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1、福建师大附中景行级高三第一次月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分试卷说明：(1)本卷共四大题，24小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第 I卷(选择题，共 70分)一、单项选择题：每小题5 分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.1,已知集合 A=X*-3X-4 0 ,3 =y|y =2+l,则 gA.0 B.(-1,+b B.ab+l C.2 2 D.a2 b2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义逐项判断作答.【详解】对于A,若则a +l a /?,而a +l
2、 Z?成立，不 能 推 出 成 立，即a +l b是 成立的必要而不充分条件，A正确；对于B,因a Z?+l Z?,则。+1是a b成立的充分条件，B不正确；对于C,因函数y =2是R上的增函数，则abo 2 2，C不正确；对于D,取。=1,。=-2,满足a b,而不成立，反之，取。=-2,8=1,满足a2 b2 而。b不成立，D不正确.故选：A4.某工厂产生的废气需经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%,已知在过滤过程中废气中的污染物数量P （单位：毫克/升）与过滤时间/（单位：小时）之间的函数关系为（上,4均为整数的常数），如果前5小时的过滤过程中污染物被过滤掉了9 0%,那么排放前
3、至少还需要过滤的时间是（）小时.1 5A.-B.-C.10 D.52 9【答案】D【解析】【分析】根据f =5 0寸，P =（1 9 0%）用，代入可解得0.1=e*,然后再根据题意代入P =l%，整理化简得到0.01=e ，通过观察，整体代换解得f =l（），进而得答案.【详解】由题意知，前5小时消除了 9 0%的污染物，又因为P =Ee*,所以（1 9 0%）Po=Re-：所以 0.1 =e7,设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t,由 1%兄=,即0.01=e-h，得e*=0.01=（0.1）2 =（=,所以f =10，排放前至少还需过滤，一5 =5 （小时）.故选：D.5.已知函数/
4、(x)是定义在R 上的偶函数，且在(f,0 上单调递增.设。=lo g 5),8=/(1 0 g J),c=/(0.20 5)，则 ，b,c 的大小关系为()A.abc B.cab C.acb D.bac【答案】A【解析】【分析】先分析/(x)的单调性，然后比较对数式的大小，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数/(力 是定义在R 上的偶函数，且在(F,0 上单调递增，所以/(x)在(0,+8)上单调递减.b=于(唾4 升 /呜 3)=/(log4 3),O.205=J=t log4 =g ,log45 1 log43 g 0.20 5,所以a 6 0)恒成立，易 证 -l,(x 0),则可得
5、x xa ,即可选出答案.【详解】对V w0,+o o),都 办e R ,使得不等式x j4 g(X2)成立，等 价 于%)由2(巧L n，当 1 时,x-l 0,ex-e 0,当时，x-l0,e -e 0,所以“x)z o,所以x)z o恒成立，当且仅当x =l时，/(x)mi n=0,所以对 V%w0,+o o),g(%2)2。恒成立，即e*-a x l N 0，当x =0,e-a x l =O N O成立，er-l当x 0时，e.x-a x-G a 0,因为(x)=e*1 0恒成立，所以(x)在(0,+8)上单调递增，且 (0)=0,所以(x)=e-x l 0恒成立，即e l xn -l
6、,(x 0)x所以a Kl.所以”的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，此类问题可按如下规则转化：一般地，已知函数 y =/（x）,x ea,。,y =g（x）,x ec,d 若 V X2G 闻,有/OOvg（芍）成立，故/（F）3 x g（X2）mi n；若 Bx2 ec,j,有/（%）g（X2）成立，故/（%）ma x g（X2）ma x；（3）若玉a,0，Hx,e c,J ,有/（与）Vg（X2）成立，故/（X）mi n g Q 2）ma x ；（4.）右-3 X|a,b,c,d ,有/a）g（W）成立，故/a）mi n 0,（。单调递增
7、,当 时，单调递减，。=3,当/趋于0时，/巾)趋于正无穷，所以。3,故选：D二、多项选择题：每小题5分，共3 0分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.下列四个命题中，是真命题的是()A.VXG R ,且xwO,九xB.3x0 G R ,使得+1 W 2x0C若x0,y 0,则区立2包V 2 x+yD.当x e(l,2)时，不等式f+g+4 0恒成立，则实数?的取值范围是(一8,-5【答案】BCD【解析】【分析】选项A：根据基本不等式可知x8%2y2,利用基本不等式即可证明；选 项D：通过分离参数可得机(x+),x e(l,2)时成立
8、，所以只需求函数4/(x)=(x+),xd(l,2)的最小值即可.X【详解】对于A：VX GR,且对x0,y 0,贝IJ(x2+y2)(x+y)2N2xy4j(y=8N)2,即 之？孙，当旦仅当X =y。时取等号，正确；对于D：当工0(1,2)时，若不等式炉+如；+4。)，X 西记/i(x)=J,(X O),X所以/(x)=e(-D当O v x v l时，hf(x)1时,旗1)0,(幻单调递增，所以/z(x)?(l)=e,即Z2e王故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将g(x)=(x+l)lnx =+1)变形为f(x)=x(ev+1)的结构，是解本题的关键.1 3.
