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1、恩傩男囹奇偶性8.5奇偶性(精讲)(基础版)偶函数_ 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x)广 量 R 奇 函 数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x)判断方法定义法图像法(1)定义域是否关于原点对称(左右端点同时(不)取到且成相反数)否：三困非偶函故IA：f(x)=x)=f(x)ffi9M f(x)Hf(x)w r(x徘 奇 指 禺Q)定义域关于原点对称 Q IA O 同时满足(2)奇函数：图像关于原点对称;偶函数：图像关于、轴对称如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0奇函数在两个关于原点对称的区
2、间上具有相同的单调性偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性偶的数+偶函数一信函数、奇 的 数+奇 肉 数=奇品数常见结论偶的数X偶 函 数=供 函 数、奇的数X奇函数=偶的数奇的数X偶 函 数=奇 晶 数、偶而数。偶 函 数=偶 函 数专函数上奇函数=信函数、与函数。偶 函 数=奇 函 数常见奇.偶函数面提定义域关于原点对称)同性加滋得同性,异性乘除为奇,同性秉除为偶奇函数(2)y=xa奇数r奇函数a偶数 偶函数(3)丫 _/-b奇 函 数y-u*+偶函数(4)y=log，或y=b g二+,苛函数1+X 1-X(5)y=log.(477 x)奇函数 y=log,奇函数Vl+x-x(1
3、)求定义城(给出的区间)是否关于原点时称,奇偶性 不对称奇非偶；对 称 看(2)的判断(2)用定义法或图像法判断题型利用奇偶 求哪段设x为哪段范围，r就是已知解性求解析式 析式范围即将-x代入解析式化简(1)区间两端点成相反数利用奇偶(2)借助上面常见形式算参数性求参数(3)定义法求参数_奇偶性E赢 性 的 综 合存 或 呈 宏例 题 剖 行考点一奇偶性的判断【例 1】（2022广东）判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f (x)=y)-X2+yjx2-;x2-2x+3,x 0(4)/(x)=0,x=0 x-2x 3,x /7%,仁其 定 义 域 为 关 于 原 点 对 称.因为对定义域内
4、的每 个x，都有 x)=0,所以/(r)=/(x),/(-x)=-/(x),所以+二i 既是奇函数又是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称.当x =0 时，-x=0,所以 r)=/(0)=0，/(x)=/(0)=0,所以f(-x)=-x)；当x 0 时，x 0,所以/(X)=_(-x)2(x)3 =_(x?2 x+3)=_/(x)；当x 0 ,所以/(-x)=(-X)2(x)+3 =x-2 x 3)=f(-v).综上，可知函数/(x)为奇函数.【一隅三反】1.(2 0 2 2 黑龙江)下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上不单调的是()A.y=B.y =c o sx C
5、.y =-x2 D.y =l n|x|【答案】B【解析】对于A,y =(定义域S叽(0,+8),但=T，为奇函数，且 y=1 在(0,+应 上单调递减，故A错误；对于C,y =c o sx 为偶函数，且在(0,”)上既有增区间，也有减区间，所以y =c o sx 在(0,+8)上不单调，故B正确；对于C,y =-V在(0,+a)单调递减，不符合题意，故 C错误;对于D,，=山忖在（0,+0,x2-x,x 0 时，-X 0,则/(_X)=(-X)2 _(_)=x 2+x=/(x)；当X 0 ,则/（-力=（-）2+（-）=2-工=/（），故/（X）是偶函数.考点二利用奇偶性求解析式【例 2-1
6、（2 0 2 2 重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知 x）是R 上的偶函数，当x N O 时，x）=x +l n（x+l）,则x 0 时,/(x)=()A.-x-l n(l-x)B.x-l n(l-x)C.-x+l n(l-x)D.x+l n(l-x)【答案】C【解析】因为是R 上的偶函数，当x 0,则 x)=/(T)=T+l n(l x).故选：C.【例 2-2 (2 0 2 2 全国高三专题练习)已知函数 x)是奇函数，且当x 0 时，/(力=1 0*+x+l,那么当x0时，/(x)的解析式是()A.-F X-1 B.-F X -11 0,1 0vC.x+D.-x+11 0、1 0A【答案】B
