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1、【赢在高考黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(北京版)第十九模拟第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设集合4 =4-2(),则 ACB=()A.(-4,1)B.(-2JJ C.l,+oo)D.(-2,1)【答案】D【解析】由题意，B=1x|-x2-3x+4o1=x|-4 x l,A=x|-2 x W1,所以 4 c B=x|2 x 1=(-2,1)故选：D.2.设/(%)=加+区2+5+1 (。0),则Q B.b 0,c 0C.。=0,c 0 D.h2-3ac 0,/.3O.又:/(x)在R上为增
2、函数，r(x)N 0恒成立,A=(2Z)-4x 3ac ac /2=.A D =也,2 2 2s/二,也 B C=：S4c所以尸。2 1，即 1K P OW 也2 3 6 6 2若0在线段A。上，如下图，则（0 =4 0 上=变 一/3无2 ,2 V2P A2=PO2+A O2=x2+f-=2-3-2-,因为X G 1,，所以尸牙6口,2 ,P Ae 1,7 2 ,若。在线段A O的延长线上，如下图，则A O =A O +。PA2=PO2+AO2=x2+左-x?=2 +-3-2 f ,因为x e l,X 2),所以 P A?e 2,3 ,P A e(亚，6 综上P Aw l,石.故选：D.2
3、28.已知直线4：s-y +根=。与直线机-1=0的交点为。椭圆土+匕=1的焦点为F”6,则5 2|。用|。用 的取值范围是（)A.2,+oo)B.2 /3,+oo)C.2,4 D.2百,4【答案】C2 2【解析】山椭圆的方程g+=l,可得其焦点为耳(-g,0),/(百,0),又由直线lt:m x-y +m Q与直线4：尤+加)1=0的交点为。，可知两宜线经过分别经过定点(-1,0),(1,0),且两直线 4,4，所以两直线的交点。满足/+：/=1,设 g(c o s6,s in 6),则|Q凰=7(c o s +)2+s in2 =+2c o s d，同理可得|。月|=,4-2c o s。,
4、所以|。用|。6|=J 4+2C O S8-,4-2c o s C =V 16-12c o s2，当c o s 2e =l时，|Q4|Q可 取 得 最小值2,当c o s 2p =()时，|。耳|。巴|取得最小值4,所以|Q耳|0周 的取值范围是2,4,故选C 2 29.已知第一象限内的点”既在双曲线C:2 多 =l(a 0/0)上，又在抛物线G：V=2 p x(p 0)a b上，设C l的左、右焦点分别为修、尸2,若C 2的焦点为尸2,且 加 片 鸟 是 以 为 底边的等腰三角形，则双曲线的离心 率 为()A.1 +0 B.垂)C.V 2 D.2+百【答案】A【解析】因为G的左、右焦点分别为
5、6、8，。2的焦点为工，所以抛物线的准线方程为：%=-%又因为用片工是以M F、为底边的等腰三角形，过M作MA垂直准线x =-c,如图所示:则 MA=MF2=FlF2,所以四边形Ag耳是正方形，则例片心是等腰直角三角形,所以 MA=MF2=FF?=2c,所以巾=41MF2=2 0 c,又 MFt-MF,=la,所以2缶-2c=2 a，即(血-l)c =a,解得 e=4 =V2+1.故选：A10.设函数=/(x)在R上有意义，对给定实数M定义函数九(月=仁 )，则称函数/(x)IV,J )IV为 了(X)的“李生函数”，若给定函数/。)=2-2,N=l,则y=_4(x)的值域为()A.1,2【答
6、案】DB.-l,2C.(8,lD.(-00,-1【解析】根 据 题 意:f-M=2-尤2,X (-00,6 U 6,y)l,xe 卜6)故当x w(-o o,g u 6,+00),/A,(X)=2-X2 0,&0,|。|乃）的图象如图所示，则 该 函 数 的 解 析 式 是.2【答案】y=2sin12x+W【解析】根据图象可以看出A=2,兀图 像 过()1).2sin(p=l,故(p 二6一7兀.函数的图象过点(-0)12所以co+-=2k7i+7i,kcz,故3 =2k+-I k ez12 6 7 I,“T 7TI 3T 18 12由就5 7 7 3 亍故当 k=-l,(o=2函数的解析式是
7、y=2sin(2x+2f 71故答案为y=2sin2x+q14.已知点。为aABC的外心，角A、B、C的对边分别为“、氏。若3 a+4 d+5女=6,COS/BOC的值为-，O A O B4【答案】一(；。【解析】设外接圆半径为R，则 OA=OB=OC=R,由 3 a+4加+5况=6，得：4OB+5OC-3OA平方得：16R2+40 OB-OC+25R2=9R2T 4 c 4则 OB.OC=R2,即 R2 c o s NBOC=一 一 R25 54则 c o s N 3O C =-w；因 为&=40 8+5。=/办 3 A，-3 3 34 T 5 T.。4 03 =|0 B 二0 C 1-0