9、已知函数/(x)=s inx+%3 一公，则下列结论正确的是()A./(x)是奇函数 B.当。=一3时，函数“X)恰有两个零点C.若“X)为增函数，则D.当。=3时，函数“X)恰有两个极值点【答案】A CD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数/(x)的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数/(x)=s inx+d 一 的定义域为R,f(-x)=s in(-x)+(-x)3+ax =-s inx-x3+ar =-/(x),函 数 为 奇 函 数，A选项正确；
10、对于 B 选项，当a=-3时，/(x)=s inx+d+3%,则/(x)=co s x+3 x 2+3 0,所以，函数尤)在R上为增函数，又/(0)=0,所以，函数x)有且只有一个零点，B选项错误;对于 C 选项，/,(x)=co s x+3 x2-a,由于函数/(x)为增函数，则/(x)2 0对任意的xe R恒成立，即aW3 f+co s x.令g(x)=3 f+co s x,则g(x)=6 x-s inx,则g(x)=6 co s x 0,所以，函数g(x)在R上为增函数，当x ()时，g(x)0时，g(x)g =0,此时，函数g(x)为增函数.所以，g(x)m in=g()=L,a W
11、L c选项正确；对于 D 选项，当”=3时，/si n x+V-Sx,则/(x)=co s x+3 x 2-3.由B选项可知，函 数/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+“)上单调递增，,f(-l)=,f(l)=co s l0,r(0)=-2 上恒成立；(3)函数/(X)在区间O上不单调。/(X)在区间D上存在极值点；(4)函数/(x)在区间O上存在单调递增区间oHxe O,使得成立；(5)函数/(x)在区间。上存在单调递减区间oHxe O,使得/(x)1,%,，毛 为 函 数/瓮)=/的 零 点，玉 -1 B.4的取值范围是1,3 7C,若 2%2 =%+%3，则=夜 +1 D.X j
12、 +x2 0“2【答案】A B C【解析】【分析】对于A,只要利用函数零点存在性定理判断即可；对于D,由于有了 A的结论，只要判断巧的范围即可；对于C,利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；对于B,需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.【详解】由指数函数与二次函数 性质可得方程优=/有1个负根，2个正根,即%(0,x3 0,al,/(-l)=-l=-l0 ,-1 X j 0 ,故 A 正确；当时，1 (a,0 x2 0 ,故D错误；卜=2 1 o g(f)当2尤2=西+工3时，即,两边取对数得 工20，2=%+工3 )区=0 +1 ,故C正确；考虑/（X）在第一象限有两
13、个零点：即方程优=/有两个不同的解,两边取自然对数得x l n a =21nx有两个不同的解，设函数 g(x)=x l n a-2 1 n xg (x)=l n a2则%=时，g (x)=o ,当x Xo 时，g (x)0 ,I n 6?当x x 0 时,g (x)0 ,所以g m i n(x)=g(x()=2-2 1 n要使得g（x）有两个零点，则必须g（）1 ,2 2解得a e：=la0,x 4y=n u为增函数，“=2%8在(4,+8)为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数/(x)=ln(x2 2x 8)的单调递增区间是(4,+8).16.已知函数/(x)为偶函数，当x 0时
14、/(X)的解析式，并写出导函数，进而求/(1)、写出切线方程即可.【详解】若%0,则一x =/(x)在x=l处的切线方程为 T =3(x-l),即3尤y 2=0.故答案为：3x y 2=0.17.设函数4 x)=e、+e T,则使得了(2%+1)一2)成立的尢的取值范围是_.【答案】d【解析】【分析】利用导数确定函数为单调性，再确定函数为偶函数，则/(2 x+l)/(x-2)转化为|2*+1|九一2,求解即可.【详解】/(x)=e*+erA/(-x)=/(x)/(X)为偶函数，.r”1 e2j:-l(e+l)(e-1)e e e当X N 0时,e 2 1,r(x 0，则/(x)在 0,+8)上
