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1、【赢在高考黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京版）第十七模拟第一部分（选择题 共 4 0 分）一、选择题共1 0 小题，每小题4分，共 4 0 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 4=%,2 2 x 3 0 卜 非空集合5 =x|2 -a x l +a,B qA,则实数a 的取值范围为（）.A.（8,2 B,2 C.（-oo,2）D.【答案】B【解析】A=M（X-3）（X+1）0 =R-1 X 2 。集合B 为非空集合且B =.l +a 3 ,解得：1 -1即实数”的取值范围为（g,2 .故选：B2.已知非零向量入B 满足5 =4 向,贝!|”己=1
2、 是 片=户 的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C,充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】非零向量M，B 满足M=丸=1”,“4 2=户，,一/=户，,a=Ab洞=1肪1=1邪 卜 同,2 =1,4 =1”是 2 =7”的充分必要条件.故选：c3 .下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的是（）A.y =3 x B.=|乂 +3 C.y-x2+2 D.y=2x【答案】B【解析】由一次函数的性质可知，y =3 x为奇函数，故A错误；由指数函数的性质可知，y =2*为非奇非偶函数，故D错误；由二次函数的性质可知，y =-V +2是偶函数，在（0,+8）上单
3、调递减；故C错误.由|-x|+3 =W+3得 =凶+3是偶函数，当x 0时，y =|x|+3 =x+3显然单调递增，故B正确；故选：B4.设公比为q（q 0）的等比数列 的 前 项 和 为 若5 2=3%+2,54=3a4+2,则4=（）3 1 2A.B.C.D.22 2 3【答案】A【解析】在等比数列 2卜中，S）=3凡+2,S4=3%+2,.*S4-S 2=6 +%=3（%一出），.,.生（q+q 2）=3%（/1）,又a2 H 0，/=3（/_1）,即 2 _ q _ 3 =0,3又4 0,=-.故选：A5.在 同一平面直角坐标系中，函数y=cos（土+式）（x d 0,2利）的图象和直
4、线y=g的交点个数是（）2 2 2A.0 B.1 C.2 D.4【答案】Cx 3 7 r x【解析】因为丫=3式5 +-）支0,2扪）,即=5皿5（*仁0,2兀 ）的图像是半个周期的图像，所以它与自:线y=的交点有两个.故选：C.6.在矩形ABC。中，A B =2 A D =4,P为。C上的动点，则 扇.而 _ 丽&）的最小值为（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】以A为坐标原点可建立如下图所示平面直角坐标系：则4（0,0）,3（4,0）,C（4,2）,0（0,2）,设P（x,2）,0 x 丽=（4-x,-2），启=（0,2），/.PA-PB-PB-A D=-x（4 -x）+4
5、+4 =x2-4 x+8 -当 x=2时，房.取得最小值4 8+8 =4.故选：A-7 .我国经典数学名著 九章算术中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱5 7 6,买竹子7 8根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱【答案】C【解析】依题意可设买大竹子X,每根单价为加，购买小竹子7 8 x,每根单价为m一1,所以5 7 6 =/n x+（7 8 x）（m-l）,即 7 8加+x =6 5 4
6、,即 x =6（1 0 9 1 3 m）,因为 0 x K7 8,故选：B.109-13m0 13 966(109-13m)78 96|V|C 3 3 3109m/2|a ZJ+2 V 2|/.故选：A10.已知F为抛物线J?=4%的焦点,A、8、C为抛物线上三点，当 西+而+斤=。时，则存在横坐标x2的点A、8、（？有（）A.0个 B.2个 C.有限个，但多于2个 D.无限多个【答案】A【解析】设4（%，凹），8（%2，%）,。（毛,），先证王42,由 丽+而+而=0知，尸为 ABC的重心,又1,0),.、+；+=,)廿一；+%=0,.%+七=3 X|，K+%=一%，(%+%)2=炙+y；+
7、2y2%w2(货+货)，.X 2(+%)，4 2+%4 2（+Xj）,%4 2（3%）：.为 2,同理X 2 2,X3 2,故选：A.第二部分（非选 择 题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知（x+a）6的展开式中所有项系数和为6 4,其中实数。为常数且。0,则。=.【答案】-3【解析】因为（x+a的展开式中所有项系数和为64,所以（1 +a），=64=26,;.l+a=2,;.a=l（舍去）或。=一3.所以Q=3.故答案为：-3.12.已知复数z满足=i a为虚数单位），则|z|=.z【答案】5【解析】因 为 失 曳 与，所以z=4 3 i,即|z b 5 2+