8、5334-2 5 T -=OB 一二OC OB3 3=0.即&=04故答案为：一二；，15.为将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1、记作数列 ,若数列 ,的 前 项 和 为 则、69=.1 2 113 3114 6 4 11 5 1()10 5 11 6 15 20 15 6 1【答案】2 114【解析】使得每行的序数与该行的项数相等，则第出行最后项在数列%中的项数为：笔辿设必9 位于第左（eN*）行，贝人与6 9幺兴，解得：=12.2 2且 第 11行最后一项在数列仅“中的项数为：二=6 6.2，。6 9 位于杨辉三角
9、数阵的第12 行第3个.而第一行各项和为1=2 ，第二行各项和为2 =2、第三行各项的和为4 =2 2.依此类推，第2行各项的和为2%，S6 9=（20+2 +22+-+2l 0）+Cj,l+C11l+1 _ 211=-+1 +11+5 5 =2 +11+5 5 =2 1141-2故答案为：2 114三、解答题共6小题，共 8 5 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题满分14 分）在A B C中，角A、B、C所对的边长是a、b、c,向量加=（/7,c）,且满足|九|-a+be.（1）求角A的大小；（2）若&=百，求AABC 的周长的最大值.【解析】:加=（b,c）且啊|=
10、a2+bc,：,b2+c2=a2+bc由余弦定理得co s A J=J _,2bc 2JI.-0 A （/?+c）2，.（+。）2 E为正方形，即 5ELAZ）,以点E为坐标原点，以E4为x轴，以 为V轴，以石尸为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则 E（0,0,0）,A（l,0,0）,8（0,1,0）,C（-l,l,0）,。（一 1,0,0）,设尸（0,0,a）,p则 西=(1,0,-a),而=(0,1,-a),PC =(-1,1,-a),PD =(-l,0,-),设平面的一 个法向量为根=（%,乂，4）,则（一PA-m=Q，即PB m=Qx.-az.=0，令 Z =1,则&=a,ci,y
11、-az,=0所以=(a,a,1),设平面PCD的一个法向量为元=（%，%，Z 2），则一PC n=0，即PDn=Q-x9+y9-az9=0,令 Z 2 =1 ,则 W =-。，=0，-x2-az2=0所以范=(-a,0,1),因为平面B 4 B _L平面PCD,所以2 几=0，即 a2+1=0 解得a=l,所以 P(0,0,l),因为F为 PC 的中点，所以（2）由（1）可知，尸|一展 于 5所 以 丽=（0,1,0）,丽=（一（；1），丽=（一 1,1,0）,设平面BEE的一个法向量 为 =（工 3，%，2 3），E B-/?=0E F -fl-0则%=0即1 1 1 1 ，令也=1,则4=
12、1,一力+消+丁3=。所以/=(1,0),设直线A B与平面B E F所成角为0，则s E H 瓯讣解所以直线A B与平面B E F所成角的余弦值为 B.218.（本小题满分14 分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨仃 卜 同周二无雨有雨无雨有雨收益20 万元1 5 万元1 0 万元7.5 万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20 万元；有雨时，收益为1 0 万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否
13、下雨互不影响，基地收益为20 万元的概率为0.36.（I ）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益；（I I ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.【解析】（I ）设下周一无雨的概率为P，由题意，p 2=0.36,p =0.6,基地收益 X 的可能取值为 20,1 5 ,1 0,7.5,则 P(X =20)=0.36,P(X =1 5)=0.24,P(X =1 0)=0.24,P(X=7.5)=0.1 6.基地收益X的分布列为:X201 51 07.5P0.360.240.240.1 6（%）=20 x 0.36 +1 5 x 0.24+1 0 x 0.24+7.5 x 0
14、.1 6 =1 4.4,基地的预期收益为1 4.4万元.（ID设基地额外聘请工人时的收益为丫万元，则其预期收益（丫）=20 x0.6 +1 0 x0.4 a =1 6 a （万元），E（y）-E（X）=1.6-a,综上，当额外聘请工人的成本高于L 6万元时，不外聘工人：成本低于L 6万元时，外聘工人：成本恰为L 6万元时，是否外聘工人均可以.1 9.（本小题满分1 4分）已知函数/。）=1 1 1%6,+2,/1 0）=/。）+6*-0%-2,若函数（x）有两个零点玉,工2（%），a e R.（1）求实数。的取值范围；（2）求证：当 0时，/（%）e2.【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论”
