《2023届福建师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届福建师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版).pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 21 页 2023 届福建师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题 1已知集合2|340Ax xx，|21xBy y，则AB A B(1,)C(1,4)D1,4)【答案】C【详解】由题易知1,4,1,AB,所以1,4AB，故选 C 2已知函数()f x的导函数为()fx，且满足 2elnf xxfx，则(e)f的值为（）Ae B1 C1e D1【答案】B【分析】先求函数()f x的导函数为()fx,进而求出 ef,再求函数值即可.【详解】因为 2elnf xxfx,所以 21+efxxf,令ex,可得 2e1e+eff,即 1eef ,所以 2lnefxxx,可
2、得 2eelne2 11ef 故选:B.3已知,Ra b，下列四个条件中，使ab成立的必要而不充分条件是（）A1ab B1ab C22ab D22ab【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义逐项判断作答.【详解】对于 A，若ab，则1aab，而1ab 成立，不能推出ab成立，即1ab 是ab成立的必要而不充分条件，A 正确；对于 B，因1abb，则1ab是ab成立的充分条件，B 不正确；对于 C，因函数2xy 是 R 上的增函数，则22abab，C 不正确；对于 D，取1,2ab，满足ab，而22ab不成立，反之，取2,1ab，满足22ab，而ab不成立，D 不正确.故选：
3、A 第 2 页 共 21 页 4某工厂产生的废气需经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%，已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ektPP（0,k P均为整数的常数），如果前5小时的过滤过程中污染物被过滤掉了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（）小时.A12 B59 C10 D5【答案】D【分析】根据5t 时，01 90%PP，代入0ektPP可解得50.1ek，然后再根据题意代入01%PP，整理化简得到0.01ekt，通过观察，整体代换解得10t，进而得答案.【详解】由题意知，前5小时消除了90%的污染物，又因为0ekt
4、PP，所以5001 90%ekPP，所以50.1ek，设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t，由001%ektPP，即0.01ekt，得225100.010.1eeektkk，所以10t，排放前至少还需过滤55t（小时）故选：5已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且在,0上单调递增.设4log 5af，41log3bf，0.50.2cf，则 a，b，c的大小关系为（）Aabc Bcab Cacb Dbac【答案】A【分析】先分析 f x的单调性，然后比较对数式的大小，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数 f x是定义在R上的偶函数，且在,0上单调递增，所以 f x在0,上单调递减.444
5、1loglog 3log 33bfff，0.511110.25254，441log 3log42，0.5441log 51log 30.22，所以abc.第 3 页 共 21 页 故选：A 6一次数学考试共有 8 道判断题，每道题 4 分，满分 32 分，规定正确的画，错误的画.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为（）题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 24 乙 20 丙 20 丁 m A16 B20 C24 D28【答案】C【分析】根据甲乙的得分情况判断甲乙正确和错误分布，即可判断丙答案正误情况，最终得到 8 道题的标准答案，进而确定丁的分数.【详解
6、】由表知：2、3、5、7、8 中甲正确有 3 个，乙正确有 2 个，而 1、4、6 甲乙的判断都正确；所以丙的 1、4、6 均错误，故丙所选的 2、3、5、7、8 都正确，综上，丁的 2、8 判断错误，1、3、4、5、6、7 判断正确，共得 24 分.故选：C 7设函数 1 ee,e1xxf xxg xax，其中Ra.若对20,x，都1Rx，使得不等式 12f xg x成立，则a的最大值为（）A0 B1e C1 De【答案】C【分析】由题意易知 0f x 恒成立，则可等价为对20,x，20g x恒成立，利用参变分离，可变形为e1,(0)xaxx恒成立，易证e11,(0)xxx，则可得1a，即可