8、（3）2 =5.故答案为：5.r2 v213.双曲线二-与=l（a0力 0）的左，右焦点分别为,E,过工且与X轴垂直的直线与双曲线交于A、a bB两点，若归周=,|4中 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为.【答案】y=42x7 A2【解析】轴且直线AB过焦点户2，AB为通径，则|4却=竺，力 耳 用=立 恒 用，；.2C=色（，二 口,即任2-2比 一 岛2 =0,-2 a a.Ge?2 e-8 =0,解得：e=6.又e 2 4=l,；W =2,.2 =血，.双曲线渐近线方程为y=2%=土收x.a a a故答案为：y=+sf2x.Y,-,-l x01 4.已知定义域为R的函数4 0满足
9、:当xe 时，/(x)=x+1 ,且/(x+2)=/(x)对22-X-2,0 X1任意的x e R恒成立，若函数g(x)=/(x)-根(x+1)在区间-1,5 内有6个零点，则实数机的取值范围是【答案】，司【解析】/(X+2)=/(X)对V x e R恒成立，:函数/(X)的周期为2./1 .-1 x C又.当 时，/(X)=X+1 22-J:-2,0 X_!_平面A8C,点尸为棱尸。的中点.（1）在棱8 c上是否存在一点E,使得。尸平面Q 4 E?并说明理由；（2）若Q4=PD=A 3,求直线A E与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.【解析】（1）当E为6 c中点时，CF平面Q4石.理由
10、如下：如图，分别取3C,P 4中点E,G,连接P E，A E，GE,FG又是PD的中点，FG A,F G 4A D2又.ABC。为正方形，则 AO BC，AD=BC：.FG/BC.FG=-B C2又I E是B C中点、，：.FG/CE,A G=C E,则四边形ECFG是平行四边形；CF/EG又8G u平面R 4E，。尸u平面R 4E，.CF 平面 Q4E.（2）如图，取AD中点。，连接PO,OE又 PA=PD，则尸O L A。平面R 4 _L平面 A B CD，平面P A O p I 平面 A B CD =A。，POu平面 2 4。P O _L 平面 A B C。.以。为原点，O N、O E
11、OP分别为X,y,z 轴建立空间向角坐标系设 3 =2,则 A（l,0,0）,5（1,2,0）,C（-l,2,0）,P（0,0,G）,（2 2 ）：.A F=-|,0,y,B C=（-2,0,0）,方=（1,2,-6）f-2 x+0 y+0 z =0设平面PB C的一个法向量为为=（x,y,z）,则 rx+2y-J 3z=0令 y=3 得尤=0,2 =26，则 力=（0,3,2 6）,同=0./-T?一 研3 一 币/|H|X|AF|V21XX/3 7.宜线Ab 与平面PBC所成角的正弦值 为 且.71 7.（本小题满分1 4 分）已知函数 x）的图象是由函数g（x）=co s x 的图象经如
12、下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到TT原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移二个单位长度.（1）求函数7 U）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于%的方程/（力+8（力=根 在 0,2 球内有两个不同的解。、B，求实数加的取值范围.【解析】（1）将 g （x）=co s x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2 co s x 的图象，7F TT再将）=2 co s x 的图象向右平移,个 单 位长咬后得到y=2 co s （x-y ）的图象,故/（x）=2 s i a r,j r从而函数/（x）=2 s i n.r 图象的对称轴
13、方程为1=人%+5（Z）.(2)/(x)+g (x)=2 s i a v+co s x=亚(2 .1 L 1 j=SH tX-jCOSX)=5 s i n (x+(p)(其4 sin)=2,co s(p =m m依题意，s i n （x+（p）=方 在区间 0,2 兀）内有两个不同的解a,p,当且仅当故，的取值范围是（-V5，亚）.1 8.（本小题满分1 4 分）为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售。己知该产品第一轮检测不合格的概率为7,第二轮检测不合格的概率为每轮检测结果只有“合格
14、、”不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响。（I）求该产品不能上市销售的概率；（I I）如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利5 0元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损 8 0元（即获利为-8 0 元）。现有这种产品4件，记这4件产品获利的金额为X元，求 X的分布列。【解析】（I）记“该产品不能上市销售为事件月，则 产 =1 一 （1 一 扣 一 3=3,所以该产品不能上市销售的概率为1.5(I I)由已知可知X的取值为-3 2 0,-1 9 0,-6 0,7 0,2 00.产（X=-60）=明汽|尸焉,1 9产(X=70)=*)岭3喑,产（=200）=*）。（|），卷.
