《高考文科数学大二轮复习新讲义2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考文科数学大二轮复习新讲义2.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第3讲 导 数 的 简 单 应 用考 点 1 导数运算及几何意义1 .导数公式(l)(si i u)/=c o sx；(2)(c o s%)=si a r；(3)(优)优 l n a(a 0)；(4)(l o g%)且 W 1).2 .导数的几何意义函数人%)在0 处的导数是曲线八%)在点。(%0，x%0)处的切线的斜率，曲线式幻在点尸处的切线的斜率麦=/(松)，相应的切线方程为y巾沏)=/沏).例 1 2 0 1 9 全国卷I 曲线丫=3(%2+%同 在 点(0,0)处的切线方程为(2)2 0 1 9 全国卷H I 已知曲线y=a e+%l n%在点(1,a e)处的切线方程为 y=2x-b
2、,贝 i()A.a=e,b=B.a=e,b=C.ae b=D.a=ei,b 【解析】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.因为 y =3(2 x+1 )ev+3(2+%)ev=3(+3:+1 )ev,所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率=y h=o=3,所以所求的切线方程为y=3 r(2)本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算.因为0 或/(%)0,则当(-8,0)U(*时,/(%)0；当(0,时(%)0.故/(%)在(一8,0),+8)单调递增，在(0,智单调递减；若G =0,“T)在(-8,+8)单调递增；若。0；当需，0)时(%
3、)o.故/(%)在(一8,T，(0,+8)单调递增，在o)单调递减.(2)满足题设条件的m b存在.(i)当“W 0时,由知，危)在 0,1单调递增，所以段)在区间 0,1的最小值为1 0)=。，最大值为犬1)=2。+尻此时a,b满足题设条件当且仅当b=-l,2a+b=1,即 a=0,b=l.(ii)当时，由知，危)在 0,1单调递减,所以於)在区间。1的最大值为犬0)=乩 最小值为火1)=2a+b.此时”，人满足题设条件当且仅当2-a+/?=1,b 1,即 a=4,h1.Q(iii)当0 a3时，由知，段)在 0,1的最小值为八)=一万+乩 最大值为b 或 2+/?.若一号+/?=1,h1,
4、贝1a=3妮，与0 cq3矛盾.“3若一方+。=1,2。+匕=1,贝U a=35或 a=-3小或 Q=0,与 0 a 0).当 或%2 时，f(x)0,当;，0,.7/U)在(o,和(2,+8)上单调递减，在&2,上单调递增，5 3./(%)的极大值为 y(2)=1 l n 2 5.,m+m 1?%一根？(1 一(2 犷(%)=二 一/-1 =-(%0,m 0),故当0 m 0,右侧/(%)0，则/%o)为函数火%)的极大值;若在o 附 近 左 侧/(%)0,则人即)为函数八%)的极小值.(2)设函数y=/U)在伍，切上连续，在(a,份内可导，则危)在口，勿上必有最大值和最小值且在极值点或端点
5、处取得.例 3 2 0 1 9 全国卷I 已知函数兀r)=s i n%l n(l+%),/(%)为段)的导数,证明：(1 尸(%)在区间(一1,3存在唯一极大值点；(2 求%)有且仅有2 个零点.【解析】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值与函数零点个数的证明等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查化归与转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.(1)设 g(%)=/(%),典 J g(%)=c o s%g(%)=-s in当x (一l,胃时，g (%)单调递减，而g (0)0,g，可得g (%)在1-1,宫有唯一
6、零点，设为a.则当工(1,a)时,g(x)0；当1时,g a)o.所以g(x)在(一1,a)单调递增，在 a,野单调递减，故g(x)在(一1,牙存在唯一极大值点，即/(%)在(一1,期存在唯一极大值点.(2四%)的定义域为(-1,+8).(i)当 X (1,0 时，由知,二(%)在(-1,0)单调递增,而f(0)=0,所以当工(1,0)时，/(%)0,故危)在(一1,0)单调递减.又火0)=0,从而=0是八%)在(-1,0 的唯一零点.(ii)当(0,1 时，由知，/(%)在(0,a)单调递增，在(a,2 单调递减,而/(0)=0,/剧 0；当一前,野时，/(x)0,所 以 当 微 时，/)0
