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1、高 二 数 学 考 点 题 型 技 巧 精讲与 精练高分突破系列（人 教 A 版选择性必修第三册）第 六 章 计 数 原 理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理及其简单应用【考点梳理】知识点一分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在 第 1类方案中有，种不同的方法，在第2 类方案中有种不同的方法，那么完成这件 事 共 有 种 不 同 的 方 法.知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做 第 1步有机种不同的方法，做第2 步有种不同的方法,那么完成这件事共有N=mX种不同的方法.【题型归纳】题型一、分类加法1.算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘（如 图 1
2、）,共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5,梁下五珠，上拨一珠记作数字1 （如图2 中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A.8 B.10 C.15 D.162.跳格游戏：如图所示，人从格外只能进入第1格：在格中每次可向前跳1格或2 格，那么人从格外跳到第6 格可以有 种办法.3.以正方形的4 个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出多少个不相等的向量？题型二、分步乘法4 .已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则 从 一 层 到 四层不同的走法种数为（）A.32B.23C.43D.245 .
3、如 图，用4种不同的颜色对A,B,C,。四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂C.7 2 种 D.9 6种6.甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅 球、跳 远、1 0 0米 比赛，每人限报一项，共有多少种不 同 的 报 名 方 法（)A.1 2B.2 4C.6 4D.8 17 .一 排 有1 0盏 灯，如 果 用 灯 亮 表 示 数1,用 灯不亮表示数0,每一种亮灯方式代表一个数据，如：0 0 1 0 1 0 0 1 0 1表示一个数据，那 么 这1 0盏 灯 可 以 表 示 的 数 据 个 数 是.【双基达标】1.甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期
4、间到A8C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表:交通路口4BC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若 要 求A B,C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安 排 方 法 数 有（）A.1 4种 B.1 1种 C.8种 D.5种2 .从2 0 2 1年3月2 4日起，中国启动新冠疫苗接种数据的日报制度，国家卫健委每日在官网公布疫苗接种总数，这也是人类疫苗接种史上首次启动国家级最大规模的日报制度.为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种普及率，重庆市某区卫健委在城区设立了 1 1个接种点，在乡镇设立了 1 9个接种点.某市民为
5、了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则 不 同 接 种 点 的 选 法 共 有（）A.1 1 种 B.1 9 种 C.3 0 种 D.2 0 9 种3 .某 校 开 设A类 选 修 课4门，B类 选 修 课3门，每 位 同 学 从 中 选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A.18 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种4.按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有A 3,C 三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只
6、能选择一种.那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（）A.5 种 B.6 种 C.8 种 D.9 种5.将 2 封不同的信投入3 个不同的信箱，不同的投法种数为（）A.3x2 B.3 C.32 D.236.如果把个位数是1,且恰有3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个.7.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点8 传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递 的 最 大 信 息 量
7、为.8.有一密码为802136的手提保险箱，现在显示的号码为721080,要打开箱子，至少旋转 次.（每个旋钮上转出一个新数字为一次，逆转、顺转都可以）9.十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则共有 种行车路线（用数字作答）10.（1）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8 班汽车、2 班火车和2 班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有种不同的方法.（2）满足“，/?-1,0,1,2 ,且关于x 的 方 程 加+级+人=。有实数解的有序数对（小 6）的个数为.11.集合123,4有多少个子集？12.从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有2 班，火车有4 班，长途汽车