7、【解析】当x 0,所以/(-x)=l(T -x+l,又因为函数/(X)是奇函数，所以-/(-)=/(力，所以当x 0 时/(x)=-l(r +x-l =-4 7 +x-L 故选：B1 0【一隅三反】1.(2 0 2 2 湖南)若函数“X)是定义域为R 的奇函数，且当x N O 时，/(x)=x(l+x),则当x 0 时，/(x)=()A.-x(l+x)B.-x(l-x)C.x(l+x)D.x(l-x)【答案】D【解析】当x 0,由奇函数的定义可得 x)=/(x)=-(-力=故选：D.2.(2 0 2 2.河南安阳)已知/(x)是定义在R 上的奇函数，当x 2 0 时，x)=f-2x,则当x 0
8、 时，/(x)=【答案】-X2-2X【解析】x 0,“力是奇函数，此时/(x)=-/(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x故答案为：-d 2 x考点三已知奇偶性求参数【例 3-1 (2 0 2 2 全国高一课时练习)若函数 x)=(2.；r+a)为奇函数,则。=()A1A-2B-tc-iD.1【答案】A【解析】由函数/(x)j所以/o 1 W 1 一所以一 x(2 x 1)(X+Q)=-所以2Q 1 =0,即。=,2经验证”7 一 上,2 x T)(x+“)为商函数,可得/(r)一八X)，X(2 x-l)(x +a)T-x(2 x 1)(x+a),化简得2(2 I =o 恒成立，_ 2x%1
9、 1 4.v -1 ,定 工域 X原点让称，I L 17l./(.v)=一 *.故 “=1 ：故选:A.【例 3-2 .(2 02 2 全国长垣 市)已知函数 x)=e -e T+aA.1 B.2 C.-1【答案】B【解析】/(x)=e -e-x+a,/(-%)+/(%)=-e Y-+a j +(ev-ex+aj=2a,/l n =/(-l n z n)=3,又/(l n z)=l,/(l n；M)+/l n J =1+3=4=2 t z.，。=2.故选：B.【一隅三反】1.(2 02 2.湖北.高三开学考试)若函数/(x)=2 +a*(a 0,a【答案】|,若/(l n?)=l,/；l n
10、2 j =3,则 =()D.-2x l)是偶函数，则。=_ _ _ _ _ _ _ _.【解析】由题意知：x）=/（力=2-+，=2 +,同乘以2 得2+/=（2*+优）2，优，2+优片0,，2*/=1,故2a=l n a =；,故答案为：y2.（2022福建）若函数f（x）=|的图象关于y轴对称，则常数。=.【答案】-1【解析】可知函数/（%）为偶函数，定义域为R，则，（-1）=1），即击=解得。=T，则/（同=4 1 1 =1,显然满足题意，则 =-1.故答案为：-1 .3.（2022重庆巴蜀中学）若函数f（x）=lg（后 币-2x）为定义域上的奇函数，则实数。的值为.【答案】4【解析】因
11、为/（X）为定义域上的奇函数，/（x）+/（-x）=1g yjax2+1 -2x j+1g lax2+1+2x j=1g（ax2-4x2+1）=0,所以2-4 f +1 =1恒成立解得a=4.故答案为：4.Y4.（2022 云南）已知函数/（必二以十二三是偶函数，则常数。的值为4+1【答案】【解析】易知函数定义域为RXV函数/（x）=ar+右-是偶函数 /（-K）=/（X）对定义域内每一个X都成立4+1-x x.xxx xx4A x xx4x:.-ax+-=ax+,?.-2cix=-+-=-4-=-+-=x,4-+1 4V+1 4V+1 4-r+l 4A+1 4T（4*+D 4A+1 1 +4
12、*二.（l+2a）x=（）对定义域内每一个x都成立.1 +勿=0,B P a=_；.考点四利用奇偶性单调性解不等式【例4-1（2022全国高一课时练习）已知偶函数“X）的定义域为R,当x0,4w）时，x）=言，则的解集为（）c.I，+00D.-00,一2【答案】D【解析】、）=上+1H 2=-1+上，.J（x）在 0,+巧 上单调递减，又“X）为偶函数,x+1 x-1 x-,（；卜/（”一 1）1 （,一中卜 卜 一 叫1 3解得：xj 或x 5.y（x-i）i的解集为（7,g +00故选：D.【例 4-2.（2022全国课时练习淀义在-2,2 上的偶函数“X）在区间 0,2 上单调递减，若“
13、1-间/（,）,则实数，的取值范围是（)1A.m 2D.m22C.-m 2【答案】C【解析】是偶函数,“(x)=-x)=/(k|),故fQ-m）f（m）可变形为/（|1 一加 f（帆），/（x）在区间 0,2 上单调递减,故，-2 -m 2-2 m -1m3-2 m -m ,21m/(2 x-l),可得所以|x|2 x -1 =/(2 x -1)2 0 ；x 0的解集为()A.B.(-8,0)C.(-l,+o o)D.(0,+()【答案】C【解析】因为奇函数f(x)在 0,+8)上单调递增，所以在R上单调递增，因为x+2)+/(x)0,所以/(x+2)/(x)=/(x),所以x+2-x,解得x
