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1、热点09 立体几何【命题趋势】立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，新高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点。新高考中立体几何淡化了三视图的相关内容，以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题
2、则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。【满分技巧】i .平行、垂直位置关系的论证的策略(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。2 .空间角的计算方法与技巧主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。(1)两条异面直线所成的角平移法；补形法；向量法。(2)直线和平面所成的角作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
3、用公式计算。(3)二面角平面角的作法：（i）定义法；（i i）垂面法。平面角的计算法：（i）找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；（i i）射影面积法；（i i i）向量夹角公式。3.空间距离的计算方法与技巧（1）求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。（2）求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情况高考不做要求）。（3）求点到平面的距离：一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平
4、面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从 而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。4.熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是；面积射影公式；“立平斜关系式”；最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。5.翻折、展开关注不变因素平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。6.与球有关的题型只能应
5、用“老方法”，求出球的半径即可。7.立体几何读题（1）弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的、组合体等。（2）弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系（平行、垂直、相等）。（3）重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。8.解题程序划分为四个过程弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么？条件是什么？未知是什么？结论是什么？也就是我们常说的审题。拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息，再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。执行计划。以简明、准
6、确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来，同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。回顾。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】空间几何体的几何特征、体积、面积、点线面的位置关系、空间向量【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）已知4 民 0 为球的球面上的三个点，。0|为 Z 3 C 的外接圆，若。a的面积为4兀，=则球。的表面积为（）A.64兀 B.48兀 c.36兀 D.32兀【答案】A【分析】由已知可得等边口2 5。的外接圆半径，进而求出其边长，得 出 的 值，根据球的截面性
7、质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆|半径为，球的半径为R,依题意,得 一=4狷：，=2,；口4 5为等边三角形，由正弦定理可得A B=2 r si n 60 =2G,二0 i =A B=2 ,根据球的截面性质叩3平面A B C ,O。，O|4 火=O N =J o o；+0/2 =他*+/2 =4二球的表面积S =4万火2 =64%.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.2.（2 0 2 0 河南郑州高三其他模拟（理）过平面。外的直线/,作一组平面与。相交，若所得交线为d仇C,，则这些交线的位置关系为（）A.平行或交于同一点