8、有10班.一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？13.把 6 名实习生分配到7 个车间实习，共有多少种不同的分法？14.某人有4 枚明朝不同年代的古币和6 枚清朝不同年代的古币.（1）若从中任意取出1枚，则有多少种不同取法？（2）若从中任意取出明、清古币各1枚，则有多少种不同取法？1 5.计算:（1）将 2 封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？（2）将 2 封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？【高分突破】1.甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为1 0,5,3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一
9、名，则下列说法错误的是（）A.第二名、第三名的总分之和为2 9 分或3 1 分B.第二名的总分可能超过1 8 分C.第三名的总分共有3种情形D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名2.在 2 0 2 1 中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3 艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个 单 位（1 架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）A.5 1 种 B.1 6 8 种 C.2 2 4 种 D.3 3 6 种3.某旅行社共有5 名专业导游，其中3 人会英语，3 人会
10、日语，若在同一天要接待3 个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1 个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有（）A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 54 .用 5种不同颜色给图中的4、B、C、。四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（）种不同的涂色方案.A.1 8 0 B.3 6 0 C.6 4 D.2 55 .从6 人中选出4 人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为（）A.9 4 B.1 8 0 C.2 4 0 D.2 8
11、 66 .2 0 2 0 年 3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁 4名医生到A ,B,C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A.所有不同分派方案共4 3 种B.若每家企业至少分派1 名医生，则所有不同分派方案共3 6 种C.若每家企业至少分派1 名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共1 2 种D.若 C企业最多派1 名医生，则所有不同分派方案共3 2 种7 .如图，小明、小红分别从街道的E、尸处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则（)A.小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3B .小明到老年
12、公寓可以选择的最短路径条数为35C.若小明不经过尸处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32D.若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为188 .已知直线方程A v+B.y =O,若从0、1、2、3、5、7 这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则A r +B y =0 可表示 条不同的直线.9.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4 种不同的 颜 色（4 种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案
13、有（）A.24 种 B.48 种 C.7 2 种 D.96 种10 .一系列函数若它们的对应关系相同、值域相同，则称这一系列的函数为“同 族 函 数 对 应 关 系 为 y =值域为 0,3,8 的“同族函数”有 个.11.某新闻采访组由5 名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自A、B、C、。四个地区.现在该新闻采访组要到4 8、C。四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有种.12.由1、2、3、4、5 这5 个数 字 可 以 组 成 四 位 没
14、 有 重 复 数 字 的 奇 数 的 个 数 为,组成四位有重复数字的奇数 的 个 数 为.【答 案 详 解】【题 型 归 纳】1.A【详解】拨动图1 算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4 种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4 种方法，由分类加法计数原理得共有8 种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A2.8【详解】每次向前跳1格，共跳5 次，有唯一的跳法；仅有一次跳2 格，其余每次向前跳1格，共跳4 次，有 4 种的跳法；有两次跳2 格，其余每次向前跳1格，共跳3 次，有 3 种的跳法.则共有1 +4+3=8 种.故答案为：8.
15、3.8【详解】如图所示，从A 出发的向量有A8,AC,A D从B出发且与从A 出发的向量不相等的有BA,BD从C 出发且与从A、8 出发的向量不相等的有CB,。从。出发且与从A、B、C 出发的向量不相等的有)8所以可以作出不相等的向量有8 个.4.B【详解】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有 2 种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2 种走法，则从一层到四层共有2x 2x 2=23种走法.故选：B.5.B【详解】按涂色顺序进行分四步：涂 A部分时，有 4种涂法；涂 8部分时，有 3 种涂法；涂 C部分时，有 2种涂法;涂。部分时，有 2种涂法.由分步
