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1、2 0 2 3年高考数学强基计划模拟题（二）（满分10 0 分，测试时间：60 分钟）一、填 空 题（每 题i o 分）1.数列%共 有11 项，=0,勺1=4,且|以+1-a =1,k=1,2,，10.满足这种条件的不同数列的个数为_ _ _ _.2 .设三个实数a,b,c 组成等比数列，c0且aW 2 b+3 c,则实数中的取值范围是_ _.3.设K y满足（3%+y）s+x S +4 4+y=o,则点（x,y）始终位于（写出两个变量显函数关系）_ _ 的曲线（或直线）上.4 .方程k）g 4（2*+3X）=1。83（4 -2 1）的实根的个数为_ _.5.设复数z 使得当及磊的实部和虚部
2、都是小于1 的正数.记z 在复平面上对应的点的集合是图形C,则C 的面积是_ _ _ _.6.满足人/（为）=/（幻4 的实系数多项式f（x）的个数为_ _.7.方程炉=x si n x +c o s%的实数解的个数为_ _.8.集合 10 0 0,10 0 1,10 0 2,2 0 2 0 中两相邻自然数相加时不出现进位的对数为_ _二、解 答 题（2 0 分）9.记函数fna）=l +x +?n =l,2,.证明：当n 是偶数时，方程/“（%）=0没有实根;当n是奇数时，方程着（%）=0有唯一的实根内，且第1页，共3页2023年高考数学强基计划模拟题(二)答案和解析1.【答案】12 0【解
3、析】【分析】本题考查组合与组合数公式，数列的概念与分类，属于较难题.设有x个1,则有10-4个-1,由题解得x,故由组合公式可得.【解答】解：1 4+1=1，融+i 一 纵=1 或4+1-ak=-l设有x个1,则有1 0-戈个一1-Q i =一。1。)+(。10 一的)+-+(。2 -。1)4 =x +(10-x)(-l)x =7、这样的数列个数有C o =12 0故答窠为：12 0.2 .【答案】(-8 3【解析】由三个实数a，b,c等比，可设b =aq,c=aq2,则由已知Q 2b+3c可得a 2aq+3aq2 1 2q+3q2 n q工 一 1或q 2/故 子 =q-2 q2,其取值范围
4、由二次函数的特点可得.3.【答案】y=-4 x【解析】【分析】本题考查曲线与方程化简可得(3%+力5+3%+=-炉-第 令/(幻=必+-求出单调性和奇偶性，原方程可转化为f(3x +y)=-f(x)=/(-#)，即可求解。【解答】解：由(3x +y)5+公+4 X+=0 可得(3x +y)5+3x+y=-xs-x.令/(%)=公+%,易 证f(x)=%5+x,n R是增函数且是奇函数.故原方程可转化为f(3x +y)=-f(x)=/(-x).因此得到结论3x +y=-x,化简得y=-4 x.4.【答案】1【解析】本题用转化加图解法可解.方程10 g 4(2 +3X)=l o g3(4Y-2、)
5、可转化为(2X+3*=优 n 2、+3、=4匕=丫 =VUr-2X=3 l 2x+3y=4X y，再由图解法可知原方程的实根的个数为1.5.【答案】75-等【解析】由复数z =x +yi使得黑脸 的 实部和虚部都是小于1的正数，可得乔尹髭 1。(搭 1 1 温 52,J 0 x 52 K(0 y n2=4 n,n /V =n =0,4.若n =0,则/1(%)=0,/(x)=1;若n=4,则/(%)=x4.7.【答案】2【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点(或方程的根)，属于较难题.记/()=工2-x s i n x -c o s”，利用导数研究函数/(%)的零点，即可得解.【解答】
6、第2页，共3页解：记/(x)=x2 xsinx-cosx,则f (x)=2x xcosx=x(2 COSY),可知：f /(0)=0,可知/(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，由特殊情况的运算可猜想：当n取偶数时，恒有下面用数学归纳法证明.又/1(0)=-1，1 皿-J Q)=+8,=+8,故f(x)有两个零点，则方程4?=xsinx+cosx的实数解的个数为2,8.【答案】168【解析】【分析】本题考查了集合的表示方法，根据规律填写数列中的某项，属于中档题.由题意可得只有任何一位上的数在1,2,3,4,0 中时才会不出现进位，此外，当末位是9、99、999时，也不会发生
7、进位，需要另行考虑.【解答】解：考 虑 1000到 1999这些数，注意到当其中任何一个自然数有一位上的数是5,6,7,8 时，则与它的后继相邻数相加时会出现进位.只有任何位上的数在1,2,3,4,。中时才会不出现进位，此外，当末位是9、99.999时，也不会发生进位.因此,从1000到 1999(实际是2000,即最后一对是1999,2000)中，共用：5 x 5 x5+5 x 5 +5+1=156 对：考虑2000到 20 2 0,这些数中，有 5+6+1=12对，所以，集合 1000,1001,1002,2020 中两相邻自然数相加时不出现进位的对数为156+12=168.9.【答案】解
8、：先由特殊情况入手：当n=l 时，A(x)=1+x,令人(4)=0,得3-I.当 n=2 时,/2(x)=l+x+y =|(x +l)2+|0.当n=3 时,/3W =l +x+y +易知/3(%)=l+x+-4-y=0 必有解，且注意到 3(X)=，2(X)0 恒成立.因此，3(%)单调递增，故有唯一解又注意到着+1(乃=fnG)+(：+,且广 n+lW =/”(%)，可知当取奇数、偶数时相互依赖.当n=2 时，已验证.假设当n=2k伏 W AT)时,命题成立，即心式幻 0.由于 24+1 (幻=f2 k g 0，故可得，2A+l(X)单调递增，有唯一根科当n=2k+2 时，由于f2k+2
9、。)=为+1(力/ZR+ISO)=。，故/zk+zS)在a 处达到最小，2k+2 丫 2k+2即 24+2(%)?Afc+2(x0)=/2fc+l(x0)+(含 2至=送+方 ，故当n是偶数时，方程九(%)=0 没有实根；且当是奇数时，方程九)=0 有唯,的实根%.下证当n为奇数时,en en+2,由于当n为奇数时，人(幻=0 有 唯.的 实 数 解%且(%)单调递增，所以问题转化为%+2 O fn(en)人(%+2)=/n+2(%)3+2(%+2)O 0 fn(Pn+2)=fn+2(。”)。gn+1 8n+20 A1(%)+襟F T+湍互。州+1 稣+1=7 1 1 M+71 0 0 7(4+2+%)0(n+1)!(几 +2)!(几+2)!=n+2+6 n o%(n+2)fn-(n +2)0.由为奇数，所以/(-(n +2)=l-(n +2)+g -W+-+*U-W，乂(n+2)nT _(n+2)”_ 25+2尸 0,(n-l)!n!n!即人 -5 +2)%+2【解析】本题考查导数与函数、数学归纳法，考查考生的推理论证能力以及等价转化思想.利用导数与函数单调性及数学归纳法证明.第3页，共3页第4页，共1页