15、的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性以及函数零点的个数确定。的范围即可；（2）求出函数的导数，求出1叫）=-%,结合函数的单调性求出/是函数/（力 的极大值点，也是最大值点，从而证明结论.（3）证明：由题意得玉，是l nx-a c =0两根，=g，l nx2=ax2I n 2 x 2（x-x）2停 T可得 _ _ 苞 _,要证明只需证_2,即E 五（X 1 X2 XX2%!+x2“2 X +x2 土+X2令五=fl,所以只需证l nf 2l仁D在f e（l,+a）成立即可，设g“）=i m-丑 二 ，利用导数研究其性质，可证占/成立.设g(f)=lm _2(l),g(/)=(；%0Z
16、+l/(/+1)所以g(。在(l,+o。)是增函数，g(7)g(l)=O即x,x2 /成立.(1)h(x)-l n x-a x,定义域为(0,+oo),/?(%)=-a当a SO时，(x)0,在(O,+8)递增，(x)不可能有两个零点,当a 0时，XG(0一)时，/z(x)0,无时，h(x)0 时，/?(%)-00,X f fOO 时，(X)-TR,(1要使力(力有两个零点，只需h-=ln-l 0,a/.0 Q 0,f(l)=l-e 0,当XM，+O O)时，/,(x)2,.,.一XQ H-+2 02)/(x.)(1、/(x)/(x)max=一 X0+2 0,即/(1)/，只需证l n(%X
17、2)2，即证。(+%2)2/山工 x 2(x-x 2 f-1所以只需证_2,即皿 幺 =上LX -%2 X +冗2 “玉+五+1%令*=/1,所以只需证i m 受?在成立即可设g(f)=I nr-2 ；),g()=(I；0所以g(r)在(1,+8)是增函数，g(f)g(l)=O即g e1成立.20.抛物线C：x 2=2 p y(p 0),Q为直线y =-5上的动点，过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为M,N.(1)证明：直线MN过定点；(2)若以G(0,当)为圆心的圆与直线MN相切，且切点为线段MN的中点，求该圆的面积.(p【解析】设Q，,一3,则x；=2 p y,22。X由九一 =2 p
18、y =y =二一.2P所以丁=一，所以切线MQ的斜率为kM Q=-L,P Pv +P故 力 2，X ,整理得2%-2 P x+p 2=。，X|T p设N(为2，%)，同理可得2 f彳2-2 p%+p 2 =0,所以直线MV的方程为2 a-2 p y +p 2 =0,所以宜线MN恒过定点tx p(2)由 得直线MN的方程为=一 +受,P 2tx py =+P 2 ,2 2由 彳 2 得x?-2比一=0,玉 +w =2 1，y +%=(尤 +占)+p =P，p p设H为线段MN的中点，则”/,1 +与 P 2)_ _ _ _-I/由 于 丽_ L丽，而G=/,2 pI P丽F与向量=1 平行，所以
19、f+2 p=0,I P)P P )解得 =0或，=土，当f =0时，圆G半径R =|京 卜？，所以圆G的面积为4 P 2万，当f =p时，圆G半径R =|丽 =血 ，所以圆G的面积为2 P 2万.所以，该圆的面积为4 P 2万或2 P 2万.2 1.(本小题满分1 4分)4 1 2 L若 行 列 的 数 表 的 如 L有 M Man2 L。历%M(n 2)满 足：传 w 0,l (f,j=L 2,L ,n),Z纵=k=(z =1,2,L ,几0vm 九)，除-a/0(i,j =1,2,L j),记这样的一个数表为(.对于4(现),记集合k=l7(,=%表示集合 7(,中元素的个数.1 1 O(
20、I)已知 4(2)=0 1 1 ,写出4i,j e N )的值；J o i,(H)是否存在数表A 满 足|T(4,2)|=1?若存在，求出4,(2),若不存在，说明理由;(I I I)对于数表 A,(M(0 ，”,，e N ),求证：(解析】(I)0 2 =巧3 =%3 =1 .(I I)不存在数表4式2),使得|T(4,2)|=1 .理由如下:1 1 o o 假设存在4(2),使得|T(4,2)|=1.不妨设4(2)=%。3 2 。3 3%”4 2 。4 3 a44/%的可能值为0,1.当%=0(1 4，厂4)时，经验证这样的4(2)不存在.。2 1 +。2 2=1当%Fa w/s d)时，
21、有%+%2=1，这说明此方程组至少有两个方程的解相同,%+。4 2=11 0不妨设义 =：%0 1 a3 3J 0%0、。2 4。3 4 4 4;2 3+2 4=1所以有,a3 3+a3 A=1,4 3+4 4=1这也说明此方程组至少有两个方程的解相同,(1 0 0、11 0 0、这样的4(2)只能为0 10 10 10 1或001 0 11 1 0J 0 1 0；k1 0 0 1,这两种情况都与|T(4,2)|=1矛盾.(I I I)在数表A(中，将冬 换成1 5,这将形成4(-加)，由 于%=%勺1+ai2aj2+L +ainaj n,可得(1 -aii)(1 -aj)+(1 -ai2)(1 -aj2)+L +(1。讥)(1一。初)=n-m-m +(jijy从而|7(九，m)|=|T(/i,当 2 K 2 时，由于 Z|为 一Q力 卜 0(0i j n,/,y e N),2r=iri所以任两行相同位置的1的个数4 2 1.2又由于而从1到4一1的整数个数转，从而|7(“，小 夕从而当0根时，都有(，制