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1、第十六讲：等差、等比数列【考点梳理】1.数列 )的前项和为s“与通项公式为S n=,n 2 ,n eN注意：根据S“求a”时，不要忽视对=1的验证.2.等差数列(1)如果等差数列 对 的首项为4,公差为d,那么它的通项公式是q =4+(-l)d .(2)通项公式的推广：a=am+(n-m)d(n,m e N*).(3)等差中项若三个数a,A,8成等差数列，则A叫做a与人的等差中项，且有公士也.2(4)等差数列的性质在等差数列 中，当加+=+4时，印+=4+/(如 ，p,q w N*).特 别 地,若 加+九=2,贝!J a.+a”=2 q(/n,n,twN).(5)等差数列的前项和公式设等差数
2、列a“的公差为d ,其前项和S“=na+若 工d=(；).(6)在等差数列 七 中，若4 0,4 0,则满足 册 的 项 数 机 使 得S“取得最大值S,；4 0若4 0,则满足 册 的项数m使得S,取得最小值鼠.3.等比数列(1)等比数列的通项公式设 等 比 数 列 4的 首 项 为4 ,公 比 为q(g*0),则 它 的 通 项 公 式an=a、qT=c-q(c=)(ax,q H 0).q推广形式：a=a,-q-m(2)等比中项：如果a,G,6成等比数列，那么G叫做a与匕的等比中项.即G是。与b的等比中项“，G,b成等比数列口 G2=ab.(3)等比中项的推广.若加+=0+夕 时，则。4=
3、%必，特别地，当/H+九=2。时,aman=a2p.(4)等比数列的前。项和公式“4（q=1）等比数列 “的公比为?（q w 0）,其前 项和为S=,q（l-）aaq-；=（q 寸 1）I i-q i-q【典型题型讲解】考点一：等差、等比数列基本量运算【典例例题】例 1.（2022广东汕头一模）已知各项均为正数的等比数列%的前4 项和为15,他，2 4,生成等差数列，则4=（）A.5 0-5 B.5收+5 C.5 0 D.5例 2.（2022广东茂名一模）已知等比数列 ,的前项和为S“，公比为0,则下列选项正确的是（）A.若$3=4,56=12,则 Sg=29 B.若 q=l,q=j,则 S“
4、=4-3”“C.若见+%=2,%。6 =-8,则4+4O=-6 D.若q=1,4=4%,则 见=2.【方法技巧与总结】等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差”公比q 或项数.在求解时，一般要运用方程思想.（2）求 通 项.4 和 d 或 q 是等差数列的两个基本元素.（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.（4）求前项和.利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.【变式训练】1.（2022广东深圳一模）已知等差数列 叫 的 前。项和为5,且=3,5,=2 5,则数列 4 的公差=.2.（2022广东中山高三期末）已知 4 为正项等比数列，且
5、生如=4,设为该数列的前项积，则4=（）A.8 B.16 C.32 D.643.（2022广东潮州高三期末）等差数列。,的前n项 和 ，若$=19,则为+的的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.（2022广东汕头高三期末）记S“为等差数列 4 的前 项和，已知怎=0,4 =6,则（）A.=12-n B.。=16 C.S,=22-1O”D.兀=505.（2022广东中山高三期末）在数列 4 中，,=2,北 二=疯+e，则数列%的通项公式为.6.（2022广东揭阳高三期末）在等差数列 q 中，卬,，分别是方程/一16+3=0 的两个根，贝 7.（2022广东潮州高三期末）设%是首项为2 的等
6、比数列，S.是其前。项和.若%+%=34,贝 lj S5=.8.（2022广东汕尾高三期末）已知等差数列%的 前 项 和 是 ，且佝=8，则 用=.9.（2022广东珠海高三期末）等差数列 叫 前 n 项和为S“，且4+4=16,5,=81.（1）求数列也 的通项公式；I 2（2）设 数 列-的前 项和为7,若丁“三,求”的最小值.10.（2022广东揭阳高三期末）在各项均为正数的等比数列 4 中，4=18,%-4=48.求数列 叫的通项公式；（2）b=log3-,求数列的前“项和5”2+2 J11.（2022广东潮州高三期末）设等差数列%的前。项和为S“,%=6,%=14.（1）求数列伍.I
