 d 的取值围为7 5,3 2；2 d 的取值围为 112,mmb qb qm m，证明见解析【解析】1由条件知：1na n d，12nnb 因为1 n na b b 对 1 n，2，3，4 均成立，即 11 2 1nn d 对 1 n，2，3，4 均成立，即 1 1，1 3 d，3 2 5 d，7 3 9 d，得7 53 2d 因此，d 的取值围为7 5,3 2 2由条件知：11na b n d，11nnb
11、 b q 假设存在 d，使得1 n na b b 2 n，3，1 m 成立，即 11 1 11nb n d b q b 2 n，3，1 m，即当 2 n，3，1 m 时，d 满足1 11 121 1n nq qb d bn n 因为1,2 m q，那么 11 2n mq q，从而11201nqbn，1101nqbn，对 2 n，3，1 m 均成立 因此，取 0 d 时，1 n na b b 对 2 n，3，1 m 均成立 下面讨论数列121nqn 的最大值和数列11nqn 的最小值 2 n，3，1 m 当 2 n m 时，11 122 2 21 1 1n n nn n n n nn q q q
12、q q nq q nqn n n n n n，当11 2 m q 时，有 2n mq q，从而 12 0n n nn q q q 因此，当 2 1 n m 时，数列121nqn 单调递增，故数列121nqn 的最大值为2mqm 设 2 1 xf x x，当 0 x 时，ln 2 1 ln 2 2 0 xf x x，所以 f x 单调递减，从而 0 1 f x f 当 2 n m 时，1111 12 1 11nnnqq nnfq n n nn，因此，当 2 1 n m 时，数列11nqn 单调递减，数学方法计算出半音比例为这个理论的开展做出了重要奉献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次得到十
13、三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率那么第八个单音 么得假设全国新课理记为等差数列的前项和假设那么答案解答二填空理设是等差数列且答案解析集合将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列的前项和那么使得成立的的最小值为记为数列那么的通项公式为答案解析设那么由得 比数列的通项公式为假设那么假设那么前项和为全国新课标理记为数列的前项和假设那么答案解答依题意作差得所以为公比为的等比数列又因为所以所以所以三解答题文设是等差数列且求的通项公式求答案解析设等差数列的公差为.v.故数列11nqn 的最小值为mqm 因此，d 的取值围为 112,mmb qb q
14、m m 4 2021 等比数列 an 的公比 q1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中项数列 bn 满足 b1=1，数列 bn+1 bn an 的前 n 项和为 2n2+n 求 q 的值；求数列 bn 的通项公式 4.答案：12 q；224 3152nnnb.解答：1由题可得3 4 528 a a a，4 3 52(2)a a a，联立两式可得48 a.所以3 4 518(1)28 a a a qq，可得2 q 另一根112，舍去.2由题可得2 n 时，2 21()2 2(1)(1)4 1n n nb b a n n n n n，当1 n 时，2 1 1()2 1 3
15、 b b a 也满足上式，所以1()4 1n n nb b a n，n N,而由 1可得4 18 2 2n nna，所以114 1 4 12n nnnn nb ba，所以1 2 1 3 2 1()()()n n nb b b b b b b b 0 1 2 23 7 11 4 52 2 2 2nn，错位相减得124 3142nnnb b，所以24 3152nnnb.5 2021XX 文 设 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn n N*；bn 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn n N*b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6 求 Sn和 Tn；假设 S
16、n+T1+T2+Tn=an+4bn，求正整数 n 的值 5【答案】1 12nn nS，2 1nnT；2 4【解析】1设等比数列 nb 的公比为 q，由11 b，3 22 b b，可得22 0 q q 因为 0 q，可得 2 q，故12nnb 所以，1 22 11 2nnnT 设等差数列 na 的公差为 d 由4 3 5b a a，可得13 4 a d 由5 4 62 b a a，可得13 13 16 a d，从而11 a，1 d，故na n，所以，12nn nS 2由 1，有 1 3 11 22 1 22 2 2 2 21 2nn nnT T T n n n=，由 1 24n n n nS T
17、 T T a b 可得 1 112 2 22n nn nn n，整理得 23 4 0 n n，解得 1 n 舍，或 4 n 所以 n 的值为 4 6 2021XX 理 设 na是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为()nS n N，nb是等差数列.11 a，3 22 a a，4 3 5a b b，5 4 62 a b b.I求 na和 nb的通项公式；II设数列 nS的前 n 项和为()nT n N，数学方法计算出半音比例为这个理论的开展做出了重要奉献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次得到十三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率那么