15、所以X的分布列为：X-3 2 0-1 9 0-6 07 02 00P181881248132811681（注：设4件产品能上市销售的件数为y,用y为0,1,2,3,4,分别求出产（丫）的可酌情给分）.1 9.（本小题满分1 4分）已知函数/（x）=e*+o x的图象与直线），=卜2 +1）一02相切.（1）求实数。的值；（2）若存在实数%满足/（%）0时，h(x)=xex 0所以/z(x)在区间(0,+，。)单调递增，且.2)=0又因为当x 4 0时，(x)0,所以%=2,得。=1.1 1(2)由已知才+%0，卜+-02所以 左 一，-2 k 2 2令 m =k+:=_(_ 女 +-2,（当且
16、仅当=1时，取等号）即 m -2.令/(x)=e-ln(x-m)J（x ex,因为J（x）在（利,一）为单调递增函数x-mJ(k)=ek+k 0.m所以存在X1,使得J(x J=0,且玉 ,x,0 ,即一!WX1 0=x xt,J,(x)m x 0所以原不等式靖 I n(x%一()成立.2 0.已知曲线E上的点到F(1，0)的距离比它到直线/:x =-4的距离少3.(1)求曲线E的方程；(2)过点尸且斜率为左的直线/()交曲线E于P,。两点，交圆厂：(x 1产+丁=1于A,B两 点,P,A在x轴上方，过点P,。分别作曲线E的切线4，S =M ,求/%与AQBM的面积的积的取值范围.【解析】(1
17、)因为曲线E上的点到尸(1,0)的距离比它到直线/:x =-4的距离少3,所以曲线E上的点到尸(1，0)的距离和它到直线/:x =1的距离相等，故曲线E是尸(1，0)为焦点，l:x=-l为准线的抛物线，故 E:y2=4x.(2)由题设知：则/0：丁 =%一1),设尸(3，%)，Q(X2,y2)V P,A在无轴上方，,方 0，0，|，力 0,rV i1 +y,22 =一k,A 葭 必=_4由 E:y 2=4 x,得y 0时，y=2fx,则、=%；y 贝|=一=.,1 2 1 2=j=,y*=*,=-r=.J%X-“2%故4：y-i=(x一斗)，2：丁一y 2=-y 4 .L,4联立消y，得一a
18、七-)+M=-M 4%2将 x=1 i 代入 4,/方程，y y=(-乂两式相加得2 y-y -%=工(-1-3)+乂 44 4江&+五太=2.4 -4 4 k*M(1,)fk2M(-l,-)到4 ：代一丁-4=0的距离d二kl|=|P F-=x=.2|Q B|=|Q F|T =W=T，SAM-S,QBM=PAd-Q Bd1=f P A|.|Q B|d,2=1 (y y ),2 d2,=14 6 4&y2 4-(X江)+%，解得X=,4 4 y-%=(-1一?)(T_q)，解得2y/k2+一身，A R 4 M HQBM的面积的积的取值范围是(1,”).2 1.(本小题满分14分)已 知 等 差
19、 数 列 凡 的 通 项 公 式%=3-1 (N e N*).设 数 列 也 为 等 比 数 列，且2=%.(I)若4=%=2,且 等 比 数 列 仇 的 公 比 最 小，(i)写 出 数 列 也J的 前4项；(i i)求数列伙“的 通 项 公 式；(I I)证 明：以。=%=5为 首 项 的 无 穷 等 比 数 列 也,有无数多个.【解析】(I)观察数列 6,的前若干项：2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,3 5,.因为数列%是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是,，最小公比是4.2(i)以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2,8,32,12
20、8.(ii)由(i)可知白=2,公比q=4,所以=2-4T.又=3所以弘“w N,即-权再证k为正整数.显然仁=1为正整数，n 2时,k-A:,-=；(2 4T-2-4-2)=1-2-4n-2(4-1)=2-4-2,即k,=射+2 4-2(2),故4=g(2 4“T+l),neN*为正整数所以，所求通项公式为k“=1(2 4T+1),e N*.3.6分(ID设数列%是数列 凡 中包含的一个无穷等比数列，且q=%=5,。2=见2=3&2-1,所以公比4=与 二！.因为等比数列 与 各项为整数，所以4为整数.取2=5加+2(m e N*),则。=3w+1,故=53加+1厂 只要证%=5(3?+1)-是数列/的项，即证3,-1=5-(3/n+1产.只要证kn=,5(3机+1)-1+1(e N*)为正整数，显然人=2为正整数.又 2 2 时，kn-k_t=|(3m+1)1 (3机+1)-2 =5m(,3m+1)”，即 储=&i+5加”+1)2，又因为勺=2,5%(3 m+l)-2 都是正整数,故22时，&“也都是正整数.所以数列%是数列 a,中包含的无穷等比数列，其公比4 =3 机+1 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列 4 所包含的以十=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个.