8、B.相交于同一点C.相交但交于不同的点 D.平行【答案】A【分析】根据平面的基本性质，分类直线,与平面a平行和直线/与平面a相交两种情况讨论，即可求解.【详解】当直线/与平面a平行时，可得/。，/，,，则a/6/c ，当宜线/与平面a相交时，设/口0 =,则直线a，“,是过。点的直线，所以这些交线的位置关系为都平行或都相交于同一点.故选：A.3.（2 0 2 0 年新高考全国卷I 数学高考试题（山东）日展是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的劈针投射到劈面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。，地球上一点力的纬度是指的与地球赤道所在平面所成角，点 4处的水平面是指过点力且与总垂
9、直的平面.在点力处放置一个日辱，若辱面与赤道所在平面平行，点/处的纬度为北纬4 0 ,则易针与点4处的水平面所成角为（）A.2 0 B.4 0 C.50 D.90【答案】B【分析】画出过球心和愚针所确定的平面截地球和凸面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点/处 的 纬度，计算出整针与点Z处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中8是赤道所在平面的截线；/是点2处的水平面的截线，依题意可知OAll._ Z8是号针所在立线.加是咎面的截线，依题意依题意，辱面和赤道平面平行，辱针与唇面垂直,根据平面平行的性质定理可得可知加。、根据线面垂直的定义可得4
10、B 1?一由于 A A O C =4 Q,m/CD 所以 Z O A G=N Z O C =4 0。，L|l J-.Z O J G +N G A E =N B A E +N G A E=90 ,所以N B 4 E =N O/G =4 0,也即愚针与点A处的水平面所成角为N B 4 E =4 0 .故 选:B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.4.（2 0 2 0年天津市高考数学试卷）若棱长为2G的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）h 27r B.2 4 c.3 6万 D.乃【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半
11、，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，及，由+（2+国2即2,所以，这个球的表面积为5 =4 1 A：=4乃x 3?=3 6万.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径：（3）如果设计几何体有两个面相
12、交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.5.（2 0 2 0 河南郑州高三月考（文）如图，在三棱柱 O 4 8 c l中，以 分 别 为 棱4,4的中点，过 世作一平面分别交底面三角形/8C的边8 C,C于 点 笈F,则（）A.M F/N EB.四 边 形 儿 为 梯 形C.四边形四 成7为平行四边形D ABN E【答案】B【分析】由 已 知 条 件 及 线 面 平 行 的 性 质 可 得 即 且M/M”,可得四边形 四 的 为梯形，可得答案.【详解】解：.在口446 中，A M=MA-八 八BC=2,2,M 是线段8 c 上的动点，记直线尸M 与平面4 8 c 所成
13、的角为。，若 tan 9 的最2 G大 值 为 3,E 为线段N C 的中点，过点E 作三棱锥P-N 8C 外接球的截面，则该截面面积的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _.3 兀 5 7t【答案】1 4 4 _【分析】作出简图，由线面角的定义和已知条件得出底面的三角形的边角关系，再由三棱锥的外接球可得截面的面积的范围.【详解】如图，连接力加，因为尸/,平面N 8 C,所以N*3就 是 直 线 与 平 面 4 8 c 所成的角6.PA 273当时，8 最大，此时tan有最大值，所以/3AM=BM=-MC=-_ r-N B A cJ由题意可得 2,所以 2,又BC=2,所以 2,C=3,所以
14、 2过3 c中点。作OOJ 平面Z 8 C,连接0 E,此时O ELZC,所以，以4 0为直径的截面为最小截面，此时截面的面积为：I 2 1 经过球心的截面为最大截面，连接4 ，作于 则 尸4 因为OP=%,所以点是力的中点，又 Ad=OH=,PO=yJPH2+HO2所以,所以过球心。的截面的面枳为：715 1T3 兀 5 7 1所以该截面面积的取值范围为L443兀5兀故答案为：L 4 4【点睛】本题考查空间中的线面角的定义和计算，三棱锥的外接球的截面面积问题，属于中档题.三、解答题1 6.（2 0 2 0年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I ）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，A
15、 EP Q _ DO为底面直径，4 E =A D.口/4。是底面的内接正三角形，P为DO上一点、,一 6（1）证明：P Z J平面P8C：（2）求二面角5-尸。一E的余弦值.2 7 5【答案】（1）证明见解析；（2）5【分析】（1）要证明P A L平面P B C ,只需证明P A L P B,4 1 PC即可；（2）以。为坐标原点，为x轴，为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面P C 8的法-n-m_ c o s =向量为，平面PCE的法向量为加，利用公式 I ”加计算即可得到答案.【详解】（1）由题设，知A D4E为等边三角形,设4 E =1,DO =C O =B O =-A E