7、选出答案.【详解】对20,x，都1Rx，使得不等式 12f xg x成立，等价于 12minminf xg x,当1x时，10,ee0 xx，所以 0f x，第 4 页 共 21 页 当1x时，10,ee0 xx，所以 0f x，所以 0f x 恒成立，当且仅当1x 时，min()0f x，所以对20,x，20g x恒成立，即e10 xax，当0 x，e100 xax 成立，当0 x 时，e1e10 xxaxax 恒成立.记()e1,0 xh xxx,因为()e10 xh x 恒成立，所以()h x在(0,)上单调递增，且(0)0h，所以()e10 xh xx 恒成立，即e1e11,(0)xx
8、xxx 所以1a.所以a的最大值为 1.故选：C.【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，此类问题可按如下规则转化：一般地，已知函数(),yf x xa b，(),yg x xc d（1）若1,xa b，2,xc d，有12()()f xg x成立，故max12min()()f xg x；（2）若1,xa b，2,xc d，有12()()f xg x成立，故1 max2max()()f xg x；（3）若1,xa b，2,xc d，有12()()f xg x成立，故1 min2max()()f xg x；（4）若1,xa b，2,xc d，有12()()f xg x成立
9、，故1 min2min()()f xg x；（5）若1,xa b，2,xc d，有12()()f xg x，则()f x的值域是()g x值域的子集 8若过点（0，1）可以作三条直线与函数 322fxxaxx 相切，则实数 a的取值范围是（）A2，）B（2，）C3，）D（3，）【答案】D【分析】设出切点32,2P ttatt，利用导数几何意义求切线斜率，可得切线方程，将（0，1）代入切线方程可得32210tat 有三个不同的实数解，分离参数后，利用导数求解即可.【详解】设切点32,2P ttatt，第 5 页 共 21 页 由 322fxxaxx 可得 2322fxxax，切线的斜率为 232
10、2kfttat，所以切线的方程为 3222322ytatttatxt 又因为点01，在切线上，所以 322123220tatttatt ，即32210tat 有三个不同的实数解，0t不是方程的解，所以3221tat有三个不同的实数解，令 3221th tt，33432121t tth ttt,当 1,0t时，0,h th t单调递增，当0,1t时，0,h th t单调递减，13h，当t趋于 0 时，h t趋于正无穷，所以3a，故选：D 二、多选题 9下列四个命题中，是真命题的是（）Ax R，且10,2xxx B0 xR，使得20012xx C若0 x，0y，则2222xyxyxy D当1,2x
11、时，不等式240 xmx恒成立，则实数m的取值范围是,5 【答案】BCD【分析】选项 A：根据基本不等式可知 x0 时不成立；选项 B：验证1x 时成立即可；选项 C：要证2222xyxyxy，只需证22222xyxyxy，即证222228xyxyx y，利用基本不等式即可证明；第 6 页 共 21 页 选项 D：通过分离参数可得 m4()xx，1,2x时成立，所以只需求函数4()()f xxx，x(1,2)的最小值即可.【详解】对于 A：x R，且10,2xxx对 x0 时不成立；对于 B：当 x1 时，x212，2x2，x212x成立，正确；对于 C：若 x0，y0，则(x2y2)(xy)
12、22xy4xy8x2y2，即2222xyxyxy，当且仅当 xy0时取等号，正确；对于 D：当 x(1,2)时，若不等式 x2mx40 恒成立，即 m4()xx在 x(1,2)时恒成立，令4()()f xxx，x(1,2)，根据对勾函数可知函数 f(x)在(1,2)上单调递增所以 f(x)f(1)5.所以 m5，因此实数 m的取值范围是(，5，正确 故选：BCD.10已知函数()lnf xxa，则其图象可能是（）A B C D【答案】ABD【点睛】根据函数解析式和图象特征可得答案.【详解】当0a 时，()lnf xx，由()lnf xx的图象做关于y轴对称，再把x轴下方图象关于x轴对称翻到上方
13、可得 D 正确；当3a 时，由()lnf xx的图象向右平移 3 个单位可得 A 正确；当3a 时，由()lnf xx的图象向左平移 3 个单位可得 B 正确；C 图象对应的函数的解析式为()lnf xx，故 C 错误；第 7 页 共 21 页 故选：ABD.11已知定义在 R 上的函数()f x满足：(1)f x的图象关于（1，0）中心对称，(1)f x是偶函数且312f则下列结论中正确的是（）A()f x周期为 2 B()f x为奇函数 C(2)f x是奇函数 D92f1【答案】BC【分析】由已知对称性奇偶性确定出函数周期是 4，然后再结合图象变换，得新函数的对称性，由周期及已知求函数值，
14、判断各选项【详解】(1)f x的图象关于（1，0）中心对称，则()f x的图象关于原点对称，因此()f x是奇函数，(1)f x是偶函数，则()f x的图象关于直线1x 对称，即()(2)f xfx，所以(2)()()f xfxf x，(4)(2)()f xf xf x，4 是()f x的一个周期，2 不是()f x的周期，由()f x是奇函数，且图象关于直线1x 对称得()f x的图象关于点(2,0)对称，4 是()f x的一个周期，因此()f x的图象也关于点(2,0)对称，它的图象向左平移两个单位得(2)f x的图象关于原点对称，即(2)f x是奇函数，99133()(4)()()122