7、.从而，於)在 0,外没有零点.(iii)当入 修兀时，/(%)0,烟 l,所以危)1 .利用导数求函数最值的方法技巧(1)对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值.(2)求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出入的取值范围与y 的符号及y的单调区间、极值的对应表格.2.警示(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点.(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值.(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.对接训练X4.201 9福建福州质量检测 已知函数八%
8、)=：a l n(l+%)(a R),g(%)=1 I大淄 优+ie 2.(1)求函数4)的单调区间；(2)若。1),JL I 4所 以/(*)=?%+1?2P7=?X+1?2.当aWO时，/(%)0,所以函数八%)的单调递增区间为(-1,+),无单调递减区间./?%?0,1当。0时，由 彳 得一1%l,a由 f?X?l+上.%1,a所 以 函 数 人%)的 单 调 递 增 区 间 是(一1,1+5)，单 调 递 减 区 间 是(-1+1+8).综上所述，当QWO时，函数八x)的单调递增区间为(-1,+8),无单调递减区间.当a 0时，函 数；(%)的单调递增区间是(一1,1+J，单调递减区间
9、是(T+H(2)若“0,则?%I,%26 0,e j,不等式火工i)g(%2)恒成立,等 价 于“对任意工 0,e,X)mi n 2g(%)max恒成立”.当。0时，由 知,函数 x)在 0,e上单调递增,所以人X)mi n=/(0)=0.g (%)=2xen n+1+z/u2e/w+xxmx-2)e/,v+1,(i)当加2 0时，若O W x W e,则g (%)20,函数g(x)在 0,e上单调递增，所以 g(%)max=g(e)=eme3 e20,不符合题意.2 2(i i)当一展W m 0,即一二2 e时，在 0,e上，g (%)0,所以g(%)在 0,e上单调递增，所以 g(%)ma
10、x=g(e)=e 2+3e2,令 d e+3e 2 W 0,得m w2 1所以一 Wm Wp2 2(i i i)当 m9 即。而。时，在 ，京上，g(x)N，所以g(x)在 O,一位|上单调递增,在 一百，e上，g(x)W O,所以g(x)在 一而，e上单调递减，所以g(X)max=g(一加2、|=而4 一匕2,令 萧4一？2W 0,I I L y r I得序W，所以m w J,又一 I，所以根 一|.综上所述，实数机的取值范围为(一8,一1.课时作业5导数的简单应用1.20 1 9四川绵阳第三次诊断 函数,)=excos%的图象在=0处的切线斜率为()A.0 B.1C.e D.e2解析：,.
11、/(%)=e、cos%,.f(x)=et cos%eX si n x=ex(cos%si n%),.,.f(0)=e(cos 0 si n 0)=1,函数/(%)的图象在x=0处的切线斜率为1.故选B.答案：B220 1 9河南南阳月考 已知函数八%)的导函数为了(%),且满足式%)=2犷e)+l n%,则/(e)=()1A.e B.一eC.-1 D.一e解析：由 於)=讨(e)+l n x,得,(%)=(e)+；,则:(e)=(e)+；,4V1 2所以/(e)=故 x)=p+l n x,所以#e)=-1 .故选 C.答案：c3.2019安徽蚌埠一中期中如图是导函数)=/(%)的图象，那么函数
12、旷=/(%)在下面哪个区间是减函数()A.(%2，%4)B.(%,%3)C.(%5，%6)D.(%4，%6)解析：由题图可知，当/(%)0时，%(%2,%4),即函数y=/a)的减区间为(X2,%4).故选 A.答案：A34.2019河北九校第二次联考函数凡)=%+-+21n%的单调递减区间是X()A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)解析：解 法 一 令/(%)=1专3+彳20,得0 x 0,故排除A,C选项；又式1)=4勺(2)=+21n2,故排除D选 项.故 选B.答案：B5.2019辽宁辽阳期末函数1%)=如一3111%的最小值为()A.0 B.1C.2 D.3解
13、析：函数人此二好一31n%的定义域为(0,3X33 3?xl?x2+%+l?可得/(X)=-；-，+）.令，（%）=0,可得=1,所以工(0,1)时，/(%)o,函数yu)是增函数,所以函数久X)的最小值为川)=1或 选B.答案：B6.2019河南濮阳第二次模拟已知a=ln英，b=ei,c=二 则a,h,oc的大小关系为（）A.bca B.acbC.ahc D.bac解析：依题意，得 a=l n%5=野，b=e，=半，I n V 1 I n x令人%)=一，则/(%)=丁 二，易知函数兀r)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.所以凡x)max=K e)=：=。，且犬3)次8),即