14、 -l.故选：C.3.(2 02 2云 南)已知函数/(A 是定义在R上的偶函数，当XN 0时,f(x)=2x+x-1,则不等式尤-1)2的解集为()A.(0,2)B.(-,()C.(2,+8)D,(-0,0)C 2,+o o)【答案】D【解析】当xN O时,f(x)=2、+x 1,则/(幻在 0,)上单调递增,又函数“X)是R上的偶函数,且/(1)=2,所以，不等式,解得x 2所以不等式/(x-D 2 的解集为(Y,0)(2,+8),故选：D4.(2 02 2 河南商丘高二期末(文)已 知 偶 函 数 的 定 义 域 为 R,且当x N O 时，/(x)=1,则使不等式f(/_ 2 a)g
15、成立的实数。的取值范围是()A.(-1,3)B.(-3,3)C.(T，l)D.(-o o,3)【答案】A【解析】当x N O 时，/(x)=+1 2=1-,所以f(x)在。,+8)上单调递增，X+l X+l X+1且 3)=；,不等式/(片-2 a)|即为/(/一 2 4 /(3).又因为“X)是偶函数，所以不等式/(/-2 a)3)等价于川一2 闻 3),2 2 3则M-24 3,所以，,解得 1 。-3综上可知，实数的取值范围为(-1,3),故选：A.5.(2 02 2 全国 课时练习)定义在R上的奇函数A x)在(7,0 上单调递增，且/(-2)=-2,则不等式/(I g x)-/1g|
16、4 的解集为()A.(。喘)B.(焉 收)C.(0,1 00)D.(l(X),+o o)【答案】D【解析】因为函数A x)为奇函数，所以 T)=-/(x),又-2)=-2,2)=2,所以不等式/dg x)-/(1 g，4,可化为2/(l g x)4=2/(2),即/(l g x)/(2),又因为/(x)在(-8,0 上单调递增，所以f(x)在 R上单调递增，所以l g x 2,解得x 1 00.故选：D.6.(2 02 2 山西运城)已知函数/(x)=-x 2+4x+a +1 6(a e R),则关于x的不等式/(l o g/)/的 解集为A.(2,+00)B.(-),2)C.(2,6)D.(
17、2,8)【答案】D【解析】构造函数g(x)=/(x+2)=-(x+2)?+4(x+2)+a +1 6 =-x2+t z +2 0,g(-x)=-x2+a+2 0=g(x),则函数g(x)为偶函数，且该函数在 0,+8)上为减函数,由/(现 2%)/可 得 g(l o g 2 X-2)g(-l),B Pg(|l o g2x-2|)g(l),所以，|隆2 了-2|1,可得-l l o g 2 X-2 l,up 1 l o g2X 3 ,解得2 c x 8.因此，不等式 l o g?/。)的解集为(2,8).故选：D.考点五利用奇偶性单调性比较大小【例 5】(2 0 2 2 北京亦庄实验中学)设偶
18、函 数/(%)在 区 间 上 单 调 递 增，则()A./(-|)/(-1)/(2)B.C./(2)/(-1)/(-|D./(-)【答案】B【解析】根据题意/(x)为偶函数，则/(2)=/(-2),又由函数,f(x)在 区 间(3，-1 上单调递增，且-所以/(一2)/(-|)/(lo g0.50.2)/(O.502)B./(lo g50.5)/(0.52)/(lo g0 50.2)C.I。、0.2)/(O.50 2)lo g,0.5)D./(O.502)/(lo g0,0.2)/(lo g50.5)【答案】B【解析】由|log05 0.2|=|logr,51=log2 5 log2 4=2,
19、即|log05 0.2|2,注意到(logs 2)x(log2 5)=|x|=l,由 0=10&1|10&0.5=1085 21=地 5 2,故0 log、2 0.5,即0|logs0.5|0.5,乂根据指数函数性质，y=0.5，是 R 上的减函数，故 0.5,0.5 2 0.5,即 0.50.52】，M|log5 0.5|O.502 /(0.50 2)0.2).故选：B2.(2022,陕西)已知偶函数)在 0,+a b B.b c aC.a c b D.b a c【答案】C【解析】依题意，0log;t2log;t3=l=lne=2(,/(In e)/(2 2),而/(-In e)=/(In
20、e),g|J/(log32)/(-In e)/(202),所以a c 6.故选：C3.(2022陕 西)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x 0 时，对任意的不相等实数.总有(3 一)/(石)-/(毛)0 时，对任意的不相等实数西小 总有区-七)/&)-毛)0 时 x)为减函数，又偶函数0 呜 4),M Io g34 l o g33 =l,3 弓 3 3=故0 3 一；D 叱)=f (叫)故选：D4.(2 0 2 2 内 蒙 古)函数“X)是定义在R 上的偶函数，且在 0,+e)单调递增，若a =3%6=0.F,c =l o g 3(M,则()A./(a)/(/)/(c)B./(/)/(c)/(a)C./(1)/()/(/?)D./(c)/(/?)/(a)【答案】C【解析】由偶函数知/(c)=l o g 3 0.1)=/(Io g 3 0.1)=l o g 3 1 0),又l a =3/2,0 6 =0.2,显然l o g/0 3 ().1 3,又在 0,+8)单调递增，则/故选：C.