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1、 第十六讲：等差、等比数列【考点梳理】1.数列的前项和为与通项公式为若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证2.等差数列（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是（2）通项公式的推广：（3）等差中项若三个数，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（4）等差数列的性质在等差数列中，当时，特别地，若，则（5）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值3.等比数列（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式推广形式：（2）等比中项：如果，成等比数列，那么叫做
2、与的等比中项即是与的等比中项 ，成等比数列 （3）等比中项的推广若时，则，特别地，当时，（4）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为【典型题型讲解】考点一：等差、等比数列基本量运算【典例例题】例1（2022广东汕头一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，成等差数列，则（）ABCD5例2（2022广东茂名一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【方法技巧与总结】等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差公比或项数在求解时，一般要运用方程思想（2）求通项和或是等差数列的两个基本元素（3）求特定项利用等差数列
3、的通项公式或等差数列的性质求解（4）求前项和利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解【变式训练】1.（2022广东深圳一模）已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差_2（2022广东中山高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（）A8B16C32D643（2022广东潮州高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（）A1B2C3D44（2022广东汕头高三期末）记为等差数列的前项和，已知，则（）ABCD5（2022广东中山高三期末）在数列中，则数列的通项公式为_6.（2022广东揭阳高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则_.7.（2022广东潮州高三期末）设
4、是首项为2的等比数列，是其前n项和若，则_8.（2022广东汕尾高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则_9（2022广东珠海高三期末）等差数列前n项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值10（2022广东揭阳高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.11（2022广东潮州高三期末）设等差数列的前n项和为(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)若 ，求数列的前n项和在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)12（2022广东东莞高三期末）设等差数列的前
5、项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.13（2022广东汕尾高三期末）已知等比数列满足是的等差中项(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.14（2022广东汕头高三期末）已知正项等比数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，当时，求数列的前n项和15（2022广东惠州一模）已知数列满足，且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式：(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.考点二：等差、等比数列的判定或证明【典例例题】例1（2022广东一模）已知正项数列，其前n项
6、和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，使得，构成等差数列？请说明理由.例2（2022广东茂名一模）已知数列，满足，且，(1)求，的值，并证明数列是等比数列；(2)求数列，的通项公式【方法技巧与总结】1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。【变式训练】1（多选）（2022广东金山中学高三期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（）A为等比数列B为等差数列C为等比数列D若，则2（多选）（2022广东深圳高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为
7、（）A数列为递减数列B数列是等差数列C，依次成等差数列D若，则3（多选）（2022广东佛山高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（）AB是等比数列CD4.（2022广东汕头一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.5（2022广东深圳一模）已知数列的首项，且满足(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和6（2022广东深圳高三期末）已知数列满足，且（）(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值7（2022广东佛山高三期末）设为等比数列的前项和，、成等差数列.(1)求证：、成等差数列；(2)若，是数列的
8、前项积，求的最大值及相应的值.8.已知数列an满足(1)问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.考点三：等差、等比综合应用【典例例题】例1.在，这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答已知正项等差数列满足，且成等比数列(1)求的通项公式；(2)已知正项等比数列的前n项和为，_，求注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分【方法技巧与总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零
9、常数数列【变式训练】1.已知等差数列公差不为0，正项等比数列，则以下命题中正确的是（）ABCD2.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，则（）ABCD3已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数4已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且设数列满足，其中，其前n项和为(1)求的值(2)若，求证：5已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且(1)求的通项公式；(2)从中依次取出第项、第项、第项、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和【巩固练习】一、选择题：1若，成等比数列，则下列三个数列：；，必成等比数列的个数为（）A
10、BCD2已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（）ABCD3已知数列的前项和为若，则（）ABCD4数列为等比数列，命题，命题是、的等比中项，则是的（）条件A充要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必要5（2022全国高三专题练习（理）已知数列满足，则下列选项不正确的是（）A是等比数列BC是等比数列D二、 选择题：6若数列是等比数列，则（）A数列是等比数列B数列是等比数列C数列是等比数列D数列是等比数列7已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，成等比数列，则下列说法正确的是（）ABCD8数列an的前n项和为Sn，则有（）
11、ASn3n1BSn为等比数列Can23n1D三、填空题：9在等比数列中，为其前n项和，若，则的公比为_10设等比数列的前n项和为，若，且，则_.四、解答题：11.已知公比大于1的等比数列满足，数列的前n项和为，(1)求，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和12.已知数列满足，(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和13.已知数列和，其中，数列的前项和为(1)若，求；(2)若是各项为正的等比数列，求数列和的通项公式14.设是各项为正的等比数列的前项的和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.15.（2022广东茂名二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)求证：