14、ac,所以。ac.故选D.答案：D99 7.20 1 9吉 林 三 校 联 合 模 拟 若 函 数 的 图 象 如 图 所 示，则相的人 I!t I范围为()A.(8,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)解析：/(*)=宝+声一=-N?7+；?2-，由函数图象的单调性及有两个极值点可知m 2 0,故0 /%1,即加 1.故故选D.答案：D8.2 0 1 9广东惠州中学一模 设直线=/与函数式助二炉，g(x)=l n%的图象分别交于点M,N,则当|M N 最小时，的 值 为()B.e q B，2C.e q D.e q D.解析：|M N|的最小值，即函数x的最小值，/(%)=2%，=
15、X竺 二，显然=噂是函数/?(%)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故/=.2.故选D.答案：D9.2 0 1 9广东肇庆第二次检测 已知=1是犬%)=%2(a+3)%+2 a+3 e x的极小值点，则实数。的 取 值 范 围 是()A.(1,+)B.1,+0)C.(一8,-1)D.(一8,1)解析：依题意/(%)=(%。)(%1户，它的两个零点为=1,x=a,若=1是函数x)的极小值点，则需Q1,此时函数於)在(,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，在=1 处取得极小值.故选D.答案：D10.2019山东济南质检 若函数八%)=2/In%在其定义域的一个子区间/-1,k+1)内
16、不是单调函数，则实数2 的取值范围是()A.1,+8)B.1,2)C.eq D.eq 广,1?2%一1?2%+1?超太 E.f/v =4 v =-X ，(%)0,得耳令fk 120,由题意得k-lx1 =1X(%0),即 +1=0,所以该切线与%,y 轴的交点坐标分别为(一1,0),(0,1),所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为:X 1 x 1=1.答案：I12.2019广东广州第二次模拟 若函数/)=4 一 次+l+aln%在(0,+=)上单调递增，则实数。的 取 值 范 围 是.f,a 2X2jr+a斛析：f (%)=2%-1+;=，由题意得，(%)0 在(0,+8)上恒成立，即 2 2
17、/+%=2卜一在(0,+8)上恒成立，因为y=-29一02+上在(0,+8)上的最大值为上,所以q 的 取 值 范 围 是+8).答案：+8)13.2019江苏泰州中学一模 已知函数危后 xS+g +a +G H+l既存在极大值又存在极小值，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是.解析：由题意知/(%)=3%2+2如+加+6=0 有两个不等实根，即/=4w?12X(m+6)0,解得m6 或/nV3.答案：(一8,3)U(6,+)/+1 Y14.2019河北承德一中一模 设函数火%)=I,g(%)=1,对任意1,%2金(0，+8),不 等 式 平 喑恒成立，则正数Z的 取 值 范 围 是.解析：
18、对任意为，x2e(0,+8),不等 式 竿 W 管 恒 成 立，等价于禽k+1 1 /i-1恒成立八%)=1 =%+；22、/%7=2,当且仅当x=;,即=1 时取等K I 1 人 4 Y 4 人Y e xe，1 Y号，所以加)的最小值是2.由g)=去，得/=下 落=丁，由屋 。得0 4 1,此时函数g(%)为增函数，由g(%)1,此时函数g(%)为减函数，故当=1 时，g(%)取得极大值，同时也是最大值，为g(l)=:.则 篇的最大值为1A 1 k 15乙=乙5匕7,则五K I 71 二NC，得 2 M 2 Z+1,即奴2e1)2 1,则攵2，不e 二7i,故正数人的1 A取值范围是二7,+
19、8,.答案：/二 I，+T15.2019西藏山南模拟 已知函数(1)当。=1 时，求曲线=/(%)在(0,/(0)处的切线方程；(2)求函数人x)的单调区间.e2?解析：(1)当。=1 时，火%)=p 则/(%)=?!#e e0?02?又.。)=0 _ =_ 1，f (。)=?o i?2=-2.所以曲线y=/(x)在(0,.火 0)处的切线方程为y(l)=-2(%0),即y=一2 x-l.,十 业,eax z,eax?a+1?由函数於)=,侍/(%)=?2.一1当。=0 时，/(%)=三 层 0 时，x=-l9所以 ,f (x),/(%)变化情况如下表:X(一 8，1)+rI1,a)。+1a。
20、+1,+1 a Jf(X)0+於)、极小值所 以 x%)的单调递减区间为(-8,1),f l,-单调递增区间为 a)1 、-,+0 .当a0时,Q+1X=V 1,a所以X,/(x),40 变化情况如下表:X +r1 a)Q+1aa+1、1 a，(1,+0)f U)+0於)极大值、所以人助的单调递增区间为一8,-单调递减区间为丁，1 ,(1,a)a 7+0).16.2019 广东广州二模 已知函数外)=(工+2)1111+0？4%+74.若a=g,求函数段)的所有零点；(2)若。斗 证明函数段)不存在极值.1 1 7解析：(1)当=/时，./(%)=(%+2)111%+/4%+/,函数%)的定义