7、 的 通 项 公 式 及 前n项和S,；若，求数歹U 4 的前项和T.2 2在=25为;。=气；这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.3（注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）12.(2022广东东莞高三期末)设等差数列 4 的前及项和为5“，且6=17,S4=2的+22.求数列应 的通项公式；(2)在任意相邻两项出和为句(4=1,2,3,)之间插入于个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列圾，求数列出 的前200项的和T2 Q0.13.(2022广东汕尾高三期末)已知等比数列&满足4=1,4+1 是%吗的等差中项.(1)求数列仅“的通项公式；(2)记b=a+1 log2
8、 an+l,求数列 的前项和 S.14.(2022广东汕头高三期末)已知正项等比数列 q 的前。项和为5,且 邑=4“%=81.(1)求数列仅“的通项公式；(2)数列 满足伉=1,当2 2 时，b,=-,求数列 2 的前项和7；log3axlog3+,15.(2022广东惠州一模)已知数列%,2 满足勿=4,-(-1)2吗+4=1,生+4=8,且数列低 是等差数列.(1)求数列%的通项公式：(2)设数列 叫 的前 项和为7；,若人=|“4 II0 且7；4110,求集合4 中所有元素的和T.考点二：等差、等比数列的判定或证明【典例例题】例 1.(2022广东一模)已知正项数列 4 ,其前。项和
9、5,满足可(25“-勺)=1(1 0,几 0,则S c S3.（多选）（20 22广东佛山高三期末）数列%中，4=0,%=1 4+2=?%+2（心.则下列结论中正确的是（）A.0 1 B.|-叫 是 等 比 数 列C.8 1 0 9 D.9 1 0 84.（20 22广东汕头一模）已知数列 q 的前项和为S“，3a“=2S,+2（eN）（1）证明：数歹U a,+”为等比数列，并求数列%的前n 项和为5.；（2）设O=log3（%+1）,证明：原+原+屏 b5 C.D.,2.已知数列 是公差不为零的等差数列，2 是正项等比数歹U，若6=4,%=b7,则()A.。4=d B.a5 瓦 D.为 优3
10、.已知 4 为等差数列,是公比为2 的等比数列，且电一为=。3-3=包一4.(1)证明：4=4；(2)求集合%|4=4+4 44500 中元素个数.4.已知数列%是公差为2 的等差数列，数列他,是首项为2 的等比数列，且r 2KG+2 =4 也+3=。3.设数列%满足：太，其中Z c N*,其前 项和为S.也=2求为的值.,1 1 (2)若,求证：d+d2+dy+d 2三、填空题：9 .在等比数列%中，S,为其前项和，若 为=3,S3=9,则 叫的公比为.1 0 .设等比数列%的前“项和为5,若。g=2，且$6+2兀=$2 4,则.四、解答题：1 1 .已知公比大于1的等比数列%满 足/+4=
11、1 0,4=4,数列也,的前。项和为5.，c _ 平一1 求%,也 的通项公式；若a,=%,求数列 2%的前“项和.1 2.已知数列”满足4 =1,a向=2 a,+l(e N)证明 +1 是等比数列,并求 ,的通项公式;(2)求数列“+1 的前，项和S”.1 3.已知数列%和 应 ，其中6,=2%,e N*,数列U+么 的前项和为S”若a“=2，求S.；(2)若 是各项为正的等比数列，S“=3，求数列伍”和 或 的通项公式.14.设5“是各项为正的等比数列 q 的前项的和，且 5?=3,4=4,“eN*.(1)求数列m 的通项公式；(2)在数列 叫 的 任 意ak与 项之间，都插入%(e N*)个相同的数(T)*k，组成数列也 ,记数列出 的前 项的和为T,求小的值.15.(2022广东茂名二模)已知他”)是首项为1,公差不为0 的等差数列，且 a,a2,a5成等比数列.(1)求数列“,的通项公式；(2)求 证:(1+)2 O+)2 0+)2(1+)2 +i.