15、是单调增函数V /(2 x+1)/(x-2)，又因/(X)为偶函数./(|2 x+l|)0,|x-2|0即得|2 x+l|x _2|,|2 x +|x _2即 3 x?+8 x -3 0,则 g (x)=，；函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，又g(O)=O,当 f+0 0时,g(x)f 0,g =L.0 g(x)W，-实数的取值范围是(),，).【点睛】解答本题的关键在于将问题进行转化，即把函数在定义域内不单调的问题转化为导函数在定义域内有变号零点的问题求解，同时解题中要结合函数的图象求解，体现了数形结合在解题中的应用.e2 j r x 0X的方程g(/(X)=机恰有
16、三个不等实根玉,，*3，且玉 工2 工3，则2玉一+2七 的最大值为.【答案】3-l n 3【解析】【分析】设/(x)=f,则根据题意得g(f)加=一产+2一m=0必有两个不相等的实根乙，G，不妨设乙，2，故4+G=2，=2一 八,再结合/(X)的图象可得w =e 2*=A，工3=，2=2 乙，0 r,1,进而2玉-%+2刍=l n 4 3彳+4,再构造函数A(r)=l n z-3 r+4,(0 r l),分析函数的单调性，求得最大值.【详解】由题意设/(x)=f，根据方程g(/(x)-根=0恰有三个不等实根，即g Q)加=/+2,加=0必有两个不相等的实根小t2,不妨设/.乙 +L =2 ,
17、则 J =2 4 ,方程/(X)=%或/(X)=t2有三个不等实根Xx2,x3,且X%七，作出图象如图所示：所以 2玉 一 9 +2X3=I n/j -3/j +4,构造新函数/i(0 =l n/-3 r+4,(0 f l),则 =上 史,所以/)在 上 单 调 递 增，在(；/)上单调递减，所以力 m a x =，)=3 l n 3,所以2 X1 一马+2七 的最大值为3-l n 3.故答案为：3-l n 3.2 0.设函数=(2 x -1)-ax+a,若存在唯一的整数x o使得/(迎)h(x)的图象，数形。0 z x/、结 合 即 可 得g 1 Z/z l)或，/二，即可得解.|-l A(
18、0)0 例3)点(3)【详解】令 g (x)=(2x -1)h(x)=a(x -1),gf(x)=(2x-l)ex+2ex=(2x+l)ex,.当 时，g(x)g时，g(x)0,则函数g (x)在(一；，+8)上单调递增；而 g(-l)=-3 el,g(0)=-1；因为存在唯一的整数x o使得/(3)0.即(2祀-1)ex0所以结合图形知：g(-l)N/z(-l)-l/(0)g 女即:a0,-2a-a 3e22a5e33 5 a解得 a 1 或&-；2e 23故答案为：丁，1）u2e-y=(2x-1)ex1-2I【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.四、
19、解答题：本题共4 小题，共 50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 1.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在（175,225的产品为合格品，否则为不合格品.统计数据如下面2x2列联表:甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200（1）依据0.15的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联?附：Z2,其中=a+Z?+c+d.临界值表:nad-bcy(a+0)(c+d)(a +c)(b +d)尸（/认）0.150.100.050.0250
20、.0100.0050.001%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示：X (百件)147810y(件)214243540求y关于x的经验回归方程9=r+%，并预测一小时生产2000件时的不合格品数(精确到1).一行了 (x,.-x)(x-y)附：b=-=-；a-y-b x-x：-nx-可2/=1i=【答案】(1)不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；(2)R 4.32x-2.92,83件.【解析】【分析】(