15、222fffff （），因此 BC 正确，AD 错误，故选：BC 12已知函数 e1,1 lnxf xxg xxx，若 120f xg x，则21xx可取（）A1 B2 Ce D2e【答案】CD【分析】由 ln1 lnlne1xg xxxx，利用同构结合 f x在(0,)上单调递增，即可得到12lnxx，则12111e,0 xxxxx，记e(),(0)xh xxx，求出()h x即可判断()h x在(0,)上的单调性，即可得出21exx，由此即可选出答案.【详解】因为 120f xg x，所以120,1xx，因为 e()0ee111xxxxxxf恒成立，所以 f x在(0,)上单调递增，第 8
16、 页 共 21 页 又 ln1 lnlne1xg xxxx，因为 12f xg x，即12ln12e1lne1xxxx，所以1122lnexxxx，所以12111e,0 xxxxx，记e(),(0)xh xxx，所以2(1)()xexh xx 当01x时，()0h x，()h x单调递减，当1x 时，()0h x，()h x单调递增，所以()(1)eh xh，即21exx 故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将 ln1 lnlne1xg xxxx变形为 e1xfxx的结构，是解本题的关键.13已知函数 3sinf xxxax，则下列结论正确的是（）A f x是奇函数
17、 B当3a 时，函数 f x恰有两个零点 C若 f x为增函数，则1a D当3a 时，函数 f x恰有两个极值点【答案】ACD【解析】利用函数奇偶性的定义可判断 A 选项的正误；利用导数分析函数 f x的单调性，可判断 B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断 C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断 D 选项的正误.【详解】对于 A 选项，函数 3sinf xxxax的定义域为R，33sinsinfxxxaxxxaxf x ，函数 f x为奇函数，A 选项正确；对于 B 选项，当3a 时，3sin3f xxxx，则 2cos330fxxx，所以，函数 f x在R上为增函数，又 0
18、0f，所以，函数 f x有且只有一个零点，B 选项错误；对于 C 选项，2cos3fxxxa，第 9 页 共 21 页 由于函数 f x为增函数，则 0fx对任意的xR恒成立，即23cosaxx.令 23cosg xxx，则 6singxxx，则 6cos0gxx，所以，函数 g x在R上为增函数，当0 x 时，00gxg，此时，函数 g x为减函数；当0 x 时，00gxg，此时，函数 g x为增函数.所以，min01g xg，1a，C 选项正确；对于 D 选项，当3a 时，3sin3f xxxx，则 2cos33fxxx.由 B 选项可知，函数 fx在,0上单调递减，在0,上单调递增，11
19、cos10ff，020f，由零点存在定理可知，函数 fx在1,0和0,1上都存在一个零点，因此，当3a 时，函数 f x有两个极值点，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数 f x在区间D上单调递增 0fx在区间D上恒成立；（2）函数 f x在区间D上单调递减 0fx在区间D上恒成立；（3）函数 f x在区间D上不单调 fx在区间D上存在极值点；（4）函数 f x在区间D上存在单调递增区间xD，使得0fx成立；（5）函数 f x在区间D上存在单调递减区间xD，使得 0fx成立.14已知1a，123,x xx为函数2()xf xax的
20、零点，123xxx，下列结论中正确的是（）A11x Ba 的取值范围是2e1,e C若2132xxx，则3221xx D120 xx【答案】ABC【分析】对于 A，只要利用函数零点存在性定理判断即可；对于 D，由于有了 A 的结论，只要判断2x的范围即可；第 10 页 共 21 页 对于 C，利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；对于 B，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.【详解】由指数函数与二次函数的性质可得方程2xax有 1 个负根，2 个正根，即10,x 230,0 xx，1011,1110,0010afafaa ，110 x ，故A 正确；当01x 时，21
21、,01xaax，f x 必无零点，故21x ，120 xx，故 D 错误；当2132xxx 时，即123212223xxxaxaxax，两边取对数得1122332log2log2logaaaxxxxxx，2134log2log2logaaaxxx，2213xx x ，联立方程221 32132xx xxxx 可得2223323222012xxx xxx，由于320 xx，3221xx，故 C 正确；考虑 f x 在第一象限有两个零点：即方程2xax 有两个不同的解，两边取自然对数得ln2lnxax 有两个不同的解，设函数 ln2lng xxax，2ln2lnlna xagxaxx，则02lnx