16、乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4 x 3 x 2 x 2 =4 8 利 L故选：B.6.C【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、1 0 0 米比赛，每人限报一项，每人有 4种报名方法，根据分步计数原理，可知共有4 x 4 x 4 =6 4 种不同的报名方法.故选：C7.1 0 2 4【详解】因为用灯亮表示数1,用灯不亮表示数0,每一种亮灯方式代表一个数据，所以由乘法分步原理可知这1 0 盏灯可以表示的数据个数为=1 0 2 4 个，故答案为：1 0 2 4【双基达标】1.B【详解】由题意得：以 C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有2 种，两个人或一个
17、人C路口执勤分得人口数为2 个，丙、丁在C路口，那么甲、乙 只 能 在 路 口 执 勤；C路口执勤分得人口数为1 个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A（T）B（甲乙）C （丙）；A （甲丁）B（乙）C（丙）；A （乙丁）8 （甲）C （丙）；丁在C路口：A （甲乙）B（丙）C（T）;4 （丙）B（甲乙）C （丁）:A （甲丙）B（乙）C（T）;4 （乙）B（甲丙）C（丁）：A （乙丙）8 （甲）C （丁）；A （甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=1 1 种选法.故选：B.2.C【详解】该市民选择接种点分为两类，一类在乡镇接种点，一类在城区接种点，所以方法数为1 9+1
18、 1=3 0.故选：C.3.C【详解】根据题意，分两种情况讨论：若从A类课程中选1 门，从 8 类课程中选2门，有（种）选法；若从A类课程中选2门，从 8 类课程中选1 门，有 C j C；=1 8 （种）选法.综上，两类课程中都至少选一门的选法有1 2+1 8=3 0 （种）.故选：C.4.B【详解】第一步选择接种点位，有 3种选择；第二步选择疫苗，有 2种选择，由乘法原理知，共有3 x 2=6 种选择的安排方法.故选：B.5.C【详解】第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，根据分步计数原理可知一共有3 x 3 =3 2 （种）投法.故选：C.6.1 2【详解】当组成的数字有三个1,三
19、个2,三个3,三个4时共有4种情况.当有三个 1 时：2 1 1 1,3 1 1 1,4 1 1 1,1 2 1 1,1 3 1 1,1 4 1 1,1 1 2 1,1 1 3 1,1 1 4 1,有 9 种，当有三个 2,3,4 时:2 2 2 1,3 3 3 1,4 4 4 1,有 3 种，根据分类加法计数原理可知，共 有 1 2 种结果.故答案为：1 27.1 9【详解】由题图可知，从 A 到 B 有 4 种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.故答案为：19.8.14【详解
20、】第一位最少旋转8-7 =1次，第二位最少旋转2-0 =2 次，第三位最少旋转2-1=1次，第四位最少旋转1-0=1次，第五位最少旋转8-3 =13-8=5 次，第六位最少旋转10 6=4 次，二要打开箱子，至少要旋转1 +2+1+1+5+4=14次.故答案为：14.9.12【详解】设十字路口有A&C,。四个路口，由于不允许掉头，则其中一个路口的车辆有G=3种行驶方向，即左拐，直行，右拐，那么四个路口的车一共有C；xC：=12种行车路线.故答案为：12.10.12 13【详解】（1）分三类：一类是乘汽车有8 种方法；一类是乘火车有2 种方法；一类是乘飞机有2 种方法，由分类加法计数原理知，共有
21、8+2+2=12（种）方法.（2）当=0 时，的值可以是一1,0,1,2,故他，份的个数为4；当 和 时，要使方程以2+2x+=0 有实数解,需使/=4-4a应0,即出咚1.若 a=-1,则 b 的值可以是一1,0,1,2,（a,b）的个数为4；若。=1,则匕的值可以是一1,0,1,3,6）的个数为3；若。=2,则人的值可以是一 1,0,（a,加的个数为2.由分类加法计数原理可知，3，6）的个数为4+4+3+2=13.故答案为：12；13.11.16【详解】由于集合L2,3,4中有4 个元素，则子集有以下情况：当子集没有元素时，则子集为0,共 1 个；当子集含有1 个元素时，有1,2,3,4,
22、共 4 个；当子集含有 2 个元素时，有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共 6 个；当子集含有3个元素时，有子2,3 ,1,2,4 ,2,3,4 ,1,3,4 ,共 4个；当子集含有4个元素时，有 1,2,3,4 ,共 1 个；根据分类加法计数原理，该集合的子集共有：1+4+6+4+1=1 6 个，即集合 1,2,3,4 有 1 6 个子集.1 2.1 6【详解】由题意可知，从甲地到乙地，若乘飞机，有2 种方法；若乘火车，有4 种方法；若乘长途汽车，有 1 0 种方法；则从甲地到乙地共有2+4+1 0 =1 6 种不同的方法.1 3.76【详解】6名实习生分配到7个车间实习，每
23、名实习生有7种分配方法，共有7$种不同的分法.1 4.（1）1 0 2 4【详解】从1 0 枚不同的古币中，取出1 枚为明朝的古币有4 种不同的取法，取出1 枚为清朝的古币有6 种不同的取法,由分类加法计数原理可知，共有4 +6 =1 0 种不同的取法.（2）分两步进行，第一步，从4 枚明朝的古币中取出1 枚，有4 种不同的取法；第二步，从6 枚清朝的古币中取出1 枚古币，有6 种不同的取法.由分步乘法计数原理，共有4 x 6 =24 种不同的取法.1 5.1 2；（2）1 6【详解】（1）将 2 封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封,第一封信有4种选择，第二封有3 种选择，答案为4 x 3=