16、=-PO =DO =则 2 ,2 2 ,所以 6 4 ,P C =yjp o2+oc2=,P B=yJ P O2+O B2=,44BA又口45 c为等边三角形,则s i n 6 0 02OA BA=，所以 23PA2+PB2=-A B2 4 ，则44 P 8 =9 0,所以尸4 1 P 8,同理P Z _ L P C,又 PCCPB=P,所以/M _ L 平面 P8C；(2)过。作N 重交4?于点A；因为尸工平面43C,以。为坐标原点，物 为x轴，为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 2 4 4 4 4 4尸。=(一 彳 一 彳 一 彳)0 8 =(一 彳，一 彳)P =(-,0,-)，设平
17、面p c B的一个法向量为=a,弘,4),n-P C =0 1一 芭 _ 百 乂 _ 任|=0山、万 PB=0 ,得、一 苞+百,一=0,令国=A/2,得Z 1 =1,必=0所以工=(0,-1),设平面PCE的一个法向量为加=(%2，歹2/2)x2 5/3 y 2 -A/2Z2=0-2 x?-近ZO,令吃=1,得Z 2=一&必=了in-P C=0V _ _ Vin-P E=0 z a由l ，得【所以i岑T）-n-m 2 /2 2A/5c o s -=-一r =-6,加 5故,c o s 0 =-设二面角8 P C E的大小为,则 5【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，
18、考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.1 7.（2 0 2。年天津市高考数学试卷）如图，在三棱柱 8 C 44G中，CG，平面ABC,AC L B C,A C =B C =2 ,C G=3 ,点D,“分别在棱”4和 棱 田 上，且AD=X CE=2,为 棱44的中点.z r X 七丁 C.M B.D(I)求证：1 I;(I I)求二面角B-BIE-D的正弦值；(III)求直线Z B与 平 面 也 所 成 角 的 正 弦 值.国 V3【答案】(I)证明见解析；(II)6；(Hi)3.【分析】以c为原点，分别以C408,C G的方向为x轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.(I)计
19、算出向量G 和 他 的 坐标，得出G 4 0 =o,即可证明出(II)可 知 平 面 的 一 个 法 向 量 为 声，计算出平 面 司 即 的 一个法向量为7,利用空间向量法计算出二面角8 一4 一0的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；(III)利用空间向量法可求得直线与平面。片 所 成 角的正弦值.【详解】依题意，以c为原点，分别以刀、而、,G的方向为X轴、歹轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),由力 C（0,0,0）4（2,0,0）5（0,2,0）C,（0,0,3）J 1寸 、4（2,0,3）4 （0,2,3）Z）（2,0,l）（0,0,2）A f（l,l,3）、依 题
20、意，=（L 1，。）,率H Z ）,从而R 丽=2-2 +0 =0,所以G W 8 Q；（I I）依题意，,=（2，）是平面跖也的.个法向量,函=（0,2,1）丽=（2,0,-1），设GJ）为平面D B】E的法向量，-EBi=0 j2 y +z =0则而=0,即1 2 x z =0,不妨设x =l，可得=T2）.-一 C A n 2 V 6c o s =“1 =-r=C”2 x V 6 6k /2 J 3 0s i n =q i-c o s-=-A/30所 以，二 面 角3一4七 一 的 正 弦 值 为6(I I I)依题意，8 =(-2,2，),由（H）知=T 2）为平 面 处E的 一个法向
21、量，于是-77：-AB nC O S =I_ABn2 V 2 x V 6 36所 以，直 线48与 平 面。片 所 成 角 的 正 弦 值 为3【点 睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.1 8.（2 0 2 0 安 徽 高 三 其 他 模 拟（理）如 图，已知圆。的 直 径 长 为2,上半圆圆弧上有一点C,N C 8 =6 0 ,点P是 弧NC上的动点，点。是下半圆弧的中点，现 以Z8为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连 接 产、PD、CD.（1）当/8平面尸C。时，求尸C的长;（2）当三棱锥产一C 8 体积最大时，求 二
22、 面 角。一 一 的余弦值.V 3【答 案】（1）=1 ：（2）3【分 析】（1）根据线面平行的性质定理证得N 8 P C,然后根据角度证得三角形为正三角形，从而求得结论.（2）根据二面角为直二面角，证得平面C O P,由等体积法证得当c o工。尸时，三棱锥P-COQ体积最大，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量数量积的运算求得二面角的余弦值.【详解】解：（1）；48平面PC。，A B I平面O C P,平面OCPC平面尸CD=PC,由线面平行的性质定理得A B H PC.又Z C O B=60,可得NO C P=60.而 =3,为正角形，所以QC=1（2）.二面角为直二面角，DO
23、1 A B ,所以平面COP,而 V p-COD =D-COP ,.当CO J.OP时，三棱锥?一 CQ体积最大.方 法：因为P,O D,两两垂直，所以OP,O D,0 c分别为X,y,Z轴建空间直角坐标系,UUU UUUP(l,0,0),D(0,l,0),C(0,0,l),FC=(-l,0,l),DP=(l,-l,0)-/J P C-n,=0令平面DPC的法向量为 ()，X+2=0/-=o,取4=(1,1,1)又取平面PC O的法向量为五 2=（0,1，0）斤码V 3设二面角O P C Q的平面角为a,1忸|3.方法二：取0 C的中点 ，连接O H,DH.因为OC=OP,DC=DP,所以。，