22、xa 时，0g x ，当0 xx 时，0g x ，当0 xx 时，0gx ，所以 min0222lnlngxg xa，要使得 g x 有两个零点，则必须 00g x，即2ln1lna，解得22eee1eaa，故 B 正确；故选：ABC.三、填空题 15函数2()ln(28)f xxx的单调递增区间是_ 第 11 页 共 21 页【答案】4,【详解】设2ln,280yu uxx，4x lnyu 为增函数，28uxx在(4,)为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 2ln28f xxx 的单调递增区间是(4,).16已知函数 f x为偶函数，当0 x 时，2lnf xxx，则曲线 yf
23、 x在1x 处的切线方程为_【答案】320 xy【分析】由偶函数求0 x 时 f x的解析式，并写出导函数，进而求 1f、1f，写出切线方程即可.【详解】若0 x，则0 x，由 f x是偶函数，得 2lnfxxxf x，1x 时，11f，而此时的 12fxxx，即 13f，曲线 yf x在1x 处的切线方程为131yx，即320 xy.故答案为：320 xy.17设函数 eexxf x，则使得212fxf x成立的x的取值范围是_【答案】13,3【分析】利用导数确定函数为单调性，再确定函数为偶函数，则212fxf x 转化为212xx，求解即可【详解】eexxf x fxf x f x为偶函数
24、，2e1 e11e1eeeexxxxxxxfx 当0 x 时,e1x,0fx,则 f x在0,上是单调增函数 212fxf x,又因 f x为偶函数 212fxfx,210,20 xx 第 12 页 共 21 页 即得212xx,22212xx 即23830 xx,解得13,3 故x的取值范围为：13,3 故答案为:13,3 18已知函数 1lnexf xa x aR若函数 f x在定义域内不是单调函数，则实数a的取值范围是_【答案】10,e【分析】转化为函数在定义域内有极值点求解，分离参数后得xxae，从而求出函数(0)xxg xxe的值域即可【详解】由函数 f x在定义域0,内不单调，得函
25、数 f x在定义域内有极值点 1lnexf xa x，0 xafxex，xxae 令,0 xxg xxe，则 1xxgxe，函数 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，又 00,gx当时，0g x，11ge，10g xe 实数a的取值范围是10,e【点睛】解答本题的关键在于将问题进行转化，即把函数在定义域内不单调的问题转化为导函数在定义域内有变号零点的问题求解，同时解题中要结合函数的图象求解，体现了数形结合在解题中的应用 19已知函数 2e,0,0 xxf xx x，2()2g xxx（其中 e是自然对数的底数），若关于 x的方程()g f xm恰有三个不等实根123,x xx，且123
26、xxx，则12322xxx的最大值为_.【答案】3ln3 第 13 页 共 21 页【分析】设()f xt，则根据题意得2()20g tmttm 必有两个不相等的实根12,tt，不妨设12tt，故122tt，212tt，再结合()f x的图象可得1221xxet，3212xtt，101t，进而1231122ln34xxxtt，再构造函数()ln34,01h tttt，分析函数的单调性，求得最大值.【详解】由题意设()f xt，根据方程()0g f xm恰有三个不等实根，即2()20g tmttm 必有两个不相等的实根12,tt，不妨设12tt 122tt，则212tt，方程1()f xt或2(
27、)f xt有三个不等实根123,x xx，且123xxx，作出图象如图所示：那么1221xxet，可得3212xtt，101t，所以1231122ln34xxxtt，构造新函数()ln34,01h tttt，则1 3()th tt，所以()h t在10,3上单调递增，在1,13上单调递减，所以max1()3ln33h th,所以12322xxx的最大值为3ln3.故答案为：3ln3.20设函数 f（x）（2x1）exax+a，若存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0，则实数 a 的取值范围是_【答案】32e，1）23532ee，【解析】令 g（x）（2x1）ex，h（x）a（x1），求出()g
28、 x后画出 g（x）、h（x）的图象，数第 14 页 共 21 页 形结合即可得 011100aghh 或 2233hghg，即可得解.【详解】令 g（x）（2x1）ex，h（x）a（x1），()(21)2(21)xxxg xxeexe，当12x 时，()0g x，则函数 g（x）在（，12）上单调递减；当12x 时，()0g x，则函数 g（x）在（12，+）上单调递增；而 g（1）3e1，g（0）1；因为存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0 即（2x01）exa（x01）所以结合图形知：011100aghh 或 2233hghg 即：103210aeaa 或23325aeae 解得32e