21、1)由列联表计算出卡方，即可判断；5 5(2)由所给数据求出1亍，,即可求出5，a，从而得到回归直线方i=l i=l程，再令x=2(),即可预测.【小 问1详解】根据2x2列联表可得人，一、,照：”,史如8)二 0；(2)若x =2是/(x)的极小值点，求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)a 0，-70,a a 5讨论函数在x =2处是否取极小值即可得答案.【小 问1详解】证明：当a =l时，/(x)X+X 一 1所以/(x)+e=(x 2+x-l +ev+l)e-J(.令 g(x)=f +x-l+e+l,则 g(x)=2x+l+e*.当工1时,g(x)-1 时，g(x)0,g(x)
22、单调递增;.所以 g(x)2g(-1)=0,因此/(x)+e 0.【小问2详解】解：因为,、(2a x+l)e“-(a x?+x-l)e -ax1+(2-l)x+2(x-2)(a r+l)二?当a =0 时，一(办+l)0,则当x 0；当x 2 时，/(尤)0 时，令/(x)=0，则苫=2 或=；由0 2,当x 0；当x 2 时,/(x)0,故x =2 是/(无)的极大值点，不符合题意，舍去；当a Q,故f(x)在 R上单调递增，不符合a 2 7 v 7 2 e,题意，舍去；若一!2,即a -J _ 时，当 0,当2 x -L l 寸，r(x)0,故a 2 a%=2 是/(x)的极大值点，不符
23、合题意，舍去；若，2,即。一工时，当，x2 时，f (x)2 时，附 勾 0,ala故x =2 是f(x)的极小值点，符合题意.综上所述，c i 所以X 的分布列为：【小问2详解】解：设随机变量y为 第 1 1 题采用策略5的得分，Z1 为第1 2 题采用策略A的得分，Z?为 第 1 2 题采用策略8的得分.X02457P0.0 30.2 20.3 50.1 20.2 8y的分布列为Y025P0.10.50.4所以=0 x0.1 +2x0.5+5x0.4=3.z,的分布列为所以 (Zj =O x 0.3+2 x 0.7 =1.4.02P0.30.7Z2的分布列为所以）=0 x 0.1 +2 x
24、 0.6 4-5 x 0.3 =2.7.Z?025P0.10.60.3若采用方案1,两题总得分均值为3 +1.4 =4 4 （分），若采用方案2,两题总得分均值为3 +2.7 =5.7 （分），但方案2因时间超过l O mi n,后面的题得分少2分，相当于得分均值为3.7分.因为4.4 3.7,所以我赞成小明的方案1.2 4.设机为实数，函数/（x）=l nx +2/nr .（1）当机=-1时，求函数/（X）的单调区间；（2）若方程/（x）=（2加+l）x +-2（eR）有两个实数根石,/（%1cA 2）,证明：2%+X 2 e.（注：e=2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数）【答案】（1
25、）在（0,3 上单调递增，在（g,+8）上单调递减（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出定义域，再对函数求导，利用导数与函数 单调性的关系求解即可；（2）首先把/（x）代入化简方程，然后根据方程有两个实数根，得出两根的取值范围，利用换元法得出两根的表达式，接着运用分析法从构造函数的角度，利用函数的单调性，极值和最值情况证明不等式.【小 问1详解】ra）=j1_ 1-2%X X令r*)o解得：0%1;令r(x)0),Fr(x)=,尸(九)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，则尸(x)极大值为：F(l)=-1,In x -x =n-2 ,x,不妨设0 V xi v l ,jjli
26、j ，故In-=x-x2,nx2-x2=n-2 x2令-=%，所以=,-i =-,0 /e,只要证：-+e,t-1 t-1只要证：(2 r +l)l n/ea-l),令 h(t)=(2 f +1)In/-e(Z-1),/.h=-+2 1 nZ-e+2,t1 2 r-l设(p(t)=hQ)=-+2 1 nr-e+2,(pr(t)=-z ,t t./7(。在|。,；)上单调递减，在(J 1)上单调递增，=五 e+l 0 ,则存在 (%1 使得 o)=0，二在(o,)上单调递增，在 上 单 调 递 减，在(,1)上单调递增,(2h-=e-2 0,力=0,eh(t=(2 r +1)In/-e -1)0 在 0 r e.【点睛】本题考查函数零点问题，零点存在性定理，用导数研究双变量问题以及用导数证明不等式成立问题，对分析问题和解决问题的能力有一定的要求，学生应从基础入手，层层深入，各个击破.