《2023年高考数学总复习高中数学无理函数值域的常见求法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学总复习高中数学无理函数值域的常见求法.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学总复习高中数学无理函数值域的常见求法在解无理函数的值域问题时，如果采用的是“判别式法”，但由于无理函数的定义域一般不为R,所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围，使 用“判别式法”失效。下面对常见的无理函数类型及解法作一归纳，使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”，尽快求出正确答案。一、形如“丁=+1士而+小”的函数例1.求函数y =2 x-3+J 1 3-4 x的值域。,-x=-(1 3-?)y=-ii+z+-=-(z-l)2解：令Z =J 1 3-4 x,贝|卜2 0且 4 ，则2 2 2 k+4o当=1,即x=3时，为汹=4,当z-用 时-，y-8。故函数值域为(-
2、8,4 0说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令z =而 拓，将原函数转 化 为t的二次函数，当然也适用于y=mx2+-Jax2+b 的函数。二、形如(y=mx+n-J ax2+bx+c(a 0)的函数例2.求函数y =x+2 +J*+l x-2 3的值域。解：由-，+1，-2 3*0,得5-应S x W 5 +、仅。令 x=7 sin a+5 且 a e-,y-sin a+7 +-/2 c os a =2 sin(ad)+72 2,贝1 4,0天 灯,3不-a+-sin(a+)1由 4 4 4 ,得 2 o,刀 4sin(a+)=1 门当 4 时，为双=9；./天 7 2
3、当s m 3+w)=-时，加=7-笈。故函数值域为-、洛9。说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又“()的函数定义域一定为闭区间，如与,则可作三角-XX=-代换为sm a町+a -,且 2万,即可化为y =5s m 3+同+k型函数。至于a 0且A0及其他类型，同学们可自己分析一下。三、形如 a y =淞 ax+/w&x +d(ac 0解：由1 8 xN ，得-2&x W8。2 a e 0,令x=10s m%-2 且 2 ,y=/W cos a+V 3 0 sin a=2/f O sin(+)则6 0 a+-sin(a+)1由 6 6 3 ,得 2 ,则而故函数的值域
4、为 而，2 7 W o说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且囱0,此时函数的定义域为闭区间，如 小 心 ，则可作代换工=5-x i)s/a+x i,且2，即可化为丁=&m(a +0)型的函数，无理函数类型有多种，有兴趣的可以探讨一下。试题解析(2018贵州竞赛)已知国数y=3x+-,求该函数的值域.这类函数由于含有无理式，关键是如何去掉根号.先作简单变形y=3x+-2无=3x+x-1 2-1.令 w =A-1 ,则有 y=3+3+lu2-1.令z=3+A/M2-1,只要能求出z的值域即可.解 法 1 （绝对值换元）由题意知1-1 (1设 J 2-1 =u -t NO,则0/0 时,2当0
5、/式1,函数z=/+在 0,1 上单调递减，可得NZ3.t当 0 时，z=-2/-2 4 2.当且仅当/=立时取等号.t2所以函数的值域为-8,3-2/U 6,+8.评注 这是命题组提供的解法,这种代数换元很难想到.换元后，在求t 的范围时，直接得到0 /二|.=1.感觉是利用I iniin恒成立的思想求出的，欠严谨.事实上，可以这样求：t=|/|-J ir -1-11，由/J 工1，结合单调性，可得0 0,得 一 .令 /0,得一/=x建立关于y的不等式，解不等式即可.变式2:求函数/x =2 1+/2-i的值域.解：定 义 域 为 卜 江.当 时.，函数y =/x单调递增，/x G-2V2
6、,V2.当 时，f x=2 x/x2+V 2-A：2 V x2+/2-x22 Jf+Z-f JVL当且仅当x=O时等号成立.又/x /历 评注 当0c Wa时，主要利用不等式6+人2 万 亍（当x-0或y-O时等号成立）求出最小值.再利压柯西不等式求出最大值.这种解法是利用重要不等式直接进行放缩，不易想到.如果觉得这类问题形式较单一直接，也可作以下相关变式.变 式3：已知单位向量4,小 的夹角为彳，设”=2 q+/le2，则当4 i时，y=f（x）=-Tx-l V（X-I）设 g（x）=r 2,x i,则 g（x）=；：【）1 ；x-1业 1+g Vx2+1当 X 1 时，V =-+C O.X
7、-1故当x 1 时，y e（l,+）。（2）当E时 所经冏设加高,则叱却易 知，当 F 0;当一1X1时,g(x)0,V2所以“-8.x-1故当X(),2 2 4_ 1所以 v=&a n.+l =Icosi=!tan-1 tan 0-1 cos(tan 0-)_ 1 1sin”.。夜sin。一)4由 且。工工，得一包 2 o或()0-2,2 2 4 4 4 4 4由 y=sin(-)的图象知-1 sin0 )。或0疝(。,4 4 4 2则 一&W0 s i n（。一工）0 或 Ovsini。一巴）1,4 4所以-!-1,Jsin(0-)-Jsin(O-)4 4即 y 1.故函数的值域E-.ua
8、m。解法4（用不等式放缩求解）函数y 二*片 的 定 义 域 为 卜 口，1).(1)当 x l 时，_ Vx2+I _+lx/(-I)-_v=-=-=Lx-l x-1 x-1业 04 6+1当 x-笆 时，y=-1 ;X-1当 X 时，y=2一士1-4-X,x 1所以当x l时，y l。(2)当x l时,&+1 _ _ I X2+l _ _ I X2 4-1x-l V(l)2 VX2-2X+1 当x-2X=0一 一 1 -1 y =-I-z -.2 1一2 2x2+i y%2+i(i i)当0 2A0 0 1一 一1x2+l x2+l=*20一序-X +1 Y J T+1柒合(i)(i i)Mb W-半。综合(1)(2)故函数的值域为(y o l 拳 U Q y o)。图中直线x=l,y=1和y=-l是函数的三条渐近线。