24、1 2（种）；（2）将 2 封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有4 x 4 =1 6 （种）.【高分突破】1.C【详解】依题意，甲的得分情况有两种：1 0,1 0,5和 1 0,1 0,3,显然3 人的总得分为5 4 分，甲得分为1 0,1 0,5时，第二名、第三名的总分之和为29 分，甲得分为1 0,1 0,3 时，第二名、第三名的总分之和为31 分，A正确；甲得分为1 0，1 0,5时，第二名得分有三种情况：5,5,1 0：5,3,1 0：3,3,1 0,总分分别为20 分，1 8 分，1 6分，第三名得分对应有三种情况：3,3,3；3,5,3；5,5,3,总分分别为9分，
25、1 1 分，1 3分，甲得分为1 0,1 0,3 时，第二名得分有三种情况：5,5,1 0；5,3,1 0；3,3,1 0,总分分别为20 分，1 8 分，1 6分，第三名得分对应有三种情况：3,3,5；3,5,5；5,5,5,总分分别为1 1分，1 3分，1 5分，选 项B,D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.故选：C2.B【详解】计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：飞机来自中方，有C；C；C；种方法，飞机来自俄方，有种方法，由分类加法计数原理得：C；C；C；+C；C；C；=1 6 8（种），所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有1 6 8种.故选：B3.C【详解
26、】由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有2x 2=4种安排方法；第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法.故此时共有4 x 2=8种安排方法；第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；第二步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人安排到需要会
27、日语的旅游团，有3种选法.故此时共有2*3=6种选法.综上，不同的安排方法种数为8 +6 =1 4.故选：C.4.A【详解】第一步涂A,有5种涂法，第二步涂B,和A不同色，有4种涂法，第三步涂C,和A B不同色，有3种涂法，第四步涂D,和B C不同色，有3种涂法，由分步乘法技术原理可知，一共有5 x 4 x 3x 3=1 8 0种涂色方案，故选：A.5.C【详解】第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法;第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有5 x 4 x 3=6 0种选法.由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为4
28、 x 6 0 =24 0,故选：C.6.B C【详解】对于选项A：所有不同分派方案共有34利 故 错 误；ccc6对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有用=36种，故正确;对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若4企业分2人，则 有&=6种；若A企业分1人，则有&=6种，所以共有6+6 =1 2种，故正确；对于选项D：若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有24=1 6种，若C企业派1名 医 生 则 有=32种，所以共有1 6+32=4 8种，故错误；故选：B C.7.A B D【详解】由图知，要使小红、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不
29、能向下、向左移动，对于选项A,小红到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为C；=3条，故A正确；对于选项B,小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为C=35条,故B正确；对于选项D,小明到厂的最短路径走法有=6条，再从F处和小红一起到老年公寓的路径最短有3条，所以到F处和小红会合一起到老年公寓的共有6 x 3=1 8条路径，故D正确；对于选项C,由选项D可知，小明不经过尸处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35-1 8 =1 7,故选项C不正确.故选：A B D8.22【详解】当A =0时，可表示1条直线;
30、当8 =0时，可表示1条直线；当A B x O 时，A有5 种选法，B有4 种选法，可表示5 x 4 =20 条不同的直线.由分类加法计数原理，知共可表示1 +1+20 =22条不同的直线.故答案为：22.9.B【详解】根据题意，分 2 步进行分析：当区域、这三个区域两两相邻，有=24 种涂色的方法；当区域、，必须有1 个区域选第4种颜色，有 2 种选法，选好后，剩下的区域有1 种选法，则区域、有2种涂色方法，故共有2国=2x 24 =4 8 种涂色的方法.故选：B1 0.27【详解】由题知“同族函数 为对应关系相同，值域相同，但定义域不同的函数.对应关系为y =值域为 0,3,8 ,由x2-
31、1=O=A=1,x2-l=3=x=2,J r?-1=8=户 3 知，要构成满足条件的函数,定义域应该由 1,2,3 这三组数所构成，当定义域内有3个数时，有 2 x 2 x 2=8 种组合方式，当定义域内有.4个元素时，有 3 x 2 x 2=1 2 种组合方式，当定义域内有5个元素时，有 3 x 2=6 种组合方式，当定义域内有6个元素时，有 1 种组合方式，满足题意的定义域可以有8+1 2+6+1=2 7 种.故答案为：2 7.1 1.4 4【详解】分两类：甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有（3 x 3 x l x l）x 4 =3 6；甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有（2 x l x l）x 4 =8.所以总数3 6 +8 =4 4.故答案为：4 4.1 2.7 2 3 7 5【详解】根据题意，知个位数字可以为1、3、5,共有3 种选法.若组成四位没有重复数字的奇数，则千位数字有4 种选法，百位数字有3 种选法，十位数字有2 种选法，故所求个数为 3x4x3x2=72.若组成四位有重复数字的奇数，则千位、百位、十位数字均有5 种选法，故所求个数为3 x 53=375.故答案为：72；375.