29、a1 或 3e2a352e；故答案为：32e，1）23532ee，【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.四、解答题 21某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 100 件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在175,225的产品为合格品，否则为不合第 15 页 共 21 页 格品.统计数据如下面2 2列联表：甲流水线 乙流水线 总计 合格品 92 96 188 不合格品 8 4 12 总计 100 100 200 (1)依据0.15的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？附：22n a
30、dbcabcdacbd，其中nabcd .临界值表：2Px 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在 x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量 y（单位：件）的情况汇总如下表所示：x（百件）1 4 7 8 10 y（件）2 14 24 35 40 求 y关于 x 的经验回归方程ybxa，并预测一小时生产 2000 件时的不合格品数（精确到 1）.附：1122211nniiiiiinniiiix
31、ynx yxxyybxnxxx；aybx.【答案】(1)不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；(2)4.322.92yx，83 件.【分析】（1）由列联表计算出卡方，即可判断；（2）由所给数据求出x，y，51iiix y，521iix，即可求出b，a，从而得到回归直线方程，再令20 x，第 16 页 共 21 页 即可预测.【详解】（1）根据2 2列联表可得22220092 496 81.4182.072100 100 188 12n adbcabacbdcd 依据0.15的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；（2）由已知可得：1 478 1065x，2 1424
32、3540235y，511 24 147248 35 1040906iiix y ，52222221147810230iix，所以515222159065 6 232164.322305 6505iiiiix yx ybxx ，234.32 62.92aybx,所以4.322.92ybxax，当20 x（百件）时，4.32202.9283.4883y 件,所以估计一小时生产 2000 件时的不合格品数约为 83 件.22已知函数 21exaxxf x(1)证明：当 a1 时，()e0f x；(2)若2x 是 f（x）的极小值点，求 a 的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)12a 【分析】(1
33、)由题意可得 21e1eexxfxxx，令 211 exg xxx，利用导数确定 g x的单调性，只需证明 min0g x即可；(2)因为 21exxaxfx，分0a，0a，102a，12a ，12a 讨论函数在2x 处是否取极小值即可得答案.【详解】（1）证明：当1a 时，第 17 页 共 21 页 21exxxf x 所以 21e1eexxfxxx 令 211 exg xxx，则 121 exgxx 当1x时，0,gxg x单调递减；当x 1 时，0,gxg x单调递增；所以 10g xg，因此 e0fx （2）解：因为 22221 e1 e21221eeexxxxxaxaxxaxaxxa
34、xfx 当0a 时，10ax，则当2x 时，0fx；当2x 时，()0fx，故2x 是 f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；当0a 时，令()0fx，则2x 或1xa；由102a，当12xa时，0fx；当2x 时，0fx，故2x 是 f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；当0a 时，12exa xxafx,若12a，即12a ，22102exxfx，故 f（x）在 R 上单调递增，不符合题意，舍去；若12a，即12a 时，当2x 时，0fx，当12xa 时，0fx，故 2x 是 f（x）的极大值点，不符合题意，舍去；若12a，即12a 时，当12xa时，()0fx，当2x 时，0fx，故2x
35、 是 f（x）的极小值点，符合题意.综上所述，12a 232021 年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分小明在做多选题的第 11 题、第 12 题时通常有两种策略：第 18 页 共 21 页 策略:A为避免选错只选出一个最有把握的选项这种策略每个题耗时约 3min 策略:B选出自己认为正确的全部选项这种策略每个题耗时约 6min 某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第 11 题和第 12 题的作答情况如下：第 11 题：如果采用策略A，选对的概率为 0.8，采用策略B，部分选对的概率为 0.5，全部选对的