24、。“都与尸。垂直，即 为 所 求 二 面 角的平面角.0H=在R t E J O P C中可得 2 ,在 R t D O”。中，V V 2 7 2V 2cosZOHD=屈 3所以 2百所以：二面角0一 一0的余弦值的为3 .【点睛】本题主要考查线面角的性质的应用及二面角的求法，意在考查学生的数学抽象的学科素养及数学运算的学科素养，属中档题.19.(2 02 0年新高考全国卷I数学高考试题(山东)如图，四棱锥人46刃的底面为正方形，如，底面ABCD.设平面目与平面如C的交线为1.(1)证明：A L平 面 做7；(2)已 知 小/介1,。为/上的点，求 处 与 平 面Q6所成角的正弦值的最大值.V
25、6【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得 O 平面0,利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得A D H I,从而得到/，平面P O C；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点。（加，1）,之后求得平面的法向量以及向量尸3 的坐标，求得cos 的最大值，即为直线P B与平面0 C D 所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形46C。中，A D I I B C,因为4 0 仁平面P8C,B C u 平面 3 C,所 以/。平面尸8C,又因为4 Qu平面尸Z D,平面尸/0 n 平面尸8C=/,所以力。/，因为在四棱锥尸
26、8 c。中，底面8CZ）是正方形，所以_L；./_L ,且尸Z）!平面 Z 8C D,所以 4 0-L P。,./!P。，因为 C D A P D =D所以/上平面P ：（2）如图建立空间直角坐标系O-XJN因为尸。=4 D =1,则有。(0，0,0),C(0,l,0),J(l,0,0),P(0,0,1),5(1,1,0),设0(m,0,1),则 有 反=(0,1,0),丽=(加,0,1),丽=(1,1,一1)设平面Q C D的法向量为 =（X J,Z）,令X =l,则2 =-加，所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 为 =（L，一 加），则_ n-P Bc o s n,P B1 +0+加V
27、 3-V w2+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与1 c s脍|=:刈=B.再逶平面所成角的正弦值等于+1 3 V W-+1=也卜+弟 工 也 坐1也.村=也3 V m-+3 V m +1 3 3 ,当且仅当机=1时取等号，巫所以直线P3与平面0 8所成角的正弦值的最大值为3 .【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.2 0.（2 02 0 云南昆明高三其他模拟）如图，四棱锥户-/及切中，底面49 5 是平行四边形，4
28、 ACB=9 0：平面 为1 平面ABCD,P A=B）=,P F A B=O ,E、F分别为线段必和%的中点.（I ）求证：四平面为人：（I I ）在线段比上是否存在一点G,使得平面处G 和平面AK所成二面角的大小为60?若存在，试确定 G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（I）先证明E C H F即 可（H ）存 在（池 一 1,0）【详解】试题分析：证 明（1）取 PA 中点为H,连结C E、H E、FH,懿s i因为H、E分别为PA、PD 的中点，所以H E A D,懿,因为A B C D 是平行四边形，FIF为线段B C 的 中 点 所 以 FC A D,徵所以抵 FC,H E
29、-F C四边形FC E H 是平行四边形 所以E C H F又因为 E 一面W U 平:6 1 2 4 尸所以C E 平面PA F(2)因为四边形A B C D 为平行四边形且/A C B=9 0 ,所以C A A D 乂由平面PA D _ L平面A B C D 可得C A 上平面PA D 所以C A J_ PA由 PA=A D=1,P D=&可知，PA _ LA D所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz因为PA=BC=I,AB=&所 以AC=I 所以R（O.-LO）.C（LO.O）.P（O.O.I）假设B C 上存在一点C,使得平面PA G和平面PGC 所成二面角的大小为6 0 ,设点
30、G 的坐标为(1,a,o),-l a0 所以，4 G =(l.a.0).P=(0.Q1)设平面PA G的法向量为巾=(工q-*I*则 艇 I就 令密E酶罩曰司府之尊所以幽日麒好蟒又M=(O.b.O).而=(L0 J)设平面PC G的法向量为卤卜翻嗓加!刘令4 -1.3 -。_ 1 所以”=().0.1 1|cosw.n)|=因为平面PA G和平面PGC 所成二面角的大小为6 0 ,所以上3所以a -1 又一1 三a三0 所以0-一 1所以线段B C 上存在一点G,使得平面PA G和平面PGC 所成二面角的大小为6 0 点 G 即为B点考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算.点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算.在计算问题中，有“几何法”和“向量法”.利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤.本题利用向量简化了证明过程.把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性.