21、域为(0,+),2则/(x)=l n%+(+%3.2设 g(%)=l n%+;+%3,I 1 2,r+工 一 2?x+2?x 1?则/(幻=；人，乒+1=-=-./v/V当 0 x l 时，g (%)1 时，g(%)0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,所以当工 0 时，g(%)2 g(1)=0(当且仅当x=l 时取等号)，即当1 0 时，/(%)20(当且仅当=1时取等号).所以函数人%)在(0,+8)上单调递增，至多有一个零点.因为70)=0，所以=1 是函数1%)唯一的零点.所以函数兀r)的零点只有x1.(2)方 法 一 x)=(%+2)l n x+以24
22、%+7a,函数.八 工)的定义域为(0,+),且/(%)=l n%T1?当时，f(%)与l n%+一+%3,，X2由(1)知 3 20.X即当0 时，/(%)20,所以八 工)在(0,+8)上单调递增.所以人x)不存在极值.方法二 _/(%)=(x+2)l n%+o r24 x+7a,函数人x)的定义域为(0,+),且(%)=l n%1、儿 +2设根(x)=l n%+2a r4,X.,1 2,2a t24-A：2则 m(%)=;了+2a=-了-(x 0).设 h(x)=2a+x 2(x 0),当“与；时，令/(%)=2加+%2=0,x+2-x-+2QX-4.x+2 ,+2a x 4.x 1-)
23、1+16a -1+/1+16a解何沏-4a 一 4a可知当 0a%2 时,h(x)0,即/%(%)%2 时，h(x)0,即加(%)0,所以/(X)在(0,%2)上单调递减，在(%2,+8)上单调递增.,2由(1)知 l nx+-+%3 20,X2则 f(%2)=l n%2+%2-3 +(2a-1)历(2。1 )%2 0.%2所以/(%)2/(%2)力0,即“X)在定义域上单调递增.所以人X)不存在极值.17.2019江西吉安一模 已知函数/(%)=ex,g(%)=%一|x l(e为自然对数的底数).(1)记R%)=l n%+g(x),求函数/在区间 1,3 上的最大值与最小值；(2)若Z Z,
24、且/(%)+8(%)Z 2 0对任意X R恒成立，求女的最大值.解析：(1)尸(%)=I n%+g(x)=I n%+1,?2%T?L2?,F(%)=2x，令 F(%)=0,得=；或%=2,.易知函数尸(x)在区间(1,2)上单调递减，在区间(2,3)上单调递增.当 时,F(x)mi n=F(2)=-4+l n 2,厂(%)ma x=ma x /1),尸(3)=-4+l n3.(2),.,/(%)+g(%)攵 20 对任意 恒成立，ex+x21x-1 一4 2 0 对任意 R 恒成立，左 +中2一去-1 对任意入 1 i恒成立.令/(%)=eA+p2p;1,则 /(%)=e+x 令 9(%)=e
25、x+%|贝 I (x)=eA+10,所 以 (%)在 R 上单调递增.又/?(0)=0,力 归|=丐一2 0,力 团=%一/仇所以存在唯一的沏%,胃,使得力(%()=0,且当(8,%o)时,勿(%)()./(%)在(一 8,沏)上单调递减，在(沏，+8)上单调递增./2(%)mi n 力(刈)e%0+，诏 一%0 1 .又 h(须)=0,即 ex()+沏一=(),.*.eA()=|x0.*./z(jf o)2-沏,。匕 4/V A:ev+x2|x-1 对任意 R 恒成立，+品一就)-1=；(%-7向+3).(2 7 n.,./(沏)气一变，g l.kh(xo),又 Z,/.km M=-1.18
26、.2019 江西景德镇第二次质检 函数“r)=a ex J C2-Q a+Z?)%.(1)若 a=2,x)在 R 上单调递增，求。的最大值；(2)若。=-21n2,a ,证明：对任意%0,x)0恒成立.解析：(1)当。=2 时，/U)=2ex 一好一(4+加 ,因为八%)在 R 上单调递增，所以/(%)=2ex-2%-(4+b)20对任意 Q R 恒成立，即b W 2ex 2%4在 R 上恒成立.设 9(%)=2ex 2x 4,则“(x)=2ex2,令，(%)0,则 0；令(，(%)V 0,贝!%V 0.所以当x=0 时，矶x)取得最小值，为9(。)=-2,故。W一2,所以b的最大值为-2.(2)因为 h=-2In 2,所以兀r)=aexA2(2Q21n 2)%.将“r)看成关于 a 的一次函数，即x)=Q(ex-2x)/+21112%,令 g(%)=ex2%,所以 g(%)=ex2,令 g(%)0,则 ln 2,令 g (九)0,即关于。的一次函数单调递增.又 a 1,所以 f(x)=a-(ex2x)A:2+21n 2-?;ex2A：j+21n 2-x.令/?(%)=ex2%f+21n 2x,所以/?(为二 2x2+21n 2=g(%)2+21n220,所以力(%)在(0,+8)上单调递增，即力(%)力(0)=1,所以对任意%0,x)/z(%)0恒成立.