36、概率为 0.4 第 12 题：如果采用策略A，选对的概率为 0.7，采用策略B，部分选对的概率为 0.6，全部选对的概率为 0.3 如果这两题总用时超过 10min，其他题目会因为时间紧张少得 2 分假设小明作答两题的结果互不影响(1)若小明同学此次考试中决定第 11 题采用策略B、第 12 题采用策略A，设此次考试他第 11 题和第12 题总得分为X，求X的分布列(2)小明考前设计了以下两种方案：方案 1：第 11 题采用策略B，第 12 题采用策略A；方案 2：第 11 题和第 12 题均采用策略B 如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由
37、【答案】(1)分布列见解析(2)赞成小明的方案 1，理由见解析 【分析】（1）分析可知随机变量X的可能取值有0、2、4、5、7，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列；（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.【详解】（1）解：设事件1B为“第 11 题得 0 分”，2B为“第 11 题得 2 分”，3B为“第 11 题得 5 分”，1A为“第 12 题得 2 分”，2A为“第 12 题得 0 分”，所以 10.1P B，20.5P B，30.4P B，10.7P A，20.3P A 由题意可知X的可能取值为0、2、4、5、7，121200.03P
38、 XP B AP B P A，1122112220.22P XP B AB AP B P AP BP A，第 19 页 共 21 页 212140.35P XP B AP BP A，323250.12P XP B AP BP A，313170.28P XP B AP BP A，所以X的分布列为：X 0 2 4 5 7 P 0.03 0.22 0.35 0.12 0.28 （2）解：设随机变量Y为第 11 题采用策略B的得分，1Z为第12题采用策略A的得分，2Z为第 12题采用策略B的得分 Y的分布列为 Y 0 2 5 P 0.1 0.5 0.4 所以 0 0.12 0.55 0.43E Y 1
39、Z的分布列为 1Z 0 2 P 0.3 0.7 所以 10 0.32 0.71.4E Z .2Z的分布列为 2Z 0 2 5 P 0.1 0.6 0.3 所以 20 0.12 0.65 0.32.7E Z .第 20 页 共 21 页 若采用方案 1，两题总得分均值为3 1.44.4（分），若采用方案 2，两题总得分均值为32.75.7（分），但方案 2 因时间超过 10min，后面的题得分少2分，相当于得分均值为3.7分 因为4.43.7，所以我赞成小明的方案 1 24设 m 为实数，函数()ln2f xxmx.(1)当1m 时，求函数()f x的单调区间；(2)若方程()(21)2()f
40、xmxnnR有两个实数根1212,x xxx，证明：122exx.（注：e2.71828是自然对数的底数）【答案】(1)在10,2上单调递增，在1,2上单调递减(2)证明见解析 【分析】（1）首先求出定义域，再对函数求导，利用导数与函数的单调性的关系求解即可；（2）首先把 f x代入化简方程，然后根据方程有两个实数根，得出两根的取值范围，利用换元法得出两根的表达式，接着运用分析法从构造函数的角度，利用函数的单调性，极值和最值情况证明不等式.【详解】（1）112()2,(0)xfxxxx，令()0fx解得：102x；令()0fx解得：12x 函数()f x在10,2上单调递增，在1,2上单调递增
41、.（2）证明：ln2(21)2,ln2xmxmxnxxn，令()ln0F xxx x，1()xF xx，()F x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，则 F x的极大值为：(1)1F，1n，不妨设1201xx，则1122ln2ln2xxnxxn，故1122lnxxxx，令1222,lnxtttxxx，所以21lnln,0111tttxxttt，要证122exx，只要证：2 lnlne11ttttt，只要证：(21)lne(1)ttt，第 21 页 共 21 页 令1()(21)lne(1),()2lne2h tttth ttt，设2121()()2lne2,()tth ttttt，()h t在10,2上单调递减，在1,12上单调递增，110,ee 10,(1)3e0eehhh ，则存在01,1et，使得 00h t，()h t在10,e上单调递增，在01,et上单调递减，在0,1t上单调递增，12e20,(1)0eehh，()(21)lne(1)0h tttt在01t 上恒成立，即证得：122exx.【点睛】本题考查函数零点问题，零点存在性定理，用导数研究双变量问题以及用导数证明不等式成立问题，对分析问题和解决问题的能力有一定的要求，学生应从基础入手，层层深入，各个击破.