18、第八个单音 么得假设全国新课理记为等差数列的前项和假设那么答案解答二填空理设是等差数列且答案解析集合将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列的前项和那么使得成立的的最小值为记为数列那么的通项公式为答案解析设那么由得 比数列的通项公式为假设那么假设那么前项和为全国新课标理记为数列的前项和假设那么答案解答依题意作差得所以为公比为的等比数列又因为所以所以所以三解答题文设是等差数列且求的通项公式求答案解析设等差数列的公差为.v.i求nT；ii证明221()22()(1)(2)2nnk k kkT b bnk k n N.6【答案】1 12nna，nb n；212 2nnT n；证明见解析【解析】1设等
19、比数列 na 的公比为 q 由11 a，3 22 a a，可得 22 0 q q 因为 0 q，可得 2 q，故12nna，设等差数列 nb 的公差为 d，由4 3 5a b b，可得13 4 b d，由5 4 62 a b b，可得13 13 16 b d，从而11 b，1 d，故nb n，所以数列 na 的通项公式为12nna，数列 nb 的通项公式为nb n 2由 1，有1 22 11 2nnnS，故 11 12 1 22 1 2 2 21 2nn nk k nnk kT n n n，因为 11 2 122 2 22 2 21 2 1 2 1 2 2 1kk k kk k kk k kT
20、 b bkk k k k k k k k，所以 3 2 4 3 2 1 2212 2 2 2 2 2 221 2 3 2 4 3 2 1 2nn n nk k kkT b bk k n n n 7 2021 全国新课标文 数列 na满足11 a，12 1n nna n a，设 nnabn 1求1 2 3b b b，；2判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；3求 na的通项公式 7.答案：（1）见解答 解答：依题意，2 12 2 4 a a，3 21(2 3)122a a，1111ab，2222ab，3343ab.（1）12(1)n nna n a，121n na an n，即12n nb
21、b，所以 nb 为等比数列.（2）1 112n n nnab b qn，12nna n.8 2021 全国新课标文、理 记nS 为等差数列 na 的前 n 项和，17 a，315 S 1求 na 的通项公式；2求nS，并求nS 的最小值 8【答案】12 9na n；22 8nS n n，最小值为 16【解析】1设 na 的公差为 d，由题意得13 3 15 a d，由17 a 得 2 d 所以 na 的通项公式为 2 9na n 2由 1得 2 28(4)16nS n n n，当 4 n 时，nS 取得最小值，最小值为 16 9 2021 全国新课标文、理 等比数列 na中，1 5 31 4
22、a a a，1求 na的通项公式；2记nS为 na的前n项和假设63mS，求m 数学方法计算出半音比例为这个理论的开展做出了重要奉献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次得到十三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率那么第八个单音 么得假设全国新课理记为等差数列的前项和假设那么答案解答二填空理设是等差数列且答案解析集合将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列的前项和那么使得成立的的最小值为记为数列那么的通项公式为答案解析设那么由得 比数列的通项公式为假设那么假设那么前项和为全国新课标理记为数列的前项和假设那么答案解答依题意作差得所以为公比为的
23、等比数列又因为所以所以所以三解答题文设是等差数列且求的通项公式求答案解析设等差数列的公差为.v.9.答案：112nna或1(2)nna；26.解答：1设数列 na的公比为q，2534aqa，2 q.12nna或1(2)nna.2由 1知，1 22 11 2nnnS 或1(2)11(2)1 2 3nnnS，2 1 63 mmS 或11(2)633mmS 舍，6 m.数学方法计算出半音比例为这个理论的开展做出了重要奉献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份依次得到十三个单音从第二个单音起每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率那么第八个单音 么得假设全国新课理记为等差数列的前项和假设那么答案解答二填空理设是等差数列且答案解析集合将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列的前项和那么使得成立的的最小值为记为数列那么的通项公式为答案解析设那么由得 比数列的通项公式为假设那么假设那么前项和为全国新课标理记为数列的前项和假设那么答案解答依题意作差得所以为公比为的等比数列又因为所以所以所以三解答题文设是等差数列且求的通项公式求答案解析